【327967】2024年四川省南充市中考数学试题

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200833-2024年四川省南充市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．如图，数轴上表示 的点是（      ）

A．点A B．点B C．点C D．点

2．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占 ， 投球技能占 计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（      ）

A．170分　　　　B．86分　　　　C．85分　　　　D．84分

3．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时 ，， 则 的度数为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．下列计算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．如图，在 中 ，，，， 平分 交 于点 ，点 为边 上一点，则线段 长度的最小值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C．2　　　　D．3

6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房 间、房客 人，下列方程组中正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．若关于 的不等式组 的解集为 ， 则 的取值范围是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

8．如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点 作 ，使 ，连接 ；②以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 .若 ，则 的值为（      ）

A. B. C. D.

9．当 时，一次函数 有最大值6，则实数 的值为（      ）

A． 或0　　　　B．0或1　　　　C． 或 　　　　D． 或1

10．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 中， ．下列三个结论：①若 ，则 ；②若 的面积是正方形 面积的3倍，则点 是 的三等分点；③将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则 的最大值为 ．其中正确的结论是（      ）

  

A．①②B．①③C．②③D．①②③

二、填空题

11．计算 的结果为      .

12．若一组数据 ，，，，， 的众数为7，则这组数据的中位数为      .

13．如图 ， 是 的直径，位于 两侧的点 ， 均在 上 ，， 则       度．

14．已知 是方程 的一个根，则 的值为           ．

15．如图，在矩形 中， 为 边上一点， ，将 沿 折叠得 ，连接 ， ，若 平分 ， ，则 的长为     ．

  

16．已知抛物线 与 轴交于两点 ， （A在 的左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四个结论： ① 与 交点为 ； ② ； ③ ； ④ ， 两点关于 对称．其中正确的结论是         ．（填写序号）

三、解答题

17．先化简，再求值： ，其中 ．

18．如图，在 中，点 为 边的中点，过点 作 交 的延长线于点 ．

(1)求证： ≌ ．

(2)若 ，求证： .

19．某研学基地开设有 ，，， 四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)参加调查统计的学生中喜爱 类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求 类研学项目所在扇形的圆心角的度数．

(2)从参加调查统计喜爱 类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．

20．已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．

(1)求 的取值范围．

(2)若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．

21．如图，直线 经过 两点，与双曲线 交于点 ．

(1)求直线和双曲线的解析式．

(2)过点C作 轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与 相似，直接写出点P的坐标．

22．如图，在 中 ， 是直径 ， 是弦，点 是 上一点 ，， 交于点 ，点 为 延长线上一点，且 ．

(1)求证： 是 的切线．

(2)若 ， 求 的半径长．

23．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售 ， 两类特产 ． 类特产进价50元/件 ， 类特产进价60元/件．已知购买1件 类特产和1件 类特产需132元，购买3件 类特产和5件 类特产需540元．

(1)求 类特产和 类特产每件的售价各是多少元？

(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件 类特产降价 元，每天的销售量为 件，求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．

(3)在（2）的条件下，由于 类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为 元，求 与 的函数关系式，并求出每件 类特产降价多少元时总利润 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）

24．如图，正方形 边长为 ，点 为对角线 上一点， ，点 在 边上以 的速度由点 向点 运动，同时点 在 边上以 的速度由点 向点 运动，设运动时间为 秒（ ）．

(1)求证： ．

(2)当 是直角三角形时，求 的值．

(3)连接 ，当 时，求 的面积．

25．已知抛物线 与 轴交于点 ， ．

  

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图 ， 抛物线与 轴交于点 ， 点 为线段 上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线于点 ， ， 设 面积为 ， 面积为 ， 求 的值；

(3)如图 ， 点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ， ， 过抛物线顶点 作直线 轴，点 是直线 上一动点．求 的最小值．

参考答案

一、单选题

1. C

解：∵ ，

∴数轴上表示 的点是点 ，

故此题答案为C．

2. B

解： （分），

故此题答案为B．

3. C

解：∵ ，

∴ ，

∵两个平面镜平行放置，

∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，

∴ ；

故此题答案为C．

4. D

解：A、 不能合并，原选项计算错误，不符合题意；

B、 ，原选项计算错误，不符合题意；

C、 ，原选项计算错误，不符合题意；

D、 ，原选项计算正确，符合题意.

故此题答案为D．

5. C

解：∵ ，，

∴ ，

在 中 ，， 解得 ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∴ ， 解得 ，

当 时，线段 的长度最小，

∵ 平分 ，

∴ ．

故此题答案为C．

6. A

根据题意有 ， 故此题答案为A．

7. B

解：解 ， 得 ，

∵不等式组的解集为 ，

∴ ，

∴ ,

故此题答案为B．

8. A

令 的长为 ，则 ，所以在 中， .因为 ， , ，所以 ，所以 ，所以 的值为 .故选A.

9. A

解：当 即 时，一次函数 随 的增大而增大，

∴当 时 ，，

即 ，

整理得 ，

解得 或 （舍去），

当 即 时，一次函数 随 的增大而减小，

∴当 时 ，，

即 ，

整理得 ，

解得 或 （舍去），

综上 ， 或 ，

故此题答案为A．

10.

解：在 中， ，

∴设 ，则： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ≌≌≌ ，

∴ ，

∴ ,故①正确；

若 的面积是正方形 面积的3倍，则 ，

∴ ，即 ，

∴ 或 （舍去），

∴ ，

∴点 是 的三等分点,故②正确；

∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，

∴ ，

∴点 在以 为直径的半圆上，

取 的中点 ，连接 ，则 ， ，

  

∴ ，

∴ ，

即 的最大值为 ,故③正确；

故此题答案为D．

二、填空题

11. 1

原式 ，故答案为1.

