【327734】2022年辽宁省沈阳市中考数学真题

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2022年辽宁省沈阳市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.计算 正确的是（       ）
A．2
B．
C．8
D．

2.如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是(     )

A．
B．
C．
D．

3.下列计算结果正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点的坐标是(     )
A．
B．
C．
D．

5.调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：

则该足球队队员年龄的众数是(     )
A．15岁
B．14岁
C．13岁
D．7人

6.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，在 中， ，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则 度数是（       ）

A．70°
B．60°
C．30°
D．20°

8.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.下列说法正确的是(     )
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件

10.如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， ，则河宽PT的长度是（       ）

A．
B．
C．
D．

11.分解因式： ______．

12.二元一次方程组 的解是______．

13.化简： ______．

14.如图，边长为4的正方形ABCD内接于 ，则 的长是________（结果保留 ）

15.如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 ______．

16.如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H． ， ，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．

17.计算： ．

18.为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．

19.如图，在 中，AD是 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．

20.某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为________名；
(2)直接在答题卡中补全条形统计图；
(3)求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

21.如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．

22.如图，四边形 内接于圆 ， 是圆 的直径， ， 的延长线交于点 ，延长 交 于点 ， ．

(1)求证： 是圆 的切线；
(2)连接 ， ， ， 的长为______．

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 ，与直线OC交于点 ．

(1)求直线AB的函数表达式；
(2)过点C作 轴于点D，将 沿射线CB平移得到的三角形记为 ，点A，C，D的对应点分别为 ， ， ，若 与 重叠部分的面积为S，平移的距离 ，当点 与点B重合时停止运动．
①若直线 交直线OC于点E，则线段 的长为________（用含有m的代数式表示）；
②当 时，S与m的关系式为________；
③当 时，m的值为________．

24.（1）如图， 和 是等腰直角三角形， ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图，若 ，点C是线段AB外一动点， ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值______；
②若以BC为斜边作 ，（B、C、D三点按顺时针排列）， ，连接AD，当 时，直接写出AD的值．

25.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 经过点 和点 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 ，点C的对应点 ，点G的对应点 ，将曲线 ，沿y轴向下平移n个单位长度（ ）．曲线 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 是平行四边形，直接写出P的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据有理数的加法运算即可求解．
解： ．
故选：A．

2.D

【解析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示：

故选：D．

3.D

【解析】
分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．
A． ，故此选项计算错误，不符合题意；
B． ，故此选项计算错误，不符合题意；
C． ，故此选项计算错误，不符合题意；
D． ，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．

4.B

【解析】
根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．
解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．

5.C

【解析】
根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
解：∵年龄是13岁的人数最多，有7个人，
∴这些队员年龄的众数是13；
故选：C．

6.B

【解析】
先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
解：
移项合并得： ，
系数化1得： ，
表示在数轴上为∶

故选：B．

7.B

【解析】
因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到 ，求出 的度数，即为 的度数．
解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，
∴DE是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

8.A

【解析】
根据一次函数的图象与性质即可得．
解：一次函数 的一次项系数为−1＜0，常数项为 ，
函数图象经过一、二、四象限
故选：A．

9.A

【解析】
根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可．
解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项正确，符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则 ＜ ，则甲组数据较稳定，故选项错误，不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意．
故选：A．

10.C

【解析】
结合图形利用正切函数求解即可．
解：根据题意可得：
，
∴ ，
故选C．

11.

【解析】
先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解：
=
；
故答案为： ．

12. ##

【解析】
利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
解：
把②代入①得： ，解得： ，
把 代入②得： ；
∴原方程组的解为 ；
故答案为 ．

13. ##

【解析】
根据分式的混合运算可直接进行求解．
解：原式= ；
故答案为 ．

14.

【解析】
连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
解：连接OA、OB．

∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴ ，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO²＋BO²＝2AO²＝4²＝16，
解得：AO＝2 ，
∴ 的长＝ ，
故答案为： ．

15.6

【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解．
解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：

∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴ ，
∴ ；
故答案为6．

16. 或4

【解析】
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明 得 ，再分两种情况讨论求解即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴ ，
∴ ，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若 时，则有：
∴EH= ，GF=2NE=4，
由勾股定理得， ,
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH= ，
∴MD=MF=GM-GF= ；
②若 时，则有：
∴EH= ，GF= NE=1，
由勾股定理得， ,
∴GH= NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为 或4．

17.

