【327995】湖北省随州市2021年中考数学真题

绝密·启用前

湖北省随州市2021年中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.实数2021的相反数是（ ）
A．2021
B．
C．
D．

2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，将一块含有 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 ，则 为（ ）


A．
B．
C．
D．

4.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）

A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6

6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）

A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．三个视图均相同

7.如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（ ）

A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米

9.根据图中数字的规律，若第 个图中的 ，则 的值为（ ）

A．100
B．121
C．144
D．169

10.如图，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，抛物线与 轴交于点 和点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④当 时，在 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 ， （点 在点 左边），使得 ．其中正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11.计算： ______．

12.如图， 是 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数为______．

13.已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 ______．

14.如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转角 （ ）得到 ，并使点 落在 边上，则点 所经过的路径长为______．（结果保留 ）

15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 精确到小数点后第七位的人，他给出 的两个分数形式： （约率）和 （密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ，其中 ， ， ， 为正整数），则 是 的更为精确的近似值．例如：已知 ，则利用一次“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为： ；由于 ，再由 ，可以再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数……现已知 ，则使用两次“调日法”可得到 的近似分数为______．

16.如图，在 中， ， 为 的中点， 平分 交 于点 ， ， 分别与 ， 交于点 ， ，连接 ， ，则 的值为______；若 ，则 的值为______．

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 ．

（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形．

19.疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

（1）表中， ______， ______， ______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

20.如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．

（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接 ，求 的面积．

21.如图， 是以 为直径的 上一点，过点 的切线 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，垂足为点 ．

（1）求证： ；
（2）若 的直径 为9， ．
①求线段 的长；
②求线段 的长．

22.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体 的水平距离 （米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为6米．

图2

（1）直接写出 ， 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

23.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1， 是边长为 的正 内任意一点，点 为 的中心，设点 到 各边距离分别为 ， ， ，连接 ， ， ，由等面积法，易知 ，可得 _____；（结果用含 的式子表示）
②如图2， 是边长为 的正五边形 内任意一点，设点 到五边形 各边距离分别为 ， ， ， ， ，参照①的探索过程，试用含 的式子表示 的值．（参考数据： ， ）

（3）①如图3，已知 的半径为2，点 为 外一点， ， 切 于点 ，弦 ，连接 ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留 ）
②如图4，现有六边形花坛 ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形 ，其中点 在 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 的位置，并说明理由．

24.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点 的坐标为 ．


（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点 在抛物线上且满足 ，求点 的坐标；
（3）如图2， 是直线 上一个动点，过点 作 轴交抛物线于点 ， 是直线 上一个动点，当 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 及其对应点 的坐标

参考答案

1.B

【解析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
解：2021的相反数是： ．
故选：B．

2.C

【解析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如 为正整数，据此解题．
解：5700万=57000000，用科学记数法可表示为 ，
故选：C．

3.A

【解析】
过60°角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出∠1+∠2=60°，从而求出∠2即可．
如图，已知 ，作直线 ，则 ，
则∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠2=60°-∠1=15°，
故选：A．

4.D

【解析】
根据负指数运算法则可判断A，根据同类项的定义可判断B，根据同底数幂的乘法可判断C，根据幂的乘方可判断D
A. ，故选项A计算不正确；
B. 与 不是同类项不能合并， ，故选项B计算不正确；
C. ，故选项C计算不正确；
D. ，故选项D正确．
故选择D．

5.D

【解析】
根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．
解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；
B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；
C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；
D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；
故选：D．

6.A

【解析】
画出组合体的三视图，即可得到结论．
解：所给几何体的三视图如下，

所以，主视图和左视图完全相同，
故选：A．

7.A

【解析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
解：∵两个小正方形的面积为 和 ，
∴两个小正方形的边长为 和 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
故选：A．

8.C

【解析】
根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．
解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2．
故选择C．

9.B

【解析】
分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
解：根据图中数据可知：



则 ， ，
∵第 个图中的 ，
∴ ，
解得： 或 (不符合题意，舍去)
∴ ，
故选：B．

10.B

【解析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可
①从图像观察，开口朝上，所以 ，
对称轴在 轴右侧，所以 ，
图像与 轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点 和点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且
设 代入 ,得：

，所以②正确；
③ ，
设抛物线解析式为： 过
，所以③正确；
④如图：设 交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，

根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴

由顶点坐标公式可知

由题意 ，解得 或者
由①知 ，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．

11.

【解析】
估算 的大小从而确定 −1的符号，再根据绝对值的定义及零指数幂的意义即可完成．

故答案为：

12.

【解析】
连接BD，则 ，再根据AD为直径，求得 的度数
如图，连接BD，则
AD为直径



故答案为

13.

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求出 以及 ，然后根据条件变形代入求解即可．
由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： ．

14. ．

【解析】
利用勾股定理求出AB=2，根据旋转的性质得到旋转角为∠ =60°，再由弧长计算公式，计算出结果．
解：∵ ， ， ，
∴AB=2AC，
设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
，
解得：x=1，
则：AC=1，AB=2，
∵将 绕点 逆时针旋转角 （ ）得到 ，且点 落在 边上，
∴旋转角为60°，
∴∠ =60°，
∴点 所经过的路径长为： ，
故答案为： ．

15.

【解析】
根据“调日法”的定义，第一次结果为： ，近似值大于 ，所以 ，根据第二次“调日法”进行计算即可.
解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：

16.         

