【327966】2024年四川省眉山市中考数学试题
绝密★启用前
200765-2024年四川省眉山市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列四个数中，无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，2
5．如图，在
▱
中，点
是
的中点，
过点
，下列结论： ①
； ②
； ③
； ④四边形四边形
，其中正确结论的个数为（ ）
（第4题图）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6．不等式组
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
7．如图，在
中，
，
，分别以点
，点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点
，
，过点
，
作直线交
于点
，连接
，则
的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
8．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为
，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在矩形
中，
，
，点
在
上，把
沿
折叠，点
恰好落在
边上的点
处，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．定义运算：
，例如
，则函数
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11．如图，图（1）是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图（1）中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图（2），则图（2）中大正方形的面积为（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 44
12．如图，二次函数
的图象与
轴交于点
，与
轴交于点
，对称轴为直线
，下列四个结论：①
；②
；③
；④若
，则
，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
13．分解因式：
．
14．已知方程
的两根分别为 ，
，则
的值为 ．
15．如图，斜坡
的坡度
，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树
，当太阳光与水平面的夹角为
时，大树在斜坡上的影子
长为10米，则大树
的高为 米．
16．如图，菱形
的边长为 ，
，过点
作
，交
的延长线于点
，连接
分别交
，
于点
，
，则
的长为 ．
17．已知
且
，
，
，
，
，则
的值为 ．
18．如图，
内接于
，点
在
上，
平分
交
于
，连接
．若
，
，则
的长为 ．
三、解答题
19．计算：
π
．
20．解不等式：
，把它的解集表示在数轴上．
21．为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为
型，
型，
型，
型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表.
改造农田面积统计表
型号 |
|
|
|
|
亩数 |
16 |
20 |
|
12 |
利用图中的信息，解决下列问题：
(1)①
；
②扇形统计图中
的度数为 ．
(2)若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中
型挖掘机改造建设了多少亩？
(3)若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到
，
两种型号挖掘机的概率．
22．如图，
是
的直径，点
在
上，点
在
的延长线上，
，
平分
交
于点
，连结
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)当
时，求
的长．
23．眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用
元购进的
款文创产品和用
元购进的
款文创产品数量相同．每件
款文创产品进价比
款文创产品进价多
元．
(1)求
，
两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知
，
文创产品每件售价为
元，
款文创产品每件售价为
元，根据市场需求，商店计划再用不超过
元的总费用购进这两款文创产品共
件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
与反比例函数
的图象交于点
，
，与
轴，
轴分别交于
，
两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点
在
轴上，当
的周长最小时，请直接写出点
的坐标；
(3)将直线
向下平移
个单位长度后与
轴，
轴分别交于
，
两点，当
时，求
的值．
25．综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心
处，并绕点
旋转，探究直角三角板与正方形
重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点
处，在旋转过程中,
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为
，重叠部分的面积为
，在旋转过程中
与
的关系为 ．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点
重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于
，
两点，小宇经过多次实验得到结论
，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中
角的顶点与点
重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交
于点
，斜边交
于点
，且
时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：
，
，
）
26．如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，点
在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点
在第二象限内，且
的面积为3时，求点
的坐标；
(3)在直线
上是否存在点
，使
是以
为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1. D
解：
，
，
是有理数，
是无理数，故此题答案为D．
2. A
解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故此题答案为A．
3. B
解：
与
不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意.
故此题答案为B．
4. A
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1.4，1.5，1.5，2，
则中位数是1.5，1.5出现次数最多，故众数是1.5．
故此题答案为A．
5. C
四边形
是平行四边形，
，
，
，故①③正确;
点
是
的中点，
,
.又
，
≌
，
,
不一定等于
，故②不正确
平行四边形
，
，
，即
四边形四边形
，故④正确.综上所述，正确结论的个数为3个.故选C．
6. D
解：
①②
，
解不等式①，得
，解不等式②，得
，
故不等式组的解集为
．故此题答案为D．
7. C
解：由作图知，
垂直平分
，
，
的周长
，
，
，
的周长
，故此题答案为C．
8. B
解：根据题意得
．
故此题答案为B．
9. A
解：
四边形
是矩形，
，
，
把
沿
折叠，点
恰好落在
边上的点
处，
，
，
，
，
在
中，
，由勾股定理，得
，
，
，
，
，故此题答案为A．
10. B
由题意得，
，
函数
的最小值为
.故选B.
【思路分析】
根据新定义运算可得
与
之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可.
11. D
如图，设直角三角形的短直角边长为
，长直角边长为
，斜边长为
图（1）中大正方形的面积是
，
图（1）中小正方形的面积是
，
，
，
图（2）中大正方形的面积为
.故选D.
12. C
解：①
函数图象开口方向向上，
；
对称轴在
轴右侧，
,
异号，
，
∵抛物线与
轴交点在
轴负半轴，
，
，故①错误；
②
二次函数
的图象与
轴交于点
，与
轴交于点
，对称轴为直线
，
，
，
时，
，
，
，
，故②正确；
③
对称轴为直线
，
，
最小值，
，
∴
，故③正确；
④
，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得
，
，
，
，
，
，
，故④正确.
