【327752】2022年山东省青岛市中考数学试卷

2022年山东省青岛市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（　　）

A．3×10^﹣7

B．0.3×10^﹣6

C．3×10^﹣6

D．3×10⁷

【答案】A

【考点】科学记数法—表示较小的数

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10^﹣7；故选：A．

【难度】1

2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】中心对称图形；轴对称图形

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．

【难度】1

3．（3分）计算（ ） 的结果是（　　）

A．

B．1

C．

D．3

【答案】B

【考点】二次根式的混合运算

【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．

【解答】解：（ ） ＝3﹣2＝1，故选：B．

【难度】1

4．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】简单组合体的三视图；数学常识；截一个几何体

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，故选：C．

【难度】1

5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在 上，则∠CME的度数为（　　）

A．30°

B．36°

C．45°

D．60°

【答案】D

【考点】正多边形和圆；圆周角定理

【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．

【解答】解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME ∠COE＝60°，故选：D．

【难度】3

6．（3分）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（　　）

A．（2，0）

B．（﹣2，﹣3）

C．（﹣1，﹣3）

D．（﹣3，﹣1）

【答案】C

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移

【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．

【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：C．

【难度】1

7．（3分）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【考点】正方形的性质；等边三角形的性质

【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AC＝2 ，∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，∴∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝2 ，AO ，∴OE ．故选：B．

【难度】3

8．（3分）已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（　　）

A．b＞0

B．c＜0

C．a+b+c＞0

D．3a+c＝0

【答案】D

【考点】二次函数图象与系数的关系

【分析】根据抛物线的开口方向及对称轴位置判断选项A；根据对称轴x＝﹣1及过点（﹣3，0）求出抛物线与x轴的另一个交点，据此来判断选项B；当x＝1时，二次函数的值y＝a+b+c，据此判断选项C；根据对称轴得出a，b之间的关系，并代入y＝a+b+c中，据此判断选项D．

【解答】解：选项A：∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵对称轴为直线x＝﹣1，∴ 1．∴b＝2a．∴b＜0．故选项A错误；选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x₁，0），则抛物线的对称轴可表示为x （x₁﹣3），∴﹣1 （x₁﹣3），解得x₁＝1，∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．又∵抛物线开口向下，∴抛物线与y轴交于正半轴．∴c＞0．故选项B错误．选项C：∵抛物线过点（1，0）．∴a+b+c＝0．故选项C错误；选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，∴3a+c＝0．故选项D正确．故选：D．

【难度】5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分） 的绝对值是 　 　．

【答案】

【考点】绝对值

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．

【解答】解：| | ．故本题的答案是 ．

【难度】1

10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 　 　分．

【答案】8.3

【考点】加权平均数

【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．

【解答】解：根据题意得： 8.3（分）．故小明的最终比赛成绩为8．（3分）．故答案为：8.3．

【难度】1

11．（3分）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 　 　．

【答案】 3．

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间＝3分钟，依此列出方程即可求解．

【解答】解：依题意有： 3．故答案为： 3．

【难度】1

12．（3分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 　 　°．

【答案】60

【考点】菱形的性质；平面镶嵌（密铺）

【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．

【解答】解：如图， ∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．

【难度】3

13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作 ，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

【答案】4﹣π

【考点】切线的性质；扇形面积的计算

【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，从而可得∠BOA+∠A＝90°，根据题意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2，然后利用阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积），进行计算即可解答．

【解答】解：连接OB， ∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA＝90°，∴∠BOA+∠A＝90°，由题意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积） AB•OB 4×2﹣π＝4﹣π，故答案为：4﹣π．

【难度】3

14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：　 　．（填写序号）

①BD＝8；

②点E到AC的距离为3；

③EM ；

④EM∥AC．

【答案】①④

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定；等腰三角形的性质

【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM＝x，则EM＝8﹣x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用锐角三角函数可判断④．

【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC BC＝8，故①正确；如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H， ∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴EH＝EF，∵BE是∠ABD的角平分线，∵ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED，∴EH＝ED＝4，故②错误；由折叠性质可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，设DM＝x，则EM＝8﹣x，Rt△EDM中，EM²＝DM²+DE²，∴（8﹣x）²＝4²+x²，解得：x＝3，∴EM＝MC＝5，故③错误；设AE＝a，则AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，∴AB²＝（4+a）²+8²，∵ ，∴ ，∴ ，∴AB＝2a，∴（4+a）²+8²＝（2a）²，解得：a 或a＝﹣4（舍去），∴tanC ，又∵tan∠EMD ，∴∠C＝∠EMD，∴EM∥AC，故④正确，解法二：连接CE，由内心可知CE平分∠ACD， ∴∠GCE＝∠ECD，由折叠可知CM＝EM，∴∠MEC＝∠ECM，∴∠MEC＝∠GCE，∴EM∥AC，故④正确，故答案为：①④．

【难度】5

三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．（4分）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．

求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．

【答案】解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P； 则P即为所求作的点

【考点】作图—复杂作图；等腰直角三角形

【分析】作∠ABC的角平分线，作BC的垂直平分线，两条线交于点P即可．

【解答】解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P； 则P即为所求作的点．

【难度】1

四、解答题（本大题共10小题，共74分）

16．（8分）（1）计算： （1 ）；

（2）解不等式组：

【答案】（1） ；（2）2＜x≤3．

【考点】解一元一次不等式组；分式的混合运算

【分析】（1）先根据分式的加法法则计算括号里面的，再把除法转化为乘法，约分即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）原式 • ；（2） ，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集为：2＜x≤3．

