【328003】辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷

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辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列实数最小的是（ ）
A．－2
B．－3.5
C．0
D．1

2.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，7.5
B．18，7
C．7，8
D．7，7.5

7.如图，AB为 的直径，C，D为 上的两点，若 ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图， 是等边三角形， ，点M从点C出发沿CB方向以 的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作 交AB于点P，连接MN，NP，作 关于直线MP对称的 ，设运动时间为ts， 与 重叠部分的面积为 ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为_______________．

10.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．

11.如图， 沿BC所在直线向右平移得 ，已知 ， ，则平移的距离为___．

12.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．

13.如图，矩形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O， ，垂足为点H，若 ，则AD的长为_______________．

14.如图， ，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作 关于直线OC对称的 ， 交AB于点D，当 是等腰三角形时， 的度数为_____________．

15.如图， 的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点C在x轴负半轴上， 轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若 ， ，则 _____．

16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作 分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作 交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当 时， ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的是_______（填序号即可）．

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，在 中，G为BC边上一点， ，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．

20.为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于C， 两点， 交x轴于点E，若 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

22.小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东 方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走 到达C处，再沿北偏东 方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据： ， ， ， ）

23.如图，AB为 的直径，C为 上一点，D为AB上一点， ，过点A作 交CD的延长线于点E，CE交 于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使 ．
（1）求证：CF是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．

24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

25.如图，在 中， ， ，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转 得到AN，过点C作 交直线AN于点F，在AM上取点E，使 ．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当 时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　　．
②如图2，当 时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当 ， 时，若 是直角三角形，直接写出AF的长．

26.如图，抛物线 交x轴于点 ， ，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为 ， 交直线l： 于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
根据实数大小比较的方法进行求解即可．
解：因为 ，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．

2.D

【解析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．
解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．

3.C

【解析】
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．
解：A． 与 不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项符合题意；
D． ，故D选项不符合题意，
故选：C．

4.B

【解析】
求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴不等式的解集为： ，
表示在数轴上如图：

故选B．

5.C

【解析】
根据平行线的性质求解，找出图中 ，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．
解：如图，作 ，

三角尺是含 角的三角尺，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：C．

6.D

【解析】
根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．
解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为 ，第21名同学的时间为 ，
所以中位数为 ．
故选：D．

7.B

【解析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 ，从而得到 的度数．
解：连接AD，如图，
AB为 的直径，
，
，
．
故选B．

8.A

【解析】
首先求出当点 落在AB上时，t的值，分 或 两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．
解：如图1中，当点 落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．

， ， ，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ， ，
， 是等边三角形，
，
，
，
，
四边形CMPN是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当 时，过点M作 于K，则 ，

．
如图3中，当 时， ，

观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．

9.

【解析】
根据把一个大于10的数记成 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．
解： ．
故答案为： ．

10.

【解析】
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，
∴小球最终停留在黑色区域的概率 ，
故答案为： ．

11.3

【解析】
利用平移的性质解决问题即可；
由平移的性质可知，BE=CF，
∵BF=8，EC=2，
∴BE+CF=8-2=6，
∴BE=CF=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．

12.

【解析】
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得： ．
故答案为： ．

13.

【解析】
由矩形的性质得 ， ，求出 ，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据 求出 ，然后由含 角的直角三角形的性质即可求解．
解： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
， ，
∴
在 中，
，
，
，
，
故答案为： ．

14. 或

【解析】
结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得 ，设 ，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出 ， ， ， ，从而利用分类讨论思想解题．
解： ，C为AB的中点，
，
， ，
又由折叠性质可得 ，
，
设 ，则 ， ， ， ，
①当 时， ，
，
解得 ，
；
②当 时， ，
，方程无解，
此情况不存在；
③当 时， ，
，
解得： ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．

15.18

【解析】
过点B作 轴于点F，通过设参数表示出△ABC的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得 k的值．
解：如图，过点B作 轴于点F．

轴，
，
，
，
，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．

16.①③④

【解析】
①正确．利用面积法证明 即可．
②错误．假设成立，推出 ，显然不符合条件．
③正确．如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．想办法证明 ，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．
④正确．如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则 ， ， ， ，证明 ，利用勾股定理，即可解决问题．
解：如图1中，过点G作 于T．
，
，
， ，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，故①正确，
假设 成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，


如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，


如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则 ， ， ， ，
∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°，
∴△FGM≌△CFN，
∴FM=CN，
， ， ，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．

17. ，

【解析】
根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值．
解：


．
当 时，原式 ．

18.见解析

【解析】
先证四边形AEDF是平行四边形，再证 ，则 ，即可得出结论．
证明： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．

19.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1） 每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为 ．

20.（1）120；（2）图形见解析；（3）360件