【327740】2022年内蒙古呼和浩特市中考数学真题

绝密·启用前

2022年内蒙古呼和浩特市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.计算 的结果是（       ）
A．
B．1
C．
D．5

2.据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.不透明袋中装有除颜色外完全相同的 个白球、 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.图中几何体的三视图是（       ）

A．
B．
C．
D．

5.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位： ），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（       ）
A．6，4.4
B．5，6
C．6，4.2
D．6，5

6.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在 边上， 、 交于点 ．若 ，则 的度数是（用含 的代数式表示）（       ）

A．
B．
C．
D．

8.已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是（       ）
A．4045
B．4044
C．2022
D．1

9.如图，四边形 是菱形， ，点 是 中点， 是对角线 上一点，且 ，则 的值是（       ）

A．3
B．
C．
D．

10.以下命题：①面包店某种面包售价 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了 元；②等边三角形 中， 是 边上一点， 是 边上一点，若 ，则 ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（       ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11.因式分解： ______．

12.点 、 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的取值范围是______．

13.如图，从一个边长是 的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．

14.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为 元，购买量为 千克，则购买量 关于付款金额 的函数解析式为______．

15.已知 为⊙ 的直径且 ，点 是⊙ 上一点（不与 、 重合），点 在半径 上，且 ， 与过点 的⊙ 的切线垂直，垂足为 ．若 ，则 _____， _______．

16.在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是______．

17.计算求解：
(1)计算
(2)解方程组

18.“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像 的高度，某数学兴趣小组在 处用测角仪测得雕像顶部 的仰角为 ，测得底部 的俯角为 ．已知测角仪 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像 的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

19.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17   18   16   13   24   15   27   26   18   19   22   17   16   19   32   30   16   15   16   28   15   32   23   17   14   15   27   27   16   19，对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：
频数分布表：

数据分析表：

请根据以上信息解答下列问题：
(1)上表中 ， ， ， ；
(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．

20.如图，在 中， ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，交线段 的延长线于点 ，连接 ．

(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，且 点的横坐标为1，过点 作 轴， 于点 ，点 是直线 上一点，且 ．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出不等式 的解集．

22.今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

23.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 是正方形，点 是边 的中点， ，且 交正方形外角的平分线 于点 ．求证 ．（提示：取 的中点 ，连接 ．）

(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点 是 边上任意一点（不与 、 重合），其他条件不变．求证： ；

(3)在（2）的条件下，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．设 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形，并给予证明．

24.如图，抛物线 经过点 和点 ，与 轴的另一个交点为 ，连接 、 ．

(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图1，若点 是线段 的中点，连接 ，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点 是第一象限内抛物线上的动点，过点 作 轴，分别交 、 轴于点 、 ，当 中有某个角的度数等于 度数的2倍时，请求出满足条件的点 的横坐标．

参考答案

1.C

【解析】
先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可．
解： ．
故选：C．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：1100亿＝110000000000＝ ，
故选：B．

3.A

【解析】
根据概率公式直接求解即可．
共有 个球，其中红球b个
从中任意摸出一球，摸出红球的概率是 ．
故选A ．

4.C

【解析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
由几何体可知，该几何体的三视图为

故选C

5.A

【解析】
分别利用求平均数和方差的公式计算，即可求解．
解：平均数为 ；
方差为 ．
故选：A

6.D

【解析】
分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果后，再进行判断即可．
解：A. ，故此计算错误，不符合题意；
B. ，故此计算错误，不符合题意；
C. ，故此计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D．

7.C

【解析】
根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
解：∵将 绕点 顺时针旋转得到 ，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故选：C．

8.A

【解析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，

故选A

9.D

【解析】
取AC的中点M，连接EM设 由中位线性质可得 再根据 ， 可得出 从而得到FC的长，即可得到 的结果．
解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设

∵点 是 中点，
∴EM是 的中位线，


四边形 是菱形，
，∠AMD=90°，

，



∴DM= ，
∴AM=




故选：D．

10.C

【解析】
根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，
解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a元，现在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①项正确；
②项，如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；
③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，

∵AM是中线，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可证DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴结合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可证∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正确；
④设原数为x，则新数为 ，设原数与新数之差为y，
即 ，变形为： ，
将x等于0、1、2、3、55分别代入可知，y随着x的增大而增大，
故④正确；
即正确的有三个，
故选：C，

11.

【解析】
利用提公因式法和公式法即可求解．
解： ，
故答案为： ．

12.

【解析】
反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于 ，得到 ，从而得到 的取值范围．
解：∵在反比例函数y= 中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵ ，
∴这两个点在同一象限，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．

13.         