【解析】
（1）根据条件，证明 ，从而推断 ，进一步通过角度等量，证明 ，代入推断即可.
（2）通过 ，可知 四点共圆，通过角度转化，证明 ，代入推断即可.
解：（1）∵ ， 为 的中点
∴
又∵ 平分
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
在 与 中
,
∴

（2∵
∴ 四点共圆，如下图：

∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴

故答案为：

17. ，-2

【解析】
（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可．
解：原式
当 时，原式

18.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
(1)利用SAS证明即可；
(2)从对角线的角度加以证明即可.
（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌ ．
（2）

证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，
故四边形 是菱形．

19.（1） ， ， ；（2）七；（3）2400；（4）

【解析】
（1）根据八年级教师中已接种和未接种即可求得a，根据九年级已接种的及总人数可求得b，根据三个年级未接种的人数可求得总人数c；
（2）分别计算七、八、九年级教师中接种率即可求得结果；
（3）计算抽取的三个年级教师中未接种的百分比，把此百分比作为该市初中教师未接种的百分比，从而可求得该市未接种的教师的人数；
（4）七年级教师用A表示，八年级教师用 表示，九年级教师用 ， 表示,根据树状图或列表法，求得等可能的结果种数及恰好两位教师不在同一个年级的可能结果，即可求得概率．
解：（1） ； ；
故答案为：50；20；45
（2）七年级教师的接种率为： ；
八年级教师的接种率为： ；
九年级教师的接种率为： ；
即七年级教师的接种率最高．
故答案为：七
（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为： ， （人）
故答案为：2400
（4）设七年级教师用 表示，八年级教师用 表示，九年级教师用 ， 表示，根据题意：可画出树状图：

或列表：

由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故 （两名教师不在同一年级） ．
说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可．

20.（1） ， ；（2）3

【解析】
（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求；
（2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．
解：（1）∵双曲线 （m＞0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴ ，解得， ．
∴反比例函数的解析式为 ．
∵直线 过点C（1，2）和D（2，1），
∴ ，解得， ．
∴一次函数的解析式为 ．
（2）当x=0时，y₁=3，即B（0，3）．
∴ ．
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．

∵D（2，1），
∴DE=2．
∴

21.（1）见解析；（2）① ；②

【解析】
（1）连接 ，由 是 的切线，可得 ，可证 ，可得 ．由 ，可得 即可；
（2）①连接 ，由 的直径 为9， ，可求 ．可证 ，由 ， ．
②由（1）可知 ，可证 ∽ ，由性质可得 ， 解方程得 ．
（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①连接 ，
∵ 的直径 为9，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，且 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
②由（1）可知 ，
∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
经检验符合题意．

22.（1） ， ；（2） 米；（3）352

【解析】
（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入 ，求出b、c即可；
（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；
（3根据 ，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．
解：（1）由题意知点A坐标为 ，点B坐标为 ，
将A、B坐标代入 得：
解得： ，
故 ， ；
（2）由 ，
可得当 时， 有最大值 ，
即大棚最高处到地面的距离为 米；
（3）由 ，解得 ， ，
又因为 ，
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为 （米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为 （平方米）
共需要 （根）竹竿．

23.（1） ，1；（2）① ；② ；（3）① ；②见解析．

【解析】
（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为 的正 的面积，再根据 解题即可；②设点 为正五边形 的中心，连接 ， ，过 作 于 ，先由正切定义，解得 的长，由①中结论知， ，继而得到 ，据此解题；
（3）①由切线性质解得 ，再由平行线性质及等腰三角形性质解得 ，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接 ，过点 作 交 的延长线于 点，根据 ，据此解题．
解：（1）直角三角形的面积为： ，
直角三角形斜边为： ，
设直角三角形斜边上的高为 ，则

设直角三角形内切圆的半径为 ，则
，
故答案为： ，1；
（2）①边长为 的正 底边的高为 ，面积为：

，
故答案为： ；
②类比①中方法可知 ，
设点 为正五边形 的中心，连接 ， ，

由①得 ，
过 作 于 ， ，
故 ， ，
故 ，从而得到：
．
（3）① 是 的切线，










过点 作

，
是 的高，


故答案为： ；
②如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 点，则点 即为所求，

连接 ，∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．

24.（1） ；（2） ， ；（3） ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ．

【解析】
（1）由 和 ，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；
（2）分两种情况讨论：①过点 作 ，交抛物线于点 ，②在 下方作 交 于点 ，交抛物线于 ；
（3） 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当 ；②当 ；③当 ．
解：（1）将 和 代入
得
又∵顶点 的坐标为
∴
∴解得
∴抛物线的解析式为： ．
（2）∵ 和
∴直线 的解析式为：

∵抛物线的解析式为： ，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于点 和点 ，
则C点坐标为 ，B点坐标为 ．
①过点 作 ，交抛物线于点 ，
则直线 的解析式为 ，
结合抛物线 可知 ，
解得： （舍）， ，
故 ．
②过点 作 轴平行线，过点 作 轴平行线交于点 ，
由 可知四边形 为正方形，
∵直线 的解析式为
∴ 与 轴交于点 ，
在 下方作 交 于点 ，交抛物线于
∴
又∵OC=CG，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
又由 可得
直线 的解析式为 ，
结合抛物线 可知 ，
解得 （舍）， ，
故 ．
综上所述，符合条件的 点坐标为： ， ．
（3）∵ ，
∴直线 的解析式为
设M的坐标为 ，则N的坐标为
∴
∵ ，
∴直线 的解析式为
∵ 为等腰直角三角形
∴①当 时，如下图所示

则Q点的坐标为
∴
∴
解得： （舍去）， ，
∴此时 ， ； ， ；
②当 时，如下图所示

则Q点的坐标为
∴
∴
解得： （舍去）， ，
∴此时 ， ； ， ；
③当 时，如图所示

则Q点纵坐标为
∴Q点的坐标为
∴Q点到MN的距离=
∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
解得： （舍去）， ，
∴此时 ， ； ， ．
综上所述，点 及其对应点 的坐标为： ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ．