【327769】2022年四川省乐山市中考数学真题

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2022年四川省乐山市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下面四个数中，比0小的数是（       ）
A．-2
B．1
C．
D．

2.以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．        
D．

3.点 所在象限是（       ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4.一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则这两根之积为（       ）
A．
B．
C．1
D．

6.李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（       ）

A．88
B．90
C．91
D．92

7.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（       ）

A．4
B．3
C．
D．2

8.甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（       ）

A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少

9.如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接BD．若 ， ，则CD的长为（       ）

A．
B．3
C．
D．2

10.如图，等腰△ABC的面积为2 ，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE= BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（       ）

A．
B．3
C．
D．4

11.|－6|＝______．

12.如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______．

13.已知菱形 的对角线相交于点 ， ， ，则菱形的面积为__________ ．

14.已知 ，则 ______．

15.如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．

16.如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y= (k＞0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S_△ABE= ，则k=______．

17.

18.解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

所以原不等式组解集为______．

19.如图，B是线段AC的中点， ，求证： ．

20.先化简，再求值： ，其中 ．

21.第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．

22.为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．

(1)请对张老师的工作步骤正确排序______．
(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．
A．随机抽取八年级三班的40名学生       B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生       D．随机抽取八年级40名学生
(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

23.如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y= (x＜0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．

24.如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上， = ，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．

(1)求证：CG=DG；
(2)已知⊙O的半径为6， ，延长AC至点B，使 ．求证：BD是⊙O的切线．

25.华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)(问题探究)如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且 ．试猜想 的值，并证明你的猜想．

(2)(知识迁移)如图，在矩形ABCD中， ， ，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且 ．则 ______．

(3)(拓展应用)如图，在四边形ABCD中， ， ， ，点E、F分别在线段AB、AD上，且 ．求 的值．

26.如图1，已知二次函数 的图象与x轴交于点 、 ，与y轴交于点C，且 ．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作 轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若 ，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．

参考答案

1.A

【解析】
根据负数比0小即可求解．
解： ，
故选：A．

2.D

【解析】
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.
A.不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，故D正确．
故选：D．

3.B

【解析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．

4.A

【解析】
由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．
解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，
从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是 ．
故选：A．

5.D

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解： 关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，
设另一根为 ，则 ，
，
，
故选：D

6.C

【解析】
根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解．
解：
故选C

7.B

【解析】
利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S_{平行四边形ABCD}=DE×AB=2× ×AC×BF，
∴4×6=2× ×8×BF，
∴BF=3，
故选：B．

8.D

【解析】
结合函数关系图逐项判断即可．
A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；
B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；
C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；
D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；
故选：D．

9.C

【解析】
先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D作 于点E，依据三角函数值可得 从而得 ，再由 得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD= ，从而可求出CD．
解：在 中， ， ，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作 于点E，如图，

∵ ， ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ,
在 中,
∴
∵
∴
故选：C

10.B

【解析】
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．
解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC= BC=1，
∵AE= BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S_△ABC= BC×AD= ×2×AD=2 ，
∴AD=2 ，则CE=AD=2 ，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．

∵BC=2，CE=2 ，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC= ，即 ，
∴BF=8，
∴CF=BF-BC=6,
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN= CF=3，
∴点M的运动路径长为3，
故选：B．

11.6

【解析】
根据绝对值的意义，直接求解即可．

故答案为6．

12.40°##40度

【解析】
根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=40°，

故答案为：40°．

13.24

【解析】
根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案．
解：由题意得：
故答案为：24．

14.

【解析】
根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得 的值，进而代入代数式即可求解．
解： ，
，
即 ，
，
，
故答案为： ．

15.5

【解析】
设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b= c，c= d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b= c，
∴d=2b+c= c，则c= d，
∴4d+ d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．

16.3

【解析】
连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S_△ADE= S_△ABE= ，以及S_△ADE=S_△ADO= ，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
解：连接OD、DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S_△ADE= S_△ABE= ，
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
∴S_△ADE=S_△ADO= ，
设点D(x，y) ，
∴S_△ADO= OA×AD= xy= ，
∴k=xy=3．
故答案为：3．

17.3

【解析】
根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．
解：原式 ．

18. ； ；见详解；

【解析】
分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

所以原不等式组解集为： ．

19.证明过程见详解

【解析】
运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵ ，
∴∠A=∠EBC，
∵ ，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．

20. ，

【解析】
先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x的值即可求解．



，
∵ ，
∴原式= ．

21.摩托车的速度为40千米/时

【解析】
设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．

22.(1)①③②④
(2)D
(3)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．

【解析】
（1）根据正确的工作步骤填空即可；
（2）根据抽样调查的可靠性解答可得；
（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解．
(1)
解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．
故答案为：①③②④；
(2)
解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生，
故选：D；
(3)
解：1000名学生选择B．越味数学的人数有：1000× =200（名），
200÷40=5(个)
估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．

23.(1)反比例函数的解析式为y= ；
(2)图中阴影部分的面积为7．

【解析】
（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S_△ABC- S_△OCD求解即可．
(1)
解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y= (x＜0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，
∴反比例函数的解析式为y= ；
(2)
解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，
∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S_△ABC- S_△OCD= ×6×3- ×2×2=9-2=7．
．

24.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由 = ，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；
（2）要证明BD是⊙O的切线，只要证明OD⊥BD，只要证明BD∥CE，通过计算求得sin∠B= ，即可证明结论．
(1)
证明：连接AD，

∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，
∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠FDC=∠DAF，
∵ = ，∴∠DCE=∠DAC，
∴∠DCE=∠FDC，
∴CG=DG；
(2)
证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，

∵ = ，
∴OD⊥EC，
∵DF⊥AC，
∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，
∵ ，
∴sin∠ODF=sin∠OCH= ，即 = ，
∴OF= ，
由勾股定理得DF= ，
FC=OC-OF= ，
∴FB= FC+BC= ，
由勾股定理得DB= =8，
∴sin∠B= = ，
∴∠B=∠ACE，
∴BD∥CE，
∵OD⊥EC，
∴OD⊥BD，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线．

25.(1)1；证明见解析
(2)
(3)

【解析】
（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
（3）先证 是等边三角形，设 ，过点 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 的长，然后证 ，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
(1)
，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴ ；
(2)
解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，

在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴ ，
∵ ， ，AM＝HF，AN＝EG，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
(3)
解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴设 ，
过点 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．

26.(1) ；
(2)P（1+ ）或（1- ）；
(3)

【解析】
（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a， ），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S_△PBC=S_△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t， ），M（t， ），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 ，从而得出 的函数表达式，进一步求得结果．
(1)
∵A（-1，0），
∴OA=1，
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC= ，
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）= ；
(2)
设点P（a， ），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，

∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当 时，x=y+2= ，
∴PE= = ，
∴S_△PBC= PE·OC，
∵抛物线的对称轴为y= ，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
∴S_△BCD= CD·OC，
∴ PE·OC= CD·OC，
∴a²-2a=1，
解得a₁=1+ （舍去），a₂=1- ；
当x=1- 时，y= =a-1=- ，
∴P（1- ，- ），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，

∴F（a，a-2），
∴PF=（ ）-（a-2）= ，
∴S_△PBC= PF·OB= CD·OC，
∴ =1，
解得a₁=1+ ，a₂=1- （舍去）；
当a=1+ 时，y= = ，
∴P（1+ ， ），
综上所述，P点坐标为（1+ ）或（1- ）；
(3)
如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，

由题意可知，P（t， ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ ）=- ，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴ + ，
∴当t=1时，( )最大= ．