【解析】
先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径 ，则可得出答案．
解：∵五边形 为正五边形，
，
∵ ，这个扇形的面积为： ，
设圆锥的底面圆半径为 ，则直径为： ，则: ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ， ．

14.     3     ##

【解析】
根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
解： ，
超过2千克，
设购买了 千克，则 ，
解得 ，
设某人的付款金额为 元，购买量为 千克，则购买量 关于付款金额 的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．

15.     1    

【解析】
根据题意作出图形，连接 ，根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得 ，根据 ，可得 ,可得 ,进而证明 ，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
如图，连接 ，

是⊙ 的切线， ， ，
,
，
,
,
,
,
,
,   
,
,


,


设 ，则

解得 （舍去）
即
故答案为： ．

16. 或

【解析】
根据抛物线求出对称轴 ， 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，利用抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，
∴ ，且 ，
解得 ，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．

17.(1) 5
(2)

【解析】
（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
(1)
原式＝2 + 3
5；
(2)
整理方程组得： ，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为： ．

18. 米

【解析】
过点 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，在 与 中，分别表示出 ，根据 即可求解．
如图，过点 作 于 ，则四边形 是矩形，

，
中， ，
，
中， ，

，
米
答：雕像 的高为 米

19.(1)4,2,16,18
(2)18，理由见解析
(3)

【解析】
（1）根据已知数据找出在 ， 的频数即可求解，根据众数与中位数的定义即可求得 的值；
（2）根据中位数的意义求解．
（3）根据列表法求概率求解．
(1)
解：将30个数据，从小到大排列如下，
13，14，15，15，15，15，16，16，16，16，16，17，17，17，18，18，19，19，19，22，23，24，26，27，27，27，28，30，32，32，
在 的数据为26，27，27，27，4个，故 ，
在 的数据为28，30，共2个，故 ，
其中 出现了5次，次数最多，故 ，
第15和第16个数据为18，故 ，
故答案为：4，2，16，18．
(2)
18万元
理由：根据中位数为18万元，想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万元合适，
(3)
设第六组两名营业员为 和第七组的两名营业员 ，列表如下，

共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内的情形有4种可能，
故两名营业员在同一组内的概率为 ．

20.(1)证明见详解
(2)

【解析】
（1）连接AD，由AB为直径可得AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一性质即可证明结论．
（2）由（1）可得CD=4，BC=8，根据 即可求得 ，进而利用勾股定理即可求得AC，由 为⊙ 的直径，得∠BEC=∠ADC=90°，∠C为公共角，可得 ，根据三角形相似的性质即可求得CE，进而可求解．
(1)
证明：连接AD，如图所示：

∵ 为⊙ 的直径，
∴AD⊥BC，
又∵ ，
∴三角形ABC为等腰三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BD=CD．
(2)
由（1）可得BD=CD=4，
，BC=2BD=8，
，
在Rt△ACD中，
，
又∵ 为⊙ 的直径，
∴∠BEC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴ ，
，即 ，
，
．

21.(1) ，
(2) 或

【解析】
（1）根据点C的坐标及点 点的横坐标，可求得CD的长和点B的纵坐标，进而可求得AC的长，利用勾股定理即可求得AD，进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式．
（2）变形不等式为 ，即 ，根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可求解．
(1)
解：∵ ，且 点的横坐标为1，
∴ ，且 ，
，
在 中，
，
，
点A的坐标为 ，且点A在反比例函数 的图象上，
，解得 ，
反比例函数的解析式为： ，
当 时， ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，
将 和 代入一次函数 得，
，解得 ，
∴一次函数的解析式为： ．
(2)
由题意得，
，即 ，即 ，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，

由图可得当 或 时， ，
∴不等式的解集为： 或 ．

22.(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元

【解析】
（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
(1)
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
(2)
由（1）得，今年的土豆数为： (吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得， ，
解得： ，     
总利润为： ，        
当 时，利润最大，最大利润为： （元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．

23.(1)AG=CE
(2)过程见解析
(3) ，证明过程见解析

【解析】
对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案；
对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
对于（3），设BC=x，则BE=kx，则 ， ，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题．
(1)
解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案为：AG=CE；
(2)
取AG=EC，连接EG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
(3)
当 时，四边形PECF是平行四边形．
如图．

由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，
∴ ， ．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°， ．
∴ ，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴ ，
解得 ．

24.(1) ；A（-1，0）；
(2)存在E（0，3）或（0，-1），使得 是以 为斜边的直角三角形；
(3)2或

【解析】
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先根据中点坐标公式可得点 ，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得 ， ， ，再由勾股定理，即可求解；
（3）先求出 ，再求出直线BC的解析式，然后设点 ，则 ，CF=a，可得 ，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解．
(1)
解：把点 和点 代入，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-1，0）；
(2)
解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点 ，点 是线段 的中点，
∴点 ，
设点E（0，m），
∴ ，
，
，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
(3)
解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
设点 ，则 ，CF=a，
∴ ，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即 ，
∴∠PCF=∠FCM，
∵ 轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴ ，
∴ ，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与 相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点P的横坐标为 ；
综上所述，点P的横坐标为2或 ．
          

图甲                                               图乙