【327963】2024年四川省乐山市中考数学试题

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200739-2024年四川省乐山市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．不等式 的解集是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．下列文物中，俯视图是四边形的是（      ）

A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵

C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎

3． 年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破 亿元，居全省地级市第一．将 用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．下列多边形中，内角和最大的是（      ）

A． B． C． D．

5．为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（      ）

交通方式	公交车	自行车	步行	私家车	其他
人数（人）	30	5	15	8	2

A. 100B. 200C. 300D. 400

6．下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

7．已知 ，化简 的结果为（      ）

A. B. 1C. D.

8．若关于 的一元二次方程 两根为 , ，且 ，则 的值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．6

9．已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则 的取值范围是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．如图，在菱形 中， ， ，点 是 边上一个动点，在 延长线上找一点 ，使得点 和点 关于点 对称，连接 ， 交于点 ．当点 从 点运动到 点时，点 的运动路径长为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

11．计算：       .

12．一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是      ．

13．如图，两条平行线 ， 被第三条直线 所截．若 ，那么       ．

14．已知 ， ，则       ．

15．如图，在梯形 中， ，对角线 和 交于点 ，若 ，则       ．

16．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是      （填序号）；

① ；② ；③ ．

（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则 的取值范围为                          ．

三、解答题

17．计算： π ．

18．解方程组： .

19．如图， 平分 ， ．求证： ．

20．先化简，再求值： ，其中 ．小乐同学的计算过程如下：

解： …①

…②

…③

…④

.…⑤

当 时，原式 ．

（1） 小乐同学的解答过程中，第      步开始出现了错误；

（2） 请帮助小乐同学写出正确的解答过程．

21．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次抽取的游客总人数为      人，扇形统计图中 的值为      ；

(2)请补全条形统计图；

(3)旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．

22．如图，已知点 ， 在反比例函数 的图象上，过点 的一次函数 的图象与 轴交于点 ．

(1)求 , 的值和一次函数的表达式；

(2)连结 ，求点 到线段 的距离．

23．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地．

送行二步与人齐，五尺人高曾记．

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）

(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；

(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为 的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为 的地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含 ， 和 的式子表示；如果不能，请说明理由．

24．如图， 是 的外接圆， 为直径，过点 作 的切线 交 延长线于点 ，点 为 上一点，且 ．

(1)求证： ；

(2)若 垂直平分 ， ，求阴影部分的面积．

25．在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 （a为常数且 ）与 轴交于点 ．

(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；

(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求 的取值范围；

(3)若抛物线与直线 交于 两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求 的取值范围．

26．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题,

【问题情境】

如图1，在 中， ， ，点 在边 上，且 ， ， ，求 的长．

解：如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连结 ．

  

由旋转的特征得 ， ， ， ．

∵ ， ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，即 ．

∴ ．

在 和 中，

， ， ，

∴   ①   ．

∴ ．

又∵ ，

∴在 中，   ②   ．

∵ ， ，

  

∴    ③   ．

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填            ；“②”处应填            ；“③”处应填            ．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

【知识迁移】

如图3，在正方形 中，点 分别在边 ， 上，满足 的周长等于正方形 的周长的一半，连结 ， ，分别与对角线 交于 两点．探究 的数量关系并证明．

  

【拓展应用】

如图4，在矩形 中，点 分别在边 上，且 ．探究 的数量关系                  （直接写出结论，不必证明）．

  

【问题再探】

如图5，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ．设 ， ，求 与 的函数关系式．

  

参考答案

一、单选题

1. A

解： ，解得 ，故此题答案为A．

2. D

解：A．俯视图是圆形，因此选项A不符合题意；

B．俯视图不是四边形，因此选项B不符合题意；

C．俯视图不是四边形，因此选项C不符合题意；

D．俯视图是正方形，因此选项D符合题意；

故此题答案为D．

3. C

解： 大于1，用科学记数法表示为 ，其中 ， ，

∴ 用科学记数法表示为 ，故此题答案为C．

4. D

解：A、是一个三角形，其内角和为180°；

B、是一个四边形，其内角和为360°；

C、是一个五边形，其内角和为540°；

D、是一个六边形，其内角和为720°；

∴内角和最大的是六边形；

故此题答案为D．

5. D

（人），即估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为400．故选D．

6. D

解：A、∵ ，

∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；

B、∵ ，

∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；

C、∵ ，

∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；

D、∵ ，不能得出四边形 是平行四边形，故此选项符合题意.

故此题答案为D．

7. B

， .故选B.

8. A

解： ， ，

而 ， ， ，故此题答案为A．

9. C

解：∵ ，

∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， ，

当 时， ，

∴ ， 关于对称轴对称的点坐标为 ， ，

∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，

∴ ，解得 ，

故此题答案为C．

10. B

解：过点 作 交 于点 ，

∵ ，四边形 是菱形， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 垂直平分 ，

∵点 和点 关于点 对称，

∴ ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ 垂直平分 ，

∴点 在 上运动，

当点 与点 重合时，点 位于点 ，

此时，∵ ，四边形 是菱形， ，

∴ ，

∴ ．

故点 的运动路径长为 ．

故此题答案为B．

二、填空题

11.