【难度】3

17．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：

甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

【答案】游戏对双方都公平．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法

【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．

【解答】解：所有可能的结果如下： ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，∴P（小冰获胜） ，P（小雪获胜） ，∵P（小冰获胜）＝P（小雪获胜），∴游戏对双方都公平．

【难度】1

18．（6分）已知二次函数y＝x²+mx+m²﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判断二次函数y＝x²+mx+m²﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【答案】（1）m＝1．（2）二次函数图象与x轴有2个交点．理由见解答．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征

【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．

（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．

【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x²+mx+m²﹣3得4＝4+2m+m²﹣3，解得m₁＝1，m₂＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x²+x﹣2，∵Δ＝b²﹣4ac＝1²+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．

【难度】1

19．（6分）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．

（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）

【答案】解：过点C作CF⊥DE于F， 由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB ，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D ，∴CD 462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【分析】过点C作CF⊥DE于F，根据∠ACB的正切值可得AB＝496m，则可得BE的长，再根据∠D的正弦可得答案．

【解答】解：过点C作CF⊥DE于F， 由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB ，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D ，∴CD 462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．

【难度】3

20．（6分）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　 　组；

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　 　，对应的扇形圆心角的度数为 　 　°；

（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

【答案】解：（1）补全频数分布直方图如下： （2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，故答案为：三；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为： ；对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，故答案为：30%；108；（4）2200 330（人），答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间

【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表

【分析】（1）根据频数分布表可得第三组和第四组的频数，进而补全频数分布直方图；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）用第二组的学生人数除以总人数即可得出第二组的学生人数占调查总人数的百分比，再用其乘360°即可得出对应的扇形圆心角的度数；

（4）用样本估计总体即可．

【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下： （2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，故答案为：三；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为： ；对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，故答案为：30%；108；（4）2200 330（人），答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．

【难度】3

21．（6分）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用S_△ABC，S_△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，

则S_△ABC BC•AD，S_△A'B'C′ B′C′•A′D′，

∵AD＝A′D′

∴S_△ABC：S_△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性质应用】

（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S_△ABD：S_△ADC＝　 　；

（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S_△ABC＝1，则S_△BEC＝　 　，S_△CDE＝　 　；

（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S_△ABC＝a，则S_△CDE＝　 　．

【答案】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S_△ABD：S_△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S_△BEC：S_△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S_△ABC＝1，∴S_△BEC ；∵CD：BC＝1：3，∴S_△CDE：S_△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S_△CDE S_△BEC ；故答案为： ， ；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S_△BEC：S_△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S_△ABC＝a，∴S_△BEC S_△ABC ；∵CD：BC＝1：n，∴S_△CDE：S_△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S_△CDE S_△BEC • ，故答案为：

【考点】三角形综合题

【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案．

【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S_△ABD：S_△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S_△BEC：S_△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S_△ABC＝1，∴S_△BEC ；∵CD：BC＝1：3，∴S_△CDE：S_△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S_△CDE S_△BEC ；故答案为： ， ；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S_△BEC：S_△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S_△ABC＝a，∴S_△BEC S_△ABC ；∵CD：BC＝1：n，∴S_△CDE：S_△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S_△CDE S_△BEC • ，故答案为： ．

【难度】3

22．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y 的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．

【答案】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y 的图象上，∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，∴A（﹣1，2），∵AD⊥x轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，∴OC＝CD﹣OD＝1，∴C（1，0），把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中， ，解得 ，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）在Rt△ADC中，AC 2 ，∴AC＝CE＝2 ，当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2 ，当点E在点C的右侧时，a＝1+2 ，∴a的值为1±2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，再求得C点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE＝CA且E在x轴上，分类讨论得a的值．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y 的图象上，∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，∴A（﹣1，2），∵AD⊥x轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，∴OC＝CD﹣OD＝1，∴C（1，0），把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中， ，解得 ，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）在Rt△ADC中，AC 2 ，∴AC＝CE＝2 ，当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2 ，当点E在点C的右侧时，a＝1+2 ，∴a的值为1±2 ．

【难度】5

23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）连接AE，CF，已知 　 　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

条件①：∠ABD＝30°；

条件②：AB＝BC．

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）见解析；（2）①（答案不唯一），理由见解析．

【考点】四边形综合题

【分析】（1）由等式的性质得BF＝DE，由平行线的性质得∠ABF＝∠CDE，从而利用AAS证明△ABF≌△CDE；

（2）若选择①，由（1）可说明AF∥CE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得AE ，利用含30°角的直角三角形的性质得AF ，则AE＝AF，从而▱AECF是菱形；若选择②连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即EF⊥AC，从而证明结论．

【解答】（1）证明：∵BE＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，∴BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：若选择条件①：四边形AECF是菱形，理由如下： 由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAF＝90°，BE＝EF，∴AE ，∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，∴AF ，∴AE＝AF，∴▱AECF是菱形；若选择条件②：四边形AECF是菱形，理由如下：连接AC交BD于点O， 由①得：△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴▱AECF是菱形．故答案为：①（答案不唯一）．

【难度】5

24．（10分）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数），答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x为整数）；（2）设李大爷每天所获利润是w元，由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x²+41x＝﹣3（x ）² ，∵﹣3＜0，x为正整数，且|6 |＞|7 |，∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7 ）² 140（元），答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，