【327739】2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题

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2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）

A．﹣2
B．﹣
C．2
D．3

2.下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

3.一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（　　）
A．平均数是4.4
B．中位数是4.5
C．众数是4
D．方差是9.2

4.下列运算正确的是（　　）
A．a³b²+2a²b³＝3a⁵b⁵
B．（﹣2a²b）³＝﹣6a⁶b³
C．2^﹣2＝﹣
D． + ＝

5.下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2
B．2
C．4
D．4+2

7.下列说法正确的是（　　）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x²﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤
B．③⑤
C．③④⑤
D．①②④

8.实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O₁与⊙O₂的半径为3米，且⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（　　）

A．4π米
B．6π米
C．8π米
D．12π米

9.如图，菱形ABCD中，AB＝2 ，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　）

A．
B．
C．
D．3

10.如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2 ）是图象的最低点，那么a的值为（　　）

A．
B．2
C．
D．

11.截止2022年1月中国向120多个国家和国际组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家．20亿用科学记数法表示为 _____．

12.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 _____．

13.按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数是 _____．

14.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝ ，则AB的长是 _____．

15.如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y₁＝ 和y₂＝ 分别经过点B、点E，若S_△COD＝5，则k₁﹣k₂＝_____．

16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．

17.（1）解不等式组 ，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）⁰．

18.为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图
“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表

(1)频数分布表中，a＝　　，请将频数分布直方图补充完整；
(2)九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有 　　人；
(3)校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

19.旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）

20.如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．

(1)根据图像直接写出不等式 ＜ax+b的解集；
(2)求反比例函数与一次函数的解析式；
(3)点P在y轴上，且S_△AOP＝ S_△AOB，请求出点P的坐标．

21.如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．

22.某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ ，0），B（3， ）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

24.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．

参考答案

1.C

【解析】
根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可．
解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
故选：C．

2.D

【解析】
根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，
因此选项A不符合题意；
B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，
因此选项B不符合题意；
C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，
因此选项C不符合题意；
D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，
因此选项D符合题意；
故选：D．

3.A

【解析】
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
解： A、平均数为 ＝4.4，故选项正确，符合题意；
B、中位数为5，故选项错误，不符合题意；
C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，故选项错误，不符合题意；
D、方差为 [（2﹣4.4）²+（4﹣4.4）²+2×（5﹣4.4）²+（6﹣4.4）²]＝1.84，故选项错误，不符合题意．
故选：A．

4.D

【解析】
把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．
A.a³b²与2a²b³不是同类项，不能合并，故A错误；
B.（﹣2a²b）³＝﹣8a⁶b³，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确．
故选：D．

5.D

【解析】
利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．
解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故选：D．

6.C

【解析】
过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：

∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．

7.B

【解析】
根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）²﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x²﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．

8.C

【解析】
连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，根据等边三角形的判定得出△AO₁O₂和△BO₁O₂是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO₁O₂＝∠AO₂O₁＝∠BO₁O₂＝∠BO₂O₁＝60°，求出优弧 所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
解：连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，

∵等圆⊙O₁与⊙O₂的半径为3米，⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂，
∴AO₁＝AO₂＝BO₁＝BO₂＝O₁O₂＝3米，
∴△AO₁O₂和△BO₁O₂是等边三角形，
∴∠AO₁O₂＝∠AO₂O₁＝∠BO₁O₂＝∠BO₂O₁＝60°，
∴优弧 所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2× ＝8π（米），
故选：C．

9.B

【解析】
过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出 ，则可求出答案．
解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝ ，
∴CN＝CD•sin60°＝ ，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ ，
故选：B．

10.A

【解析】
由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=2 ，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可．
解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．

∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是△ABC的重心，
∴N′O= BO，
∴N′D= BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA=NC，
∴AN+MN=NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC=2 ，
设正方形的边长为m，则BM= m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC²=BC²+MB²，
∴20=m²+（ m）²，
∴m=4(负值已舍)，
∴BD=4 ，
∴a=N′D= BD= ×4 ＝ ，
故选：A．

11.2×10⁹

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：20亿＝2000000000＝2×10⁹．
故答案为：2×10⁹．

12.6

【解析】
根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．
解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝2.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案为：6．

13.