【解析】
根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
解：原式＝

．

18.(1)
(2)

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为 ，故答案为： ；
（2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为 ．

19.(1)垂直平分线
(2)见详解

【解析】
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；
（2）由题意易得 ，然后可证 ，则有OF=OE，进而问题可求证．
（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴ ，∵AD是 的角平分线，∴ ，∵AO=AO，∴ （ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四边形AEDF是平行四边形，∵ ，∴四边形AEDF是菱形．

20.(1)120
(2)见解析
(3)72
(4)320名

【解析】
（1）先求出B的人数，再将各项人数相加即可．
（2）见解析
（3）根据D的百分比乘以圆心角即可．
（4）求出C所占的百分比，乘以800．
（1）解：根据扇形统计图中，B是A的3倍故喜欢B的学生数为 （名）统计调查的总人数有：12＋36＋48＋24＝120（名）．
（2）
（3）由条形统计图可知：D的人数是A的2倍，故D占总人数的20%所以D所占圆心角为20% 答：课程D所对应的扇形的圆心角的度数为72 ．
（4）若有800名学生，则喜欢C的学生数有： （名）答：有320名学生最喜欢C拓展课程．

21.(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150

【解析】
（1）设AB的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有 ，然后根据二次函数的性质可进行求解．
（1）解：设AB的长为x厘米，则有 厘米，由题意得： ，整理得： ，解得： ，∵ ，∴ ，∴ 都符合题意，答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ，∵ ，且 ，∴当 时，S有最大值，即为 ；故答案为：150．

22.(1)证明见解析
(2)

【解析】
（1）根据圆内接四边形的性质和 ，可得出 ，再根据 是圆 的直径，由切线的判定可得证；
（2）延长 交 的延长线于点 ，由 是圆 的直径，可说明 是直角三角形，从而得到 ，再证明 ，得到 ，代入数据即可得到答案．
（1）证明：∵四边形 内接于圆 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 是圆 的直径，∴ 是圆 的切线．
（2）解：延长 交 的延长线于点 ，∵ 是圆 的直径，∴ ，∴ ，∴ 是直角三角形，∴ ，   ∵四边形 内接于圆 ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ．故答案为： ．

23.(1)y＝﹣ x+9；
(2)① m；② m²；③ 或15﹣2 ．

【解析】
（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜ 时，当 ＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝ ，建立方程，求出m即可．
（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴ ，解得 ．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F， ∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝ m，C′F＝ m，∴C′（8﹣ m，3+ m），A′（12﹣ m， m），D′（8﹣ m， m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝ x，∴E（8﹣ m，3﹣ m）.∴C′E＝3+ m﹣（3﹣ m）＝ m．故答案为： m．②当点D′落在直线OC上时，有 m＝ （8﹣ m），解得m＝ ，∴当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，此时S＝ C′E•CF＝ • m• m＝ m²；故答案为： m²．③分情况讨论，当0＜m＜ 时，由②可知，S＝ m²；令S＝ m²＝ ，解得m＝ ＞ （舍）或m＝﹣ （舍）；当 ≤m＜5时，如图2， 设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（ m， m），∴D′E＝ m﹣（3﹣ m）＝ m﹣3，D′M＝ m﹣（8﹣ m）＝ m﹣8；∴S＝ m²﹣ •（ m﹣3）•（ m﹣8）＝﹣ m²+ m﹣12，令﹣ m²+ m﹣12＝ ；整理得，3m²﹣30m+70＝0，解得m＝ 或m＝ ＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3， S＝S_{△A′C′D′}＝ ×4×3＝6≠ ，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4， 此时A′B＝15﹣m，∴BN＝ （15﹣m），A′N＝ （15﹣m），∴S＝ • （15﹣m）• （15﹣m）＝ （15﹣m）²，令 （15﹣m）²＝ ，解得m＝15+2 ＞15（舍）或m＝15﹣2 ．故答案为： 或15﹣2 ．

24.（1）AD=BC；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）① ，② ．

【解析】
（1）由题意易得 ，然后可证 ，进而问题可求解；
（2）由题意易得 ，然后可证 ，进而问题可求证；
（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得 ，则当A、C、D三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，然后可得点C、D、B、E四点共圆，则有 ，设 ，则 ，进而根据勾股定理可进行方程求解．
解：（1）AD=BC，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴AD=BC，
故答案为AD=BC；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （SAS），
∴AD=BC；
（3）①如图，

由题意得： ，
根据三角不等关系可知： ，
∴当A、C、D三点共线时取最大，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴AD的最大值为 ；
②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，如图所示：

∴ ，
∴点C、D、B、E四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得： ，整理得： ①；
在Rt△BFD中，由勾股定理得： ，整理得： ②，
联立①②得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ，
过点E作EM⊥AD于点M，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．

25.(1)① ；②
(2)（2，-4）或（0，-3）
(3)（1+ ， ）或

【解析】
（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点 ，则点 ， 可得 ，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为 ，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，分别求出直线BC和直线 的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点 ，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．
（1）
解：①把点 和点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
②令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-2，0），
设直线AD的解析式为 ，
∴把点 和点A（-2，0）代入得：
，解得： ，
∴直线AD的解析式为 ；
（2）
解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，

当x=6时， ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵ 的面积记为 ， 的面积记为 ，且 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
∴ ，
∴ ，解得： 或0，
∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；
（3）
解： ，
∴点G的坐标为（2，-4），
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为 ，
∵点 ，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形 是平行四边形，
∴点 ，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （不合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
，解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （舍去，不合题意）或 ，
综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+ ， ）或（1﹣ ， ）．