【327952】2024年山东省烟台市中考数学试题

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200809-2024年山东省烟台市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列实数中的无理数是（      ）

A． 　　　　B．3.14　　　　C． 　　　　D．

2．下列运算结果为 的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（      ）

  

A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④

4．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是 纸厚度的六分之一，已知1毫米 百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（      ）

A． 纳米B． 纳米C． 纳米D． 纳米

6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为 _甲 和 _乙， 则 _甲 和 _乙 的大小关系是（      ）

A． _甲乙 B． _甲乙 C． _甲乙 D．无法确定

7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 为 的平分线的有（      ）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

8．如图，在正方形 中，点 , 分别为对角线 , 的三等分点，连接 并延长交 于点 ,连接 , .若 ,则 用含 的代数式表示为（      ）

（第4题图）

A. B. C. D.

9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布， 天完工，问一共织了多少布？

A． 尺　　　　B． 尺　　　　C． 尺　　　　D． 尺

10．如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形 的顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形 以 的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形 与矩形 重叠部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

二、填空题

11．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围为        ．

12．关于 的不等式 有正数解， 的值可以是                （写出一个即可）.

13．若一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为        ．

14．如图，在边长为6的正六边形 中，以点 为圆心，以 的长为半径作 ， 剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为        ．

15．如图，在 ▱ 中， ， ， ， 为边 的中点， 为边 上的一动点，将 沿 翻折得 ，连接 ， ，则 面积的最小值为        ．

16．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表

下列结论： ① ； ② 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； ③ 当 时， 的取值范围为 ； ④ 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； ⑤ 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为           ．

三、解答题

17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ，若 是其显示结果的平方根，先化简： ， 再求值．

18．“山海同行，舰回烟台”.2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年.值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用 表示，单位： ）进行调查.经过整理，将数据分成四组 组： ；B组： ；C组： ；D组： ，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

（1） 请补全条形统计图；

（2） 扇形统计图中， 的值为  ，D组对应的扇形圆心角的度数为            ；

（3） D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.

19．根据收集的素材，探索完成任务．

探究太阳能热水器的安装
素材一	太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二	某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为 ，冬至日时， ；夏至日时， ．	， ， ， ， ， ， ， ，
素材三	如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼 共11层，乙楼 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米， 为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一	确定使用数据	要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择        日（填冬至或夏至）时， 为        （填 ， ， ， 中的一个）进行计算．
任务二	探究安装范围	利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．

 

20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价 元，每天的销售利润为 元.

（1） 求 与 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大利润为多少元?

（2） 全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅?

21．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，将正比例函数图象向下平移 个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点 ， ，与 轴， 轴交于点 ， ，且满足 ．过点 作 轴，垂足为点 ， 为 轴上一点，直线 与 关于直线 成轴对称，连接 ．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求 的值及 的面积．

22．在等腰直角 中， ， ， 为直线 上任意一点，连接 ．将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．

【尝试发现】

（1）如图1，当点 在线段 上时，线段 与 的数量关系为              ；

【类比探究】

（2）当点 在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明；

【联系拓广】

（3）若 ， ，请直接写出 的值．

23．如图， 是 的直径， 内接于 ，点 为 的内心，连接 并延长交 于点 ， 是 上任意一点，连接 ， ， ， .

（1） 若 ，求 的度数；

（2） 找出图中所有与 相等的线段，并证明；

（3） 若 ， ，求 的周长.

24．如图,抛物线 与 轴交于 , 两点，与 轴交于点 , , ,对称轴为直线 ,将抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴为直线 .

（1） 分别求抛物线 和 的表达式;

（2） 如图（1）,点 的坐标为 ,动点 在直线 上,过点 作 轴与直线 交于点 ,连接 , ,求 的最小值;

图（1）

（3） 如图（2）,点 的坐标为 ,动点 在抛物线 上，试探究是否存在点 ,使 ?若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在,请说明理由.

图（2）

参考答案

一、单选题

1. C

解：A、 是有理数，不符合题意；

B、3.14是有理数，不符合题意；

C、 是无理数，符合题意；

D、 是有理数，不符合题意，

故此题答案为C．

2. D

A． ，故选项不符合题意；

B． ，故选项不符合题意；

C． ，故选项不符合题意；

D． ，故选项符合题意.

