【327754】2022年山东省泰安市中考数学真题

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2022年山东省泰安市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.计算 的结果是（       ）
A．-3
B．3
C．-12
D．12

2.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列图形：

其中轴对称图形的个数是（       ）
A．4
B．3
C．2
D．1

4.2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（       ）
A． 度
B． 度
C． 度
D． 度

5.如图， ，点A在直线 上，点B在直线 上， ， ， ，则 的度数是（       ）

A．
B．
C．
D．

6.如图， 是⊙ 的直径， ， ， ，则⊙ 的半径为（

A．
B．
C．
D．

7.某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（       ）

A．最高成绩是9.4环
B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环
D．这组成绩的方差是8.7

8.如图，四边形 中． ， ， 交 于点E，以点E为圆心， 为半径，且 的圆交 于点F，则阴影部分的面积为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：

下列结论不正确的是（       ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为
D．函数 的最大值为

10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（       ）
A．
B．
C．
D．

11.如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O．点E为 的中点，连接 并延长交 于点F， ， ．下列结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ．其中正确结论的个数是（       ）

A．4
B．3
C．2
D．1

12.如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段 上一点． ，则 的最小值为（       ）

A．
B．
C．
D．

13.计算： __________．

14.如图，四边形 为平行四边形，则点B的坐标为________．

15.如图，在 中， ，⊙ 过点A、C，与 交于点D，与 相切于点C，若 ，则 __________

16.如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 ，已知窗户的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ，则 的长度为______（结果精确到 ）．

17.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对 表示第n行，从左到右第m个数，如 表示6，则表示99的有序数对是_______．

18.如图，四边形 为正方形，点E是 的中点，将正方形 沿 折叠，得到点B的对应点为点F，延长 交线段 于点P，若 ，则 的长度为___________．

19.（1）化简：
（2）化简：

20.2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组： ，B组： ．C组： ，D组： ，E组： ，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
(2)补全学生成绩频数直方图：
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

21.如图，点A在第一象限， 轴，垂足为C， ， ，反比例函数 的图像经过 的中点B，与 交于点D．

(1)求k值；
(2)求 的面积．

22.泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．

23.如图，矩形 中，点E在 上， ， 与 相交于点O． 与 相交于点F．

(1)若 平分 ，求证： ；
(2)找出图中与 相似的三角形，并说明理由;
(3)若 ， ，求 的长度．

24.若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线 ，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线 上，且在第四象限，过点M作 轴于点N．
①若点N在线段 上，且 ，求点M的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点P在 右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

25.问题探究
（1）在 中， ， 分别是 与 的平分线．
①若 ， ，如图，试证明 ；

②将①中的条件“ ”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．

迁移运用
（2）若四边形 是圆的内接四边形，且 ， ，如图，试探究线段 ， ， 之间的等量关系，并证明．

参考答案

1.B

【解析】
直接计算即可得到答案．

=
=3
故选：B．

2.C

【解析】
根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解．
解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项正确，符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：C

3.B

【解析】
对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形．
从左到右依次对图形进行
第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个．
故选：B．

4.C

【解析】
绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10ⁿ， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
解：44.8万度=448000度= 度．
故选：C

5.A

【解析】
先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=25°，
∵ ，
∴∠ABD=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD==180°-25°-25°-60°=70°，
故选A．

6.D

【解析】
连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵ ，
∴∠ACD=∠ACE，
∴ ，
∴AE=AD=2，
∵CE是直径，
∴∠CAE=90°，
∴ ，
∴⊙ 的半径为 ．
故选：D．

7.D

【解析】
根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即可判断选项D．
解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意；
B、平均成绩： ，选项说法正确，符合题意；
C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；
D、方差： ，选项说法错误，符合题意；
故选D．

8.B

【解析】
过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出 ，根据ED=EF，得出 ，即可得出 ，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．
解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示：

∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∵ ，
∴ ，
∵ED=EF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DE=6， ，   
∴ ，
，
∴ ，
∴

，．
故选：B．

9.C

【解析】
利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
解：由题意得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．

10.A

【解析】
设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．

11.A

【解析】
通过判定 为等边三角形求得 ，利用等腰三角形的性质求得 ，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含 直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．

解： 点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即 ，故①正确；
在平行四边形 中， ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，点 为 的中点，
，
平行四边形 是菱形，故③正确；
，
在 中， ，
，故②正确；
在平行四边形 中， ，
又 点 为 的中点，
，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．

12.D

【解析】
证明 ，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．
设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆

∵四边形 为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵ ，
∴
∴
∵
故选：D．

13.

【解析】
先计算乘法，再合并，即可求解．
解：


，
故答案为： ．

14.