12. 7

一组数据 ，，，，， 的众数为 ， ， 这组数据从小到大排列为 ，，，，，， 这组数据的中位数是 .故答案为7.

13. 75

解：∵ 是 的直径，位于 两侧的点 ， 均在 上 ，，

∴ ，

∴ ．

14.

解：∵ 是方程 的一个根，

∴ ,

．

15.

如图，过 作 于点 ， 于点 ，

  

∴ ，

∵四边形 是矩形，

∴ ， ，

∴四边形 是矩形，

∵ 平分 ，

∴ ， ，

∴四边形 是正方形，

由折叠性质可知 ， ，

∴ ，

∴ ， ，

在 中，由勾股定理得 .

16. ①②④

解： ① 由题意得 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

当 时， ，

∴ 与 交点为 ，故 ① 正确;

当 时， ，解得 ，

∴ ，

当 时， ，解得 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ，则 ，

∵ ，

∴ ，故 ② 正确；

③ ∵抛物线 与 轴交于两点 ， （A在 的左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），

∴ ， ，

解得 或 ， 或 ，

由 ② 得 ，

∴ ，

当 时， 或当 时， ，

∴ ，故 ③ 错误；

④ 由 ① 得 ，解得 ，

∵ 在 的左侧， 在 的左侧，

∴ ， ， ， ，

∵ ，

∴ ，整理得 ，

∴ ，

∴由对称性可知 ， 两点关于 对称，故 ④ 正确.

综上, ①②④ 正确，

故答案为 ①②④ ．

三、解答题

17. ，

解：原式 ，

当 时，原式 ．

18. 见详解

（1）证明： 为 的中点，

．           

,                             

在 和 中， ，，，    

≌ .

（2）证明： ≌

,

垂直平分 ，

．

19. (1)喜爱 类研学项目有8人 ， 类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 ； (2)

（1）解： （人）．                   

．                                   

答：喜爱 类研学项目有8人 ， 类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 ．

（2）喜爱 类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下.

第2位第1位	男1	男2	女1	女2
男1		男1男2	男1女1	男1女2
男2	男2男1		男2女1	男2女2
女1	女1男1	女1男2		女1女2
女2	女2男1	女2男2	女2女1

由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．

．

答：抽中一名男生和一名女生的概率为 ．

20. (1) (2)

（1）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，

∴ ，

∴ ，

解得 ；

（2）解：∵ ，由（1）得 ，

∴ ，

∴整数 的值有 ， ， ，

当 时，方程为 ，

解得 ， （都是整数，此情况符合题意）；

当 时，方程为 ，

解得 （不是整数，此情况不符合题意）；

当 时，方程为 ，

解得 （不是整数，此情况不符合题意）.

综上所述， 的值为 ．

21. (1)直线解析式为 ，双曲线解析式为 ； (2)点P坐标为 或 或 或

（1）解：直线 经过 两点，

∴ ，解得 ，

∴ ，

当 时， ，解得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）∵ ， ， ，

∴ ， ，

当以O，A，P为顶点的三角形与 相似时，分两种情况进行讨论：

①当 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或 ；

②当 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或 ；

综上：点P坐标为 或 或 或 ．

22. (1)见解析；(2)

（1）证明： ，

．              

，

．                                 

即

．

又∵ 为半径，                              

是 的切线．

（2）解：连接 ．

，

∴ ．        

是直径，

，

．                  

在 中 ， ．         

．            

又 是直径，

的半径长为 ．                  

23. (1)A类特产的售价为60元/件 ， 类特产的售价为72元/件 (2) （ ） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元

（1）解：设每件 类特产的售价为 元，则每件 类特产的售价为 元．

根据题意得 ．

解得 ．

则每件 类特产的售价 （元）．

答： 类特产的售价为60元/件 ， 类特产的售价为72元/件．

（2）由题意得 ，

∵ 类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价，

∴ ．

答： （ ）．

（）

．

∴当 时 ， 有最大值1840．

答： 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．

24. (1)见解析 (2) 秒或2秒 (3)

（1）证明： 四边形 是正方形，

．

，

．

（2）解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．

由题意知 ，

∵

∴ ，

∵

∴

由已知，

．

，即 ，

，即 ，

，即 ．         

①当 时，有 ．

即 ，整理得 ．

解得 （不合题意，舍去）．             

②当 时，有 ．

即 ，整理得 ，解得 ．

③当 时，有 ．

即 ，整理得 ，该方程无实数解．

综上所述，当 是直角三角形时， 的值为 秒或2秒．

（3）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．

， ，

．                 

又 ，

．

，

，

，

，

，

，

，

即 ，

是等腰直角三角形．

，

.

25. (1) (2) (3)

（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，

，               

解得 ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）设 ， 直线 为 ， 据题意得，

， 解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得 或 ，

∴ ，

设 ， 直线 为 ， 据题意得，

， 解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得 或 ，

∴ ，                   

，    

，

∴ ；

（3）设直线 为 ， 由 得 ，

∴ ，

∴ ，             

设 ， ，

联立直线 与抛物线 ，

得 ，

，

根据根与系数的关系可得 ， ，

作点 关于直线 的对称点 ， 连接 ，

  

由题意得直线 ， 则 ，

∴ ，

过 点作 于 ，则 ．

则 ， ，              

在 中，

，                                               

即当 时 ，， 此时 ，

故 的最小值为 ．