【327755】2022年山东省威海市中考数学真题

绝密·启用前

2022年山东省威海市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.－5的相反数是(        )
A．
B．
C．5
D．-5

2.如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是(     )

A．
B．
C．
D．

3.一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是(     )
A．
B．
C．
D．

4.下列计算正确的是(     )
A．a³•a³＝a⁹
B．（a³）³＝a⁶
C．a⁶÷a³＝a²
D．a³+a³＝2a³

5.图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(     )

A．A点
B．B点
C．C点
D．D点

6.如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是(     )

A．（2，3）
B．（3，3）
C．（4，2）
D．（5，1）

7.试卷上一个正确的式子（ ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(     )
A．
B．
C．
D．

8.如图，二次函数y＝ax²+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(     )

A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax²+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x₁，y₁），（x₂，y₂）在二次函数的图像上，当x₁＞x₂＞2时，y₂＜y₁＜0

9.过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是(     )
A．
B．
C．
D．

10.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S_△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(     )

A．（ ）³
B．（ ）⁷
C．（ ）⁶
D．（ ）⁶

11.因式分解 = ．

12.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___．

13.某小组6名学生的平均身高为acm，规定超过acm的部分记为正数，不足acm的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表：

据此判断，2号学生的身高为 _____cm．

14.按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．

15.正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．

16.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mⁿ＝_____．

17.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来: ．

18.小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ．

19.某学校开展“家国情•诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表

请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)求x的值；
(2)这组数据的中位数所在的等级是 　 　；
(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．

20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．

(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．

21.某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

22.如图:

(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH的面积．

23.探索发现

(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．

24.回顾：用数学的思维思考

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数的定义解答即可．
-5的相反数是5．
故选C．

2.B

【解析】
三视图分为主视图，左视图和俯视图，俯视图是从上往下看，进而得出答案．
解：俯视图从上往下看如下：

故选：B.

3.A

【解析】
根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率．
解： 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，
从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，
从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ，
故选：A．

4.D

【解析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可．
解：A.a³•a³＝a⁶，故此选项错误；
B.（a³）³＝a⁹，故此选项错误；
C.a⁶÷a³＝a³，故此选项错误；
D.a³+a³=2a³，故此选项正确；
故选：D．

5.B

【解析】
根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．
连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：

由图可得MN是法线， 为入射角
因为入射角等于反射角，且关于MN对称
由此可得反射角为
所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B
故选：B．

6.C

【解析】
根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点 的解析式，即可求解．
解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
MN∥PQ，
设 的解析式为 ， ，
则 ，
解得 ，
的解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选C

7.A

【解析】
根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
解： ★=
★=
★=
= ，
故选A．

8.D

【解析】
根据二次函数的图像和性质作出判断即可．
解：根据图像知，当 时， ，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为 ，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知 是关于 的方程 的一个根，
故 选项结论正确，不符合题意，
若点 ， 在二次函数的图像上，
当 时， ，
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：D．

9.C

【解析】
根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，

AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，

AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，

AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故选：C．

10.C

【解析】
根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG= ，再由相似三角形的性质求解即可．
解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB= ，
∴OC= ，
∴OD= ，
…
∴OG= ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．

11. ．

【解析】
试题原式= ．故答案为 ．

12.m＜5

【解析】
由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ．
解得：m＜5．
故答案为：m＜5．

13. ##

【解析】
根据题意身高差值和为0，即可求解．

解：∵平均身高为acm，规定超过acm的部分记为正数，不足acm的部分记为负数，
∴ ．
解得
2号学生的身高为 ．
故答案为：

14.1

【解析】
根据程序分析即可求解．
解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为 或
解得 （经检验， 是原方程的解），或
当 符合程序判断条件， 不符合程序判断条件
故答案为：1

15.24

【解析】
过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，

∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴ ，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．

16.1

【解析】
由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
如图，根据题意，可得

第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m
可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：

解得
∴
故答案为：1

17. ，数轴见解析

【解析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
∵
∴
故 ，
因为
通分得
移项得
解得 ，
所以该不等式的解集为： ，
用数轴表示为：

18.约为1.7米

【解析】
过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈ ，BN≈ ，结合图形得出 ，然后求解即可．
解：过点M作MN⊥AB，

根据题意可得： ，
∴AN≈
，
∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，
∴ ，
解得：MN= m，
∴河流的宽度约为1.7米．

19.(1)40
(2)D等级
(3)585人

【解析】
(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可．
(2)根据中位数的定义计算即可．
(3)利用样本估计总体的思想计算即可．
(1)
∵200×20 =40(人)，
∴x=40．
(2)
∵y=200-5-10-40-80=65，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级，
故答案为：D等级．
(3)
∵y=200-5-10-40-80=65，
∴ （人），
答：受表扬的学生人数585人．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据圆内接四边形外角等于内对角，得到∠ABC＝∠ADE，根据等腰三角形性质，得到∠ABC＝∠ACB，结合圆周角定理，∠ADB＝∠ACB，推理即可．
（2）作直径BF，连接FC，根据sin∠BAC= sin∠BFC计算即可．
(1)
∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC＝∠ADE，

∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE．
(2)
如图，作直径BF，连接FC，
则∠BCF=90°，
∵圆的半径为2，BC=3，
∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC，

∴sin∠BAC= sin∠BFC= ．

21.288m²

【解析】
设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym²，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．
解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym²，
根据题意，得 ，
∴当x=24时，y有最大值为288，
∴鸡场面积的最大值为288m²．

22.(1)①菱形，理由见解析；②20
(2)

【解析】
（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；②设AH=CG=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（2）两个矩形的对角线相等，可得出EC的长，设AH=CG=x，利用勾股定理以及边长之间的关系可得出x的值，进而可求出面积．
（1）①∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形∴ ∴四边形AHCG为平行四边形∵ ∴ ∴ ∴四边形AHCG为菱形；②设AH=CG=x，则DH=AD-AH=8-x在 中 即 解得 ∴四边形AHCG的面积为 ；
（2）由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等∴ ∴ 设AH=CG=x则HD=7-x在 中， 在 中， ∵EC=EH+CH=8∴x=3∴四边形AGCH的面积为 ．

23.(1)①见解析；②见解析
(2)猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析

【解析】
（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；
②方法①求得GH的解析式，进而得出结论；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．
(1)
解：（1）①由题意得，
，
∴ ，
∴y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴ ，
∴ ，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴ ，
∴ ，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴ ，
∴ ，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴ ，
∴ ，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
(2)
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，

证明如下：
设M（m，-m²-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴ ，
∴ ，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴ ，
∴ ，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．

24.(1)见解析
(2)添加条件CD=BE，见解析
(3)能，0＜CF＜

【解析】
（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
(1)
①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(2)
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(3)
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴ ，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴ ，
整理，得 ，
解得x= ，x= （舍去），
故CF= x= ，
∴0＜CF＜ ．