【解析】
根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．
解： 四边形 为平行四边形，
，即将 点平移到 的过程与将 点平移到 的过程保持一致，
将 点平移到 的过程是： （向左平移4各单位长度）； （上下无平移）；
将 点平移到 的过程按照上述一致过程进行得到 ，即 ，
故答案为： ．

15. ##64度

【解析】
根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出 ，再根据 ，内错角 得到答案．
如下图所示，连接OC

从图中可以看出， 是圆弧 对应的圆周角， 是圆弧 对应的圆心角
得 ．
∵BC是圆O的切线
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．

16.4.4m##4.4米

【解析】
根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得 ，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵ ，
∴ ，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ ，
即 的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.

17.

【解析】
分析每一行的第一个数字的规律，得出第 行的第一个数字为 ，从而求得最终的答案．
第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第 行的第一个数字为 ，得
设第 行的第一个数字为 ，得
设第n行，从左到右第m个数为
当 时

∴
∵ 为整数
∴
∴
∴
故答案为： ．

18.2

【解析】
连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
解：连接AP，如图所示，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝ AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP²＝EC²＋CP²，
∴（3＋x）²＝3²＋（6−x）²，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．

19.（1） ；（2）

【解析】
（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．
（1）解：原式




（2）解：

20.(1)400 名，D
(2)见解析
(3)1680人
(4)见解析，

【解析】
（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；
（2）求出E租的人数，即可求解；
（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；
（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．
(1)
解： 名，
所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩，
频数直方图中 ，
∴第200位和201位数落在D组，
即所抽取学生成绩的中位数落在D组；
故答案为：400，D
(2)
解：E组的人数为 名，
补全学生成绩频数直方图如下图：

(3)
解：该校成绩优秀的学生有 （人）；
(4)
解：根据题意，画树状图如图，

共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率为 ．

21.(1)2
(2)

【解析】
（1）在 中， ， ，再结合勾股定理求出 ， ，得到 ，再利用中点坐标公式即可得出 ，求出 值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据 轴，选择 为底，利用 代值求解即可得出面积．
(1)
解：根据题意可得，
在 中， ， ，
，
，
， ，
，
的中点是B，
，
；
(2)
解：当 时， ，
，
，
．

22.A种茶每盒100元，B种茶每盒150元

【解析】
设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可．
解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，
根据题意，得
解，得
A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．

23.(1)证明见解析
(2) ， 与 相似，理由见解析
(3)

【解析】
（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；
（3）根据 得出 ，根据 得出 ，联立方程组求解即可．
(1)
证明：如图所示：

四边形 为矩形，
，
，
，
，
又 平分 ，
，
，
又 与 互余，
与 互余，
；
(2)
解： ， 与 相似．
理由如下：
， ，
，
又 ，   
，
， ，
；
(3)
解： ，
，
，
，
在矩形 中对角线相互平分，图中 ，
①，
，
，
，
在矩形 中 ，
②，
由①②，得 （负值舍去），
．

24.(1)
(2)① ；②

【解析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线 的表达式为 ，然后设点N的坐标为 ．可得 ．可得到 ， ．再由 ，即可求解；②连接 与 交与点E．设点M的坐标为 ，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为 ，进而得到P的坐标 ．再由点P在抛物线上，即可求解．
(1)
解： 二次函数 的图象经过点 ，
．
又 抛物线经过点 ，对称轴为直线 ，
解得∶
抛物线的表达式为 ．
(2)
解∶①设直线 的表达式为 ．
点A，B的坐标为 ， ，
∴ ， 解得∶ ，
直线 的表达式为 ．
根据题意得∶点C与点 关于对称轴直线 对称，
．
设点N的坐标为 ．
轴，
．
∴
．

，
解，得 ．
点M的坐标 ；
②连接 与 交与点E．
设点M的坐标为 ，则点N的坐标为
四边形 是正方形，
， ， ．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为 ．
．
．
∴P的坐标 ．
点P在抛物线 上，
．
解，得 ， ．
点P在第四象限，
舍去．
即 ．
点M坐标为 ．

25.（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2） ，见解析

【解析】
（1）①证明 是等边三角形，得出E、D为中点，从而证明 ；
②在 上截取 ，根据角平分线的性质，证明 ， ，从而得到答案；
（2）作点B关于 的对称点E，证明 ，从而得到 ，再根据AE、DC分别是 、 的角平分线，得到 ．
（1）① ， ，

．
又 、 分别是 、 的平分线．
点D、E分别是 、 的中点．
， ．
．
②结论成立，理由如下：

设 与 交于点F，
由条件，得 ， ．
又
．
．
．
∴ ．
在 上截取 ．
由∵BF=BF，
∴ ．

．
．
又∵CF=CF，
∴ ．

∴ ．
（2） ，理由如下：

∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ．
作点B关于 的对称点E，连结 ， ， 的延长线与 的延长线交于点M， 与 交于点F，
∴ ， ．
∴ ．
∴
∴
∴
∵AE、DC分别是 、 的角平分线
由②得 ．