【327962】2024年四川省广元市中考数学试题

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200689-2024年四川省广元市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．将 在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（      ）

A． 　　　　B．1　　　　C． 　　　　D．3

2．下列计算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（      ）

  

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

4．在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（      ）

A．中位数是95　　　　B．方差是3　　　　C．众数是95　　　　D．平均数是94

5．如图，已知四边形 是 的内接四边形， 为 延长线上一点， ，则 等于（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．如果单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点 在（      ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7．如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 ， 的对应点分别为点 ， ，连接 ，点 恰好落在线段 上，若 ， ，则 的长为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C．2　　　　D．

8．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买 ， 两种绿植，已知 种绿植单价是 种绿植单价的3倍，用6750元购买的 种绿植比用3000元购买的 种绿植少50株．设 种绿植单价是 元，则可列方程是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

9．如图①，在 中， ，点 从点 出发沿 → → 以 的速度匀速运动至点 ，图②是点 运动时， 的面积 随时间 （） 变化的函数图象，则该三角形的斜边 的长为（      ）

A．5　　　　B．7　　　　C． 　　　　D．

10．如图，已知抛物线 过点 与 轴交点的横坐标分别为 ， ，且 ， ，则下列结论：

① ；

②方程 有两个不相等的实数根；

③ ；

④ ；

⑤ ．其中正确的结论有（      ）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

二、填空题

11．分解因式：                                    ．

12．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为      秒．

13．点 是正五边形 边 的中点，连接 并延长与 延长线交于点 ，则 的度数为      ．

  

14．若点 满足 ，则称点 为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标                            ．

15．已知 与 的图象交于点 ，点 为 轴上一点，将 沿 翻折，使点 恰好落在 上点 处，则 点坐标为      ．

  

16．如图，在 中， ， ，则 的最大值为      ．

  

三、解答题

17．计算： π ．

18．先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．

19．如图，已知矩形 ．

(1)尺规作图：作对角线 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)连接 ， ．求证：四边形 是菱形．

20．广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用 表示，总分为100分，共分成五个等级A： ；B： ；C： ；D： ；E： ）．并绘制了如下尚不完整的统计图．

抽取学生成绩等级人数统计表

等级	A	B	C	D	E
人数		27	30	12	6

其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是 ．

(1)样本容量为      ，       ；

(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．

21．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角 的正弦值与折射角 的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)若光从真空射入某介质，入射角为 ，折射角为 ，且 ， ，求该介质的折射率；

(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 ，，， 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 对角线交点 处射入，其折射光线恰好从点 处射出．如图②，已知 ， ，求截面 的面积．

22．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：

价格/类别	短款	长款
进货价（元/件）	80	90
销售价（元/件）	100	120

(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

23．如图，已知反比例函数 和一次函数 的图象相交于点 ， 两点， 为坐标原点，连接 ， ．

  

(1)求 与 的解析式；

(2)当 时，请结合图象直接写出自变量 的取值范围；

(3)求 的面积．

24．如图，在 中， ， ， 经过 ， 两点，交 于点 ， 的延长线交 于点 ， 交 于点E．

(1)求证： 为 的切线；

(2)若 ， ，求 的半径．

25．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．

在 中，点 为边 上一点，连接 ．

(1)初步探究

如图2，若 ，求证： ；

(2)尝试应用

如图3，在（1）的条件下，若点 为 中点， ，求 的长；

(3)创新提升

如图4，点 为 中点，连接 ，若 ， ， ，求 的长．

26．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 经过点 ，与 轴交于点 ．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线 上方抛物线上有一动点 ，连接 交 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；

(3)作抛物线 关于直线 上一点的对称图象 ，抛物线 与 只有一个公共点E（点 在 轴右侧），G为直线 上一点， 为抛物线 对称轴上一点，若以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求 点坐标．

参考答案

一、单选题

1. B

根据题意，数轴上 所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1．

故此题答案为B．

2. D

解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；

B． ，故该选项不正确，不符合题意；    

C． ，故该选项不正确，不符合题意；

D． ，故该选项正确，符合题意．

故此题答案为D．

3. C

解：从上面看，如图所示，

  

故此题答案为C．

4. B

解：将数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的一个数据是95，∴中位数是95，故A选项正确；

这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确；

这组数据的平均数是 ，故D选项正确；

这组数据的方差为 ，故B选项错误.故此题答案为B．

5. A

解： 是圆周角，与圆心角 有相同的弧，且 ，

，

又 四边形 是 的内接四边形， ，

又 ， ，

故此题答案为A．

6. D

解：∵单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，

∴单项式 与单项式 是同类项，

∴ ，

解得， ，

∴点 在第四象限，

故此题答案为D

7. A

解：由旋转得 ≌ ， ，

∴ ， ， ，

∴ 是等腰直角三角形， ，

过点 作 于点 ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

故此题答案为A．

8. C

解：设 种绿植单价是 元，则 种绿植单价是 元，根据题意得

，故此题答案为C．

9. A

解：由图象可知， 面积最大值为6，

由题意可得，当点 运动到点 时， 的面积最大，

∴ ，即 ，

由图象可知，当 时， ，此时点 运动到点 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ．

故此题答案为A．

10. C

解：① 抛物线开口向上， ， ，

∴当 时， ，故①不符合题意；

②∵抛物线 过点 ，∴函数的最小值 ，

∴ 有两个不相等的实数根；

∴方程 有两个不相等的实数根，故②符合题意；

③∵ ， ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，且 ，

∴ ，而 ，∴ ，∴ ，故③不符合题意；

④∵抛物线 过点 ，∴ ，

∵ 时， ，即 ，

当 时， ，∴ ，∴ ，

∴ ，故④符合题意；

⑤∵ ， ，∴ ，

由根与系数的关系可得 ， ，

∴ ,

∴ ，∴ ，故⑤符合题意.

