【327770】2022年四川省凉山州中考数学真题

绝密·启用前

2022年四川省凉山州中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.﹣2022的相反数是（   ）
A．﹣2022
B．2022
C．﹣
D．

2.如图所示的几何体的主视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

3.我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（       ）
A．8.0917×10⁶
B．8.0917×10⁵
C．8.0917×10⁴
D．8.0917×10³

4.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（       ）

A．40°
B．45°
C．50°
D．55°

5.化简： ＝（       ）
A．±2
B．－2
C．4
D．2

6.分式 有意义的条件是（       ）
A．x＝－3
B．x≠－3
C．x≠3
D．x≠0

7.下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）
A．3，4，8
B．5，6，11
C．5，6，10
D．5，5，10

8.一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（       ）
A．4
B．5
C．8
D．10

9.家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（       ）

A． 米²
B． 米²
C． 米²
D． 米²

10.一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（       ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， ，DE＝6cm，则BC的长为（       ）

A．9cm
B．12cm
C．15cm
D．18cm

12.已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（       ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根

13.计算：－1²＋|－2023|＝_______．

14.分解因式： =______．

15.如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______．

16.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．

17.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，则⊙O的半径为_______．

18.已知实数a、b满足a－b²＝4，则代数式a²－3b²＋a－14的最小值是________．

19.如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．

20.解方程：x²－2x－3＝0

21.先化简，再求值： ，其中m为满足－1＜m＜4的整数．

22.为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

(1)该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
(2)在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．

23.去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

24.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．

25.为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．

26.阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁，x₂，则x₁＋x₂＝ ，x₁x₂＝
材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．
解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁，x₂，则x₁＋x₂＝ ；x₁x₂＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．

27.如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

28.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反数的定义判断即可．
解：﹣2022的相反数是2022，
∴B正确．
故选：B．

2.C

【解析】
根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得．
解：这个几何体的主视图是
故选：C．

3.C

【解析】
根据科学记数法的定义即可得．
解：科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则 ，
故选：C．

4.C

【解析】
如图（见解析），先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等即可得．
解：如图， ，
，
由对顶角相等得： ，
故选：C．

5.D

【解析】
先计算（-2）²=4，再求算术平方根即可．
解： ，
故选：D．

6.B

【解析】
根据分式的分母不能为0即可得．
解：由分式的分母不能为0得： ，
解得 ，
即分式 有意义的条件是 ，
故选：B．

7.C

【解析】
根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
解：A、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
C、 ，能组成三角形，此项符合题意；
D、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．

8.B

【解析】
先根据平均数的公式可得 的值，再根据平均数的公式即可得．
解： 一组数据4、5、6、 、 的平均数为5，
，
解得 ，
则 、 的平均数为 ，
故选：B．

9.C

【解析】
连接 ，先根据圆周角定理可得 是 的直径，从而可得 米，再解直角三角形可得 米，然后利用扇形的面积公式即可得．
解：如图，连接 ，

，
是 的直径，
米，
又 ，
，
（米），
则扇形部件的面积为 （米²），
故选：C．

10.D

【解析】
根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
解：一次函数 ，
∵
∴图象一定经过一、三象限，
∴当 时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当 时，函数图象经过一、三象限，
∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．
故选：D．

11.C

【解析】
根据平行得到 ，根据相似的性质得出 ，再结合 ，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
解： 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE BC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．

12.C

【解析】
根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
解：A、根据抛物线y＝ax²＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知 ，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax²＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知 ，解得 ，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax²＋bx＋c（a 0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≤0）与直线 的交点情况，根据抛物线y＝ax²＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）， ，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≤0）与直线 的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．

13.2022

【解析】
先计算有理数的乘方、化简绝对值，再计算加法即可得．
解：原式
，
故答案为：2022．

14.a（b+1）（b﹣1）．

【解析】
解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．

15.6

【解析】
设点 的坐标为 ，则 ，先利用三角形的面积公式可得 ，再将点 代入反比例函数的解析式即可得．
解：由题意，设点 的坐标为 ，
轴于点 ，
，
的面积为3，
，
解得 ，
将点 代入 得： ，
故答案为：6．

16.

【解析】
如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得 ，从而可得 ，再根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，然后根据正切的定义即可得．
解：如图，由题意得： ，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ，
故答案为： ．

17.

【解析】
先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sinA= ,即可求得sinA= ,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得 ，则半径可求．
解：连接AC，如图，

∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA= ,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD= ,
∴sinA=sinD=
∴ ，
∴AB=
∴半径为

18.6

【解析】
根据a－b²＝4得出 ，代入代数式a²－3b²＋a－14中，通过计算即可得到答案．
∵a－b²＝4
∴
将 代入a²－3b²＋a－14中
得：

∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．

19.