综上所述，正确的有②③④.
故此题答案为C.
二、填空题
13.
解：
．
14.
解：
方程
的两根分别为
，
，
，
，
．
15.
如图，过点
作水平地面的平行线，交
的延长线于点
，则
.在
中，
，
设
米，则
米，
，
，
米，
米
，
米，
米，故答案为
．
16.
解：
菱形
的边长为
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
17.
，
，
，
，
，
，
，
每3个为一个循环
，
．故答案为
．
【思路分析】
先算出前几个式子的结果，然后根据所得结果得出每3个为一循环，再根据循环规律即可得出答案．
18.
解：延长
，
交于
，
是
的直径，
，
，
平分
，
，
又∵
，∴
≌
，
，
，
，
，
，
，又∵
，∴
，
，
，
，
，
．
三、解答题
19. 6
解：
π
．
20.
，见解析
解：
，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
．
21.
(1)①32，②
； (2)240亩；
(3)
（1）解：①
（亩），
；
②扇形统计图中
的度数为
；
（2）解：根据题意得
（亩），
答：估计其中
型挖掘机改造建设了240亩；
（3）解：画树状图如下.
共有12种等可能的结果，同时抽到
，
两种型号挖掘机的有2种情况，
同时抽到
，
两种型号挖掘机的概率为
．
22.
(1)见解析；(2)
（1）证明：连接
，
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是
的半径，
是
的切线；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
，
连接
，
平分
，
，
，
，
是
的直径，
，
．
23.
(1)
A款文创产品每件的进价是
元，
文创产品每件的进价是
元； (2)购进
款文创产品
件，购进
款文创产品
件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是
元．
（1）解：设
款文创产品每件的进价
元，
则
文创产品每件的进价是
元，
根据题意得
，解得
，
经检验，
是原分式方程的解，
∴
.
答：
款文创产品每件的进价是
元，则
文创产品每件的进价是
元；
（2）解：设购进
款文创产品
件，则购进
款文创产品
件，总利润为
，
根据题意得
，解得
，
，
，
随
的增大而增大，
当
时，利润最大，
∴购进
款文创产品
件，购进
款文创产品
件，获得的利润最大，
最大
，
答：购进
款文创产品
件，购进
款文创产品
件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是
元．
24.
(1)一次函数的表达式为
，反比例函数的表达式为
； (2)点
的坐标为
； (3)
或
．
（1）解：
一次函数
与反比例函数
的图象交于点
，
，
，
，
反比例函数的表达式为
，
把
代入
得
，
，
，
把
，
代入
得
，解得
，
一次函数的表达式为
；
（2）解：如图，作点
关于
轴的对称点
，连接
交
轴于
，
此时，
的周长最小，
点
，
，
设直线
的解析式为
，
，解得
，
直线
的解析式为
，
当
时，
，
点
的坐标为
；
（3）解：将直线
向下平移
个单位长度后与
轴，
轴分别交于
，
两点，
直线
的解析式为
，
，
，
，
，
解得
或
．
25.
（1）4；4；
（）
；类比探究：见解析；拓展延伸：
解：操作发现
（）
四边形
是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为
正方形
；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形
是矩形，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
四边形
的面积是4；
（2）如图，过点
作
于点
，
于点
．
是正方形
的中心，
，
，
四边形
是矩形，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
≌
，
，
四边形正方形正方形
，
．
类比探究：
证明
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，
，
拓展延伸：
过点
作
于点
，
于点
．
同（2）可知四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，
，
由（1）可知
，
正方形
，
，
，
，
重叠部分的面积
四边形正方形
．
26.
(1)抛物线的解析式为
； (2)
的坐标为
或
； (3)
的坐标为
或
或
或
（1）解：把
，
代入
得
，
解得
，
抛物线的解析式为
；
（2）解：过
作
轴交
于
，如图,
由
，
得直线
解析式为
，
设
，则
，
，
的面积为3，
，即
，
解得
或
，
的坐标为
或
；
（3）解：在直线
上存在点
，使
是以
为斜边的等腰直角三角形，
理由如下,
在
中，令
得
，解得
或
，
，
，
由
，
得直线
解析式为
，
设
，
，
过
作
轴于
，过
作
轴于
，
①
，
当
与
重合，
与
重合时，
是等腰直角三角形，如图
此时
；
②当
在第一象限，
在第四象限时，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，
解得
（
小于0，舍去）或
，
，
的坐标为
；
③当
在第四象限，
在第三象限时，如图
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌
，
，
，
同理可得
，解得
或
（大于0，舍去），
，
的坐标为
；
④当
在第四象限，
在第一象限，如图
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，解得
（舍去）或
，
，
的坐标为
.
综上所述，
的坐标为
或
或
或
．
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