故此题答案为C．

二、填空题

11. /

．

12.

解：根据题意1阿秒是 秒可知，

43阿秒 秒．

13.

解：连接 ， ，

  

∵五边形 是正五边形，∴ ， ，

∴ ≌ ，∴ ，

∵点 是 的中点，∴ 是 的垂直平分线，∴ ，

∵在正五边形 中， ，

∴ ，

∴ ．

14. （答案不唯一）

等号两边都乘 ，得 .令 ，则 ， “美好点”的坐标为 ，故答案为 （答案不唯一）.

15.

解：如图所示，过点 作 轴，过点 作 轴，

  

∵ 与 的图象交于点 ，

∴把 代入 ，得出 ，∴ ，

把 代入 ，解得 ，∴ ，

设 ， ，在 ， ，∴ ，

∵点 为 轴上一点，将 沿 翻折，

∴ ， ，∴ ，

则 ，解得 （负值已舍去），

∴ ， ，∴ ，∴点 的坐标为 ， ．

16.

解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示：

  

， 在 中，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，

，即 ， ，

延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示：

  

，

， ， 是等腰直角三角形，则 ，

在 中， ， ，由辅助圆-定弦定角模型，作 的外接圆，如图所示：

  

由圆周角定理可知，点 在 上运动， 是 的弦，求 的最大值就是求弦 的最大值，根据圆的性质可知，当弦 过圆心 ，即 是直径时，弦最大，如图所示：

  

是 的直径， ，

， 是等腰直角三角形，

，

，则由勾股定理可得 ，即 的最大值为 ．

 

三、解答题

17.

解：原式 ．

18. ，

原式

,

，

，

原式 ．

19. 见详解

（1）解：如图1所示，直线 为所求.

（2）证明：如图2，设 与 的交点为 ，

由（1）可知，直线 是线段 的垂直平分线．

∴ ， ， ，

又∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，

∴ ≌ ，∴ ，∴ ，

∴四边形 是菱形．

20. (1)90，15；(2)200；(3) ．

（1）解：样本容量为 ， ；

（） （名）,

答：全校1200名学生中，估计 等级的人数有200名．

（3）设七年级学生为 ，八年级学生为 ， ，九年级学生为 ，

画树状图如下,

由树状图可知一共有20种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种，

∴P（选择的两人来自同一个年级） ．

21. (1) ；(2) ．

（1）∵ ，

∴如图，

设 ，则 ，由勾股定理得， ，

∴ ，

又∵ ，∴ ，∴折射率为 ．

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵四边形 是矩形，点 是 中点，

∴ ， ，

又∵ ，

∴ ，

在 中，设 ， ，

由勾股定理得， ，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴截面 的面积为 ．

22. (1)长款服装购进30件，短款服装购进20件；(2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大销售利润，最大利润是销售4800元．

（1）解：设购进短款服装 件，购进长款服装 件，

由题意可得 ，解得 ，

答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．

（2）解：设第二次购进 件短款服装，则购进 件长款服装，

由题意可得 ，解得 ，

设利润为 元，则 ，

∵ ，∴ 随 的增大而减小，∴当 时，

_最大 （元）．

答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大销售利润，最大销售利润是4800元．

23. (1) ； ； (2) 或 ； (3) .

（1）由题知 ，∴ ，∴ ， ，∴ ，

把 ， 代入 得 ，， ∴ ，，

∴ ；

（2）由图象可知自变量 的取值范围为 或 ；

（3）若 与 轴相交于点 ，

当 时， ， ∴ ，即 ，

∴ ．

  

24. (1)证明见详解； (2) ．

（1）证明：连接 ．

∵ ， ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，

∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ 为 的切线．

（2）过点 作 于点 ，

∵ 为等腰直角三角形， ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ．

在 中，∵ ，

设半径为 ，∴ ，∴ ．

25. (1)证明见详解； (2) ； (3) .

（1）证明：∵ ， ，∴ ，

∴ ，∴ ；

（2）解：∵点 为 中点，∴设 ，

由（1）知 ，

∴ ，∴ ，

∴ 与 的相似比为 ，∴ ，

∵ ∴ ；

（3）解：过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过 作 ，如图1所示，

∵点 为 中点，∴设 ，

∵ ，∴ ， ，

在 中， ，则由勾股定理可得 ，

过点 作 于点 ，如图2所示，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ，

∴ ，∴ ，

∵ ，点 为 中点，

∴ ， ， ，

又∵ ，∴ ， ，

∴ ，

又∵ ，∴ ， ，∴ ，即 ，

∴ ，∴ ．

26. (1) ； (2)最大值为 ， 的坐标为 ； (3)点 的坐标为 ， ， ．

（1）解： ， 代入 ，

得 ，解得 ，

∴抛物线的函数表达式为 ．

（2）解：如图1，过点 作 轴的垂线交 于点 ．

∴ 轴，∴ ，∴ ，

设 的解析式为 ，

把 ， 代入解析式得 ，解得 ，

∴ ．设 ，则 ，∴ ，

∵ ， ，∴当 时， 最大，最大值为 ．

∴ 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．

（3）解：由中心对称可知，抛物线 与 的公共点 为直线 与抛物线 的右交点，

∴ ，∴ （舍）， ，∴ ．

∵抛物线 ： 的顶点坐标为 ，∴抛物线 的顶点坐标为 ，

∴抛物线 的对称轴为直线 ．

如图2，当 为对角线时，由题知 ，

∴ ，∴ ．

如图3，当 为边时，由题知 ，

∴ ，∴ ．

如图4，由题知 ，

∴ ，∴ ，

综上：点 的坐标为 ， ， ．