故此题答案为D．

3. A

解：A、取走①时，左视图为   ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；

B、取走②时，左视图为   ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C、取走③时，左视图为   ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

D、取走④时，左视图为   ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意.

故此题答案为A．

4. B

由数轴可得， ， ， ，

、 ，原选项判断错误，不符合题意；

、 ，原选项判断正确，符合题意；

、根据数轴可知， ，原选项判断错误，不符合题意；

、根据数轴可知， ，则 ，原选项判断错误，不符合题意，

故此题答案为 ．

5. B

解：0.015毫米 纳米，故此题答案为B．

6. A

解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴ _甲乙 ；

故此题答案为A．

7. D

解：第一个图为尺规作角平分线的方法， 为 的平分线；

第二个图，由作图可知 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ 为 的平分线；

第三个图，由作图可知 ，

∴ ， ，

∴

∴ ，

∴ 为 的平分线；

第四个图，由作图可知 ， ，

∴ 为 的平分线.

故此题答案为D．

8. B

如图，设 ， 交于点 正方形 中，点 ， 分别为对角线 ， 的三等分点， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ≌ ， ， ， .故选B.

【思路分析】

设 ， 交于点 .由点 ， 分别为对角线 ， 的三等分点，得到 ， ，再证明 ，得出 ，由此推出 ≌ ，得到 ，进而求解即可

9. C

解：由题意得，第一天织布 尺，第 天织布 尺，∴一共织布 （尺），

故此题答案为 ．

10. D

解：如图所示，设 交于点 ，

∵菱形 ， ，∴ ，

又∵ ，∴ 是等边三角形，

∵ ， ，∴ ，

∴ ，∴ _菱形 ，

当 时，重合部分为 ，

如图所示，

依题意， 为等边三角形，运动时间为 ，则 ，

∴ ，

当 时，如图所示，

依题意， ，则 ，

∴ ，

∴ _菱形 ，

∵ ∴当 时， ；

当 时，同理可得， ；

当 时，同理可得， ；

综上所述，当 时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当 时，函数图象为一条线段，当 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当 时，函数图象为开口向上的一段抛物线.

故此题答案为D．

二、填空题

11.

解：由题意，得， ，解得， ．

12. 0（答案不唯一）

不等式整理得 ，解得 不等式 有正数解， ，解得 ， 的值可以是0，故答案为0（答案不唯一）.

13. 6

解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，

∴ ， ，

∴ ．

14.

解：∵正六边形 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

过点 作 于点 ， 则： ，

设圆锥的底面圆的半径为 ， 则： ， ∴ ．

15.

解：∵在 ▱ 中， ， ，

∴ ， ，则 ，

∵ 为边 的中点，∴ ，

∵ 沿 翻折得 ，∴ ，

∴点 在以 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过 作 交 延长线于 ，交圆 于 ，此时 到边 的距离最短，最小值为 的长，即 面积的最小，

过 作 于 ，

∵ ，∴ ，

在 中， ， ，∴ ，

∴ ，∴ 面积的最小值为 ．

16. ①②④

解：把 ， ， 代入 得，

，

解得 ，

∴ ，故 ① 正确；

∵ ， ， ，

∴ ，

当 时， ，

∴ ，

∵ ，

∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 ② 正确；

∵抛物线的对称轴为直线 ，

∴抛物线的顶点坐标为 ，

又∵ ，

∴当 时， 随 的增大而增大，

当 时， 随 的增大而减小，

当 时，函数取最大值 ，

∵ 与 时函数值相等，等于 ，

∴当 时， 的取值范围为 ，故 ③ 错误；

∵ ，

∴点 ， 关于对称轴 对称，

∴ ，故 ④ 正确；

由 得 ，

即 ，画函数 和 图象如下

由 ，

解得 ， ，

∴ ， ，

由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 ⑤ 错误.