【解析】
由所给的数，发现规律为第n个数是 ，当n＝30时即可求解．
解：∵ ， ， ， …，
∴第n个数是 ，
当n＝30时， = = ，
故答案为： ．

14.12

【解析】
延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．

15.10

【解析】
作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE,
证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k₁﹣k₂的值．
解：作EH⊥y轴于点H，

则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到 ,
∴∠BCE+∠OCF=45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S_△BCE＝S_△COD＝5，
∴S_△CEH＝5，
S_矩形BCHE＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k₁﹣k₂＝S_矩形BCHE＝10，
故答案为：10．

16.4

【解析】
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2 ＝ ＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
解：如图，

在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2 ＝ ＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 ，
∴（PA+2PB）_最大＝2BF＝ ，
故答案为： ．

17.（1）﹣2≤x＜1，最小整数解为﹣2；（2） ，4

【解析】
（1 ）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组的最小整数解．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：（1）由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．
（2）原式＝

，
当a＝4sin30°﹣（π﹣3）⁰＝4× ﹣1＝2﹣1＝1时，
原式＝4．

18.(1)0.45，见解析
(2)52
(3)

【解析】
（1）根据0＜x≤15的频数与频率，求出调查的总人数，再用30＜x≤45的频数除以总人数，求出a，然后求出45＜x≤60的频数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的人数所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到甲、乙两名同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：调查的总人数有：2÷0.05＝40（人），a＝ ＝0.45，45＜x≤60的人数有：40×0.25＝10（人），补全统计图如下：
（2）解：估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有：520×0.1＝52（人）；故答案为：52．
（3）解：画树状图得： ∵共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，∴P（恰好抽到甲、乙两名同学）＝ ＝ ．

19.旗杆AB的高度为12.8m

【解析】
设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度．
解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，
作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，

∵DF MN，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝ ，
∴tan80.5°＝ ≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
所以，旗杆AB的高度为12.8m．

20.(1)
(2)y＝﹣ ，y＝x+6
(3)P（0，3）或（0，﹣3）

【解析】
（1 ）通过图像位置关系解不等式．
（2 ）用待定系数法法求解析式．
（2 ）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
（1）
解：当y＝ 的图像在y＝ax+b图像的下方时， ＜ax+b成立，
∴ ；
（2）
解：将A（﹣2，4）代入y＝ 得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣ ．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）
解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S_△ABO＝S_△AOC﹣S_△BOC
＝ OC×（y_A﹣y_B）
＝ ×6×2
＝6，
∴S_△AOP＝ ×6＝3，
∵P在y轴上，
∴ OP×|x_A|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．

21.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，然后证明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出结论；
（2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．
（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝ ，在△DOE和△BOE中， ，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝ ．

22.(1)第二批每个挂件的进价为40元
(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元

【解析】
（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
（1）
设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，
，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）
设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10 +1440，
∵﹣10＞0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10 +1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．

23.(1)
(2)点 的横坐标为1或2或 或
(3)存在，点 的坐标为 或

【解析】
（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）设出点P的坐标，确定出 ，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）分Q在BC下方和Q在BC上方两种情况，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，证明△CHM≌△HBN，由全等三角形的性质得出CM＝HN，MH＝BN，求出H点的坐标，由待定系数法求出直线CH的解析式，联立直线CH和抛物线解析式即可得出点Q的坐标．
（1）解：将点 代入 得： ，解得 ，则抛物线的解析式为 ．
（2）解：设点 ，对于二次函数 ，当 时， ，即 ，设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，则直线 的解析式为 ， ， ， 轴， 轴， ，∴当 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， ，解得 或 或 或 ，则点 的横坐标为1或2或 或 ．
（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N， ∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点 的坐标为 ，则 ，解得 ，即 ，设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，则直线 的解析式为 ，联立直线 与抛物线解析式得 ，解得 或 （即为点 ），则此时点 的坐标为 ；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N， 同理可得：此时点 的坐标为 ，综上，存在这样的点 ，点 的坐标为 或 ．