【解析】
取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则OB= ，cos∠DOB= ，再证∠ACB=∠DOB，即可解．
解：取AB中点D，如图，

由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴OB= ，cos∠DOB= ，
∵OA=OB，
∴∠BOD= ∠AOB，
∵∠ACB= ∠AOB，
∴∠ACB=∠DOB，
∴cos∠ACB= cos∠DOB= ，
故答案为： ．

20.

【解析】
利用因式分解法解一元二次方程即可得．
解： ，
，
或 ，
或 ，
故方程的解为 ．

21. ，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．

【解析】
先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定 的值，代入计算即可得．
解：原式




，
，
，
又 为满足 的整数，
或 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
综上，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．

22.(1)50，图见解析
(2)

【解析】
（1）用参加声乐社团人数除以声乐社团人数占的百分比，即可计算出全班总人数，再用全班总人数乘以参加演讲社团人数占的百分比，即可求出参加演讲社团人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用画树状图法求解即可．
(1)
解：该班的总人数为：12÷24%=50（人），
参加演讲社团人数为：50×16%=8（人），
补全条形图为：

(2)
解：画树状图为：（用A表示参加美术社团、用B表示参加声乐社团，用C、C表示参加演讲社团）

共有12种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数为4，
抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率= ，

23. 米

【解析】
过点 作 于点 ，在 和 中，分别解直角三角形求出 的长，由此即可得．
解：如图，过点 作 于点 ，

由题意得： 米， ，
，
，
在 中， 米， 米，
在 中， 米， 米，
则 （米），
答：压折前该输电铁塔的高度为 米．

24.(1)见解析
(2)10

【解析】
（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD= BC，即可由菱形判定定理得出结论；
（2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S_菱形ADBF= =40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可．
(1)
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE
∵AF BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∵D是BC的中点，
∴AD=BD= BC，
∴四边形ADBF是菱形；
(2)
解：连接DF交AB于O，如图

由（1）知：四边形ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，OA= AB= ×8=4， S_菱形ADBF= =40，
∴ =40，
∴DF=10，
∴OD=5，
∵四边形ADBF是菱形，
∴O是AB的中点,
∵D是BC的中点，
∴OD是△BAC的中位线，
∴AC=2OD=2×5=10．
答：AC的长为10．

25.(1) 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元
(2)最省钱的购买方案是采购20副 型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析

【解析】
（1）设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，根据“购买3副 型羽毛球拍和4副 型羽毛球拍共需248元；购买5副 型羽毛球拍和2副 型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；
（2）设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍 副，结合（1）的结论可得 ，再根据“ 型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球拍数量的2倍”求出 的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．
(1)
解：设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
答： 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元．
(2)
解：设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍 副，
由（1）的结论得： ，
型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球拍数量的2倍，
，
解得 ，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时 ，
答：最省钱的购买方案是采购20副 型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120元．

26.(1) ；
(2)
(3) 或

【解析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
（1）解：∵一元二次方程2x²-3x-1＝0的两个根为x₁，x₂，∴ ， ．故答案为： ； ．
（2）∵一元二次方程2x²-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴ ， ，∴
（3）∵实数s、t满足2s²-3s-1＝0，2t²-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x²-3x-1＝0的两个根，∴ ， ，∵ ∴ 或 ，当 时， ，当 时， ，综上分析可知， 的值为 或 ．

27.(1)⊙M与x轴相切，理由见解析
(2)6
(3)

【解析】
（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；
（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；
（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC= ，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．
(1)
解：⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，如图，

∵MC=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，
∴⊙M与x轴相切；
(2)
解：如图，过点M作MN⊥AB于N，

由（1）知，∠MCO=90°，
∵MN⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
∵∠CON=90°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
设AN=x，   
∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x²+(1+x)²=5²，
解得：x₁=3，x₂=-4（不符合题意，舍去），
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
(3)
解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，

由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC= ，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD= ，即CD²=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD²=CD²-CP²=20-CP²，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD²=MD²-MP²=MD²-（MC-CP）²=5²-（5-CP）²=10CP-CP²，
∴20-CP²=10CP-CP²，   
∴CP=2，
∴PD²=20-CP²=20-4=16，
∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
，解得： ，
∴直线CD的解析式为： ．

28.(1)
(2)
(3)存在，

【解析】
（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析式求出 的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，由此即可得出答案．
(1)
解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
(2)
解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．

(3)
解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
，即 ，恰好在对称轴直线 上，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，

则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，即 的值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．