．

12. 66

解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71，

所以这组数据的中位数为66．

13.

解：如图，

，

，

而 ，

．

14.

解：由题意知 ．

15.

解：设 ， 的距离为 ，

∴ ，即 ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ．

16. ③； 或

（1）① 中， 时， ，不存在“近轴点”；

② ，由对称性，当 时， ，不存在“近轴点”；

③ ， 时， ，∴ 是 的“近轴点”；

∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③.

（） 中， 时， ，

∴图象恒过点 ，

当直线过 时， ，

∴ ，∴

；

当直线过 时， ，

∴ ，

∴ .

∴ 的取值范围为 或 ．

三、解答题

17. 1

解： π ．

18. 详见解析

解：①＋②，得 ．解得 ．

把 代入②，得 ．

原方程组的解是 ．

19. 见解析

解： 平分 ，

，

在 和 中，

，

≌ ，

．

20. （1） ③（2） ，当 时，原式 ．

（1） 【解】第③步开始出现了错误，分子应该是 ，故答案为③．

21. (1)240，35；(2)见详解；(3)

（1）解：本次抽取的游客总人数为 (人)， ；

（2）“甜皮鸭”对应的人数为 (人)，补全图形如下.

（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“ ”，

画树状图如图所示，

共有12种等可能的结果数，其中抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”题目的结果数为2，

∴抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是 ．

22. (1) ， ， ； (2) 点 到线段 的距离为

（） 点 , 在反比例函数 图象上， ， .

又 一次函数 过点 ， ， ，解得 ，

一次函数表达式为 ；

（2）如图，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点

， ， 轴， .

点 ， ， ， 点 ， ， ，

在 中， .

又 ，即 ，

∴ ，即点 到线段 的距离为 ．

23. (1)秋千绳索的长度为 尺；(2)能，

（1）解：如图，过点 作 ，垂足为点 ．

设秋千绳索的长度为 尺．由题可知 ， ， ，

∴ ．

在 中，由勾股定理得 ，

∴ ．解得 ．

答：秋千绳索的长度为 尺．

（2）能．

由题可知 ， ．

在 中， ，同理， ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

24. (1)见解析；(2) π

（1）证明：如图，连结 ．

        

∵ 为 的切线，

∴ ，即 ．

又∵ 为直径，

∴ ，即 ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（2）解：如图，连结 ， ．

          

∵ 垂直平分 ，

∴ ．

又∵ ，

∴ 为等边三角形．

∴ ， ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

又∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ 为等边三角形．

∴ ， ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

又∵ _扇形ππ ，

∴ _阴影扇形π ，

∴阴影部分的面积为 π ．

25. (1) ；(2) ；(3)

（1）解：当 时，抛物线 ．

∴顶点坐标 ．

（2）令 ，则 ，

∴ ，

∵线段 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，

∴“完美点”的个数为4个或5个．

∵ ，

∴当“完美点”个数为4个时，分别为 ， ， ， ；

当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．

∴ ．

∴ 的取值范围是 ．

（3）根据 ，得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．

∵抛物线与直线 交于 两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，显然，“完美点” ， ， 符合题意．

下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况

①当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．

②当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．

∴ 的取值范围是 ．

26. 【问题解决】① ≌ ；② ；③5；【知识迁移】 ，见解析；【拓展应用】 ；【问题再探】

解：（1）【问题解决】解：如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连结 ．

  

由旋转的特征得 ， ， ， ．

∵ ， ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，即 ．

∴ ．

在 和 中， ， ， ，

∴① ≌ ．

∴ ．

又∵ ，

∴在 中，② ．

∵ ， ，

∴ ③．

（2）【知识迁移】 ．

证明：如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．

过点 作 交边 于点 ，连结 ．

  

由旋转的特征得 ．

由题意得 ，

∴ ．

在 和 中， ，

∴ ≌ ．

∴ ．

又∵ 为正方形 的对角线，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在 和 中， ，

∴ ≌ ，

∴ ．

在 和 中， ，

∴ ≌ ．

∴ ．

在 中， ，

∴ ．

（3）【拓展应用】 ．

证明：如图所示，延长 交 延长线于 点，交 延长线于 点，

  

将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ．则 ≌ ．

则 ， ，

，

，

在 和 中

，

≌ ，∴ ，

过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，则四边形 为矩形．

∴ ，

，

，

是等腰直角三角形， ，

，

，

,

，

在 中， ， ，

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴ ，

即 ，

（4）【问题再探】如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连结 ．过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作 ，过点 作 交 于点 , 交于点 ．

  

由旋转的特征得 ．

，

，

，即 ，

在 和 中， ，

≌ ，

，

，

，

又 ，

，

，

，

，

，即 ，

，

同理可得 ．

，

，

，

又∵ ，

∴四边形 为矩形．

，

，

在 中， ．

，

解得 ．