【327780】2022年四川省自贡市中考数学真题

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2022年四川省自贡市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.如图，直线 相交于点 ，若 ，则 的度数是（       ）

A．30°
B．40°
C．60°
D．150°

2.自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止今年5月，共接待游客180000余人；人数180000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，将矩形纸片 绕边 所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（       ）

A．
B．
C．
D．

4.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点 的坐标为（       ）

A．
B．
C．
D．

6.剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径， ，则 的度数是（       ）

A．90°
B．100°
C．110°
D．120°

8.六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（       ）
A．平均数是14
B．中位数是14.5
C．方差3
D．众数是14

9.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（       ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°

10. 为⊙ 外一点， 与⊙ 相切于点 ， ， ，则 的长为（       ）
A．
B．
C．
D．

11.九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（       ）

A．方案1
B．方案2
C．方案3
D．方案1或方案2

12.已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax²+bx+c(a＞0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．
其中正确的是（       ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．①③④

13.计算：|﹣2|=___．

14.分解因式： ___________．

15.化简： ＝____________．

16.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）

17.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，弓形高 为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

18.如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．

19.解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．

20.如图，△ 是等边三角形， 在直线 上， ．求证： ．

21.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．

22.为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间 （单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

(1)求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；
(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
(3)某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率．

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)过点 作直线 ∥ 轴，过点 作直线 于 ，点 是直线 上一动点，若 ，求点 的坐标．

24.如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 ．我们还可以得到 ＝ ， ＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现 ∥ ，请证明这一结论；
(3)已知 ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间的距离．

25.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：


(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 ．测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 ．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 ．（ ，结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）．

26.已知二次函数 ．

(1)若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围；
(3)若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数图象经过 ， 两点，试比较 的大小 ．

参考答案

1.A

【解析】
根据对顶角相等可得 ．
解：∵ ， 与 是对顶角，
∴ ．
故选：A．

2.C

【解析】
用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成 的形式即可．
∵180000= ，
故选C．

3.A

【解析】
根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答．
解：矩形纸片 绕边 所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．
故选：A．

4.B

【解析】
根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
A. ，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误．
故选：B．

5.B

【解析】
根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为 ，
故选C．

6.D

【解析】
根据轴对称图形的定义判断即可．
∵ 不是轴对称图形,
∴A不符合题意；
∵ 不是轴对称图形,
∴B不符合题意；
∵ 不是轴对称图形,
∴C不符合题意；
∵ 是轴对称图形,
∴D符合题意；
故选D．

7.C

【解析】
因为 为⊙ 的直径，可得 ， ，根据圆内接四边形的对角互补可得 的度数，即可选出答案．
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ，
∴ ，
故答案选：C．

8.D

【解析】
分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可．
解：A．六位同学的年龄的平均数为 ，故选项错误，不符合题意；
B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15，
∴中位数为 ，故选项错误，不符合题意；
C．六位同学的年龄的方差为 ，故选项错误，不符合题意；
D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意．
故选：D．

9.B

【解析】
这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，
解得： ，
即这个底角的度数为40°．
故选：B

10.A

【解析】
连接OT，根据切线的性质求出求 ，结合 利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．
解：连接OT，如下图．

∵ 与⊙ 相切于点 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．

11.C

【解析】
分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
解：方案1，设 米，则 米，

则菜园的面积


当 时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠ 时，菜园最大面积 平方米；

方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积 平方米＞8平方米，
故选：C

12.D

【解析】
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax²+bx+c=0，
设该方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=- ，x₁x₂= ，
∴CD²=( x₁-x₂) ²=( x₁+x₂) ²-4x₁x₂ ，
根据顶点坐标公式， ，
∴ ，即 ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴ =4²=16，解得a= ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
．   

13.2

【解析】
根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解
∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2
故答案为：2

14.

【解析】
利用提公因式法进行因式分解．
解：
故答案为： ．

15.

【解析】
根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．

=

故答案为

16.甲

【解析】
先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论．
解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似 ，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似 ，解得y＝1000；
，
可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．

17.26

【解析】
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC²+BC²=OB²，进而求出半径．
解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC²+BC²=OB²，
∴（r-2）²+10²=r²，
解得r=26．
故答案为：26．

18.