综上，正确的结论为 ①②④ ．

 

三、解答题

17. ， ．

解：

，

∵ ， ∴ 的平方根为 ，

∵ ， ∴ ，

又∵ 为 的平方根，∴ ， ∴原式 ．

18. （1） 【解】抽取的学生总人数为 （人）， 组人数为 （人）.补全条形统计图如图：

（2） 32；  （3） 列表如下：

	男1	男2	女1	女2
男1		男1，男2	男1，女1	男1，女2
男2	男2，男1		男2，女1	男2，女2
女1	女1，男1	女1，男2		女1，女2
女2	女2，男1	女2，男2	女2，女1

共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， （所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生） .

（2） ， . 组对应的扇形圆心角的度数为 .故答案为 .

19. 任务一：冬至， ；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器

任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需 为冬至日时的最小角度，即 ；

任务二：过 作 于 ，则 ， 米， ，

在 中， ，

∴ （米），

∵ （米），

∴ （米），

（层），

答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．

20. （1） 【解】由题意，得 . 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ，即 . ， 当 时， 随 的增大而增大， 当 时，每天的销售利润最大，为 （元）.即每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元.（2） 当 时， ，解得 ， （不合题意，舍去）, （辆）.答：这天售出了64辆轮椅.【思路分析】（1）根据总利润等于单件利润乘销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可.

21. (1) ； (2) ，

（1）解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，

∴ ，∴ ，∴ ,∴ ；

（2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ,

∵将正比例函数图象向下平移 个单位，∴平移后的解析式为 ，

如图所示，过点 ， 作 轴的平行线交 轴于点 ，则 ， 是等腰直角三角形， ,

∴ ，∴ ，∴ ,

设 ，则 ，∴ ，∴ ，

∵ ， ，在 上，∴ ，

解得 （负值舍去），∴ ，∴ ，

∴ 的解析式为 ， ,

当 时， ，则 ，∴ ， ，则 ,

∵直线 与 关于直线 成轴对称， 轴，∴ ， 和 是等腰直角三角形，∴ ∴ ，

∵ 和 是等腰直角三角形， ，∴ ,

∴ .

22. （） ； （） ，补图及证明见解析； （）

解：（1）如图，过点 作 延长线于点 ，

由旋转得 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵

，∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（2）补全图形如图：

，理由如下

过点 作 延长线于点 ，

由旋转得 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（3）如图，过点 作 延长线于点 ，

由（2）得 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

23. （1） 【解】 是 的直径， .又 ， 四边形 是 的内接四边形， ， .（2） .证明如下：连接 ，如图（1）. 点 为 的内心， ， ， ， ， . ， ， ， .

（3） 过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，如图（2）. 点 为 的内心，即为 的内切圆的圆心， ， ， 分别为该内切圆与 三边的切点， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为 .

24. （1） 【解】设直线 与 轴交于点 .由题意得 对称轴为直线 ， ， , ， ， .将 , , 的坐标分别代入 ，得 解得 ， 抛物线 的顶点为 抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ， 抛物线 的顶点为 ， 的表达式为 ，即 .（2） 如图（1）,将点 向右平移2个单位至 ，则 ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 , , ， . ， 直线 的表达式为 轴， .对于抛物线 ，令 ，则 ， 点 与点 关于直线 对称， 点 轴， ， 四边形 为平行四边形， ， ， 当 , , 三点共线时， 取得最小值，为 的值. ， 的最小值为 .

图（1）（3） 存在， 或 .①当点 在直线 右侧抛物线 上时，如图（2）. 抛物线 ， 轴， ， .作 关于直线 的对称点 ，由对称得 ,则点 在直线 上. 点 的坐标为 ，直线 ： ， .设直线 的表达式为 ，将 ， 代入,得 解得 直线 的表达式为 .联立得 解得 .

图（2）②当点 在直线 左侧抛物线 上时，延长 交 轴于点 ，作 的垂直平分线交 于点 ，交 轴于点 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，则 ，如图（3）. 垂直平分 ， ， ， , ， .由点 , ,得 , ， ， ， ， .设 ,则 ， ， .在 和 中，由勾股定理得 ， ，解得 或 （舍去）, ， ， .设直线 的表达式为 ，将点 ， 的坐标代入，得 解得 直线 的表达式为 .联立得 解得 ｛ .

图（3）【关键点拨】要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题.