【解析】
如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为：

19.-1＜x＜2，数轴表示见解析

【解析】
分别解两个不等式，找出其解集的公共部分即不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
解：
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x＞-1，
则不等式组的解集为-1＜x＜2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

20.详见解析

【解析】
由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得 ．
证明：∵△ 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴ ．

21.张老师骑车的速度为 千米/小时

【解析】
实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
解：设张老师骑车的速度为 千米/小时，则汽车速度是 千米/小时，
根据题意得： ，
解之得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为 千米/小时．

22.(1)100，图形见解析
(2)900
(3)

【解析】
（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；
（3）设A等级2人分别用A₁，A₂表示，D等级2人分别用D₁，D₂表示，画出树状图，即可求解．
(1)
解：根据题意得： ；
∴D等级的人数为100-40-15-10=35（人），
补全条形统计图如下：

(2)
解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为
（人）；
(3)
解：设A等级2人分别用A₁，A₂表示，D等级2人分别用D₁，D₂表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

一共有12中等可能结果，其中这2人均属D等级的有2种，
∴这2人均属D等级的概率为 ．

23.(1)y＝ ，y＝﹣x＋1；
(2)（2，8）或（2，﹣4）

【解析】
（1）把点A（﹣1，2）代入 求出n的值，即可得到反比例函数的解析式，把B（m，﹣1）代入求得的反比例函数的解析式得到m的值，把A、B两点的坐标代入一次函数 ，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据已知条件确定AD的长及点D的坐标，由DC＝2AD得到DC＝6，从而求得点C的坐标．
(1)
解：把点A（﹣1，2）代入 得，
2＝ ，
解得n＝﹣2，
∴反比例函数的解析式是y＝ ，
把B（m，﹣1）代入y＝ 得，
﹣1＝ ，
解得m＝2，
∴ 点B的坐标是（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入 得，
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋1；
(2)
解：∵直线l y轴，AD⊥l，点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，﹣1），
∴ 点D的坐标是（2，2），
∴ AD＝2－（﹣1）＝3，
∵ DC＝2DA，
∴ DC＝6，
设点C的坐标为（2，m），
则｜m－2｜＝6，
∴ m－2＝6或m－2＝﹣6，
解得m＝8或﹣4，
∴ 点C的坐标是（2，8）或（2，﹣4）

24.(1)CD，AD；
(2)见解析；
(3)EF于BC之间的距离为64cm．

【解析】
（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理可求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到 ，代入数值求解EG，即可得到答案．
(1)
解：∵ 把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
(2)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF BC，
∴EF AD；
(3)
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
BH＝ （cm），
∵ EG⊥BC，
∴∠EGB＝∠BCH＝90°，
∴CH EG，
∴ △BCH∽△BGE，
∴ ，
∴ ，
∴EG＝64，
∵ EF BC，
∴EF与BC之间的距离为64cm．

25.(1)证明见解析
(2)10.2米
(3) 米

【解析】
（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 、m的式子表示出PH．
(1)
证明：∵
∴
∴
(2)
由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米， ，
在Rt△POQ中
tan∠POQ=
∴
∴ （米）
故答案为：10.2米．
(3)
由题意得： ，
由图得：
，
∴
∴
∴
∴ 米
故答案为： 米

26.(1) ， ； ；
(2)见详解； ；
(3) ．

【解析】
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出 的取值范围；
（3）根据题意分别求出 ， ，将点P点Q的坐标代入分别求出 ，利用作差法比较大小即可．
(1)
解：∵ ，且函数图象经过 ， 两点，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵当 时，则 ，
解得 ， ，
∴抛物线与 轴交点的坐标为 ， ，
∵ ，
∴抛物线的顶点的坐标为 ．
(2)
解：函数的大致图象，如图①所示：

当 时，则 ，
解得 ， ，
由图象可知：当 时，函数值 ．
(3)
解：∵ 且 ，
∴ ， ， ，且一元二次方程 必有一根为 ，
∵一元二次方程 两根之差等于 ，且
∴方程的另一个根为 ，
∴抛物线的对称轴为直线： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
∴ ,
∴ ，
∴ ．