【327669】2022年贵州省黔东南州中考数学真题

绝密·启用前

2022年贵州省黔东南州中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列说法中，正确的是（       ）
A．2与 互为倒数
B．2与 互为相反数
C．0的相反数是0
D．2的绝对值是

2.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（       ）

A．圆柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．四棱锥

4.一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若 ，则 的度数为（       ）

A．28°
B．56°
C．36°
D．62°

5.已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若 ，则 的值为（       ）
A．7
B．
C．6
D．

6.如图，已知正六边形 内接于半径为 的 ，随机地往 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（       ）

A．
B．
C．
D．以上答案都不对

7.若二次函数 的图像如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图像为（       ）

A．
B．
C．
D．

8.如图， 、 分别与 相切于点 、 ，连接 并延长与 交于点 、 ，若 ， ，则 的值为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，在边长为2的等边三角形 的外侧作正方形 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的长为（       ）

A．
B．
C．
D．

10.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如： 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数2的点的距离．当 取得最小值时， 的取值范围是（       ）
A．
B． 或
C．
D．

11.有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________．

12.分解因式： _______．

13.某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30.这组数据的中位数是_______．

14.若 ，则 的值是________．

15.如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， // ， // ．若 ，则四边形 的周长是_______．

16.如图，在 中， ，半径为3cm的 是 的内切圆，连接 、 ，则图中阴影部分的面积是__________cm²．（结果用含 的式子表示）

17.如图，校园内有一株枯死的大树 ，距树12米处有一栋教学楼 ，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 处，测得点 的仰角为45°，点 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：① 米；② 米；③若直接从点 处砍伐，树干倒向教学楼 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值： ， ）

18.在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．

19.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的斜边 轴于点 ，直角顶点 在 轴上，双曲线 经过 边的中点 ，若 ，则 ______．

20.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 ______cm．

21.（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．

22.某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．

请根据所给的信息解答下列问题：
(1)王老师抽取了_______名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是_______分；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上 的学生有多少人？
(4)在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．

23.（1）请在图中作出 的外接圆 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 是 的中点，过点 的切线与 的延长线交于点 ．

①求证： ；
②若 ， ，求 的半径．

24.某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人 台，购买总金额为 万元，请写出 与 的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

25.阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， 和 都是等边三角形，点 在 上．

求证：以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
(1)(探究发现)小明通过探究发现：连接 ，根据已知条件，可以证明 ， ，从而得出 为钝角三角形，故以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)(拓展迁移)如图，四边形 和四边形 都是正方形，点 在 上．

①试猜想：以 、 、 为边的三角形的形状，并说明理由．
②若 ，试求出正方形 的面积．

26.如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，连接 ．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为点 ， 交直线 于点 ，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
解：A. 2与 互为相反数，故选项A不正确       
B. 2与 互为倒数，故选项B不正确；       
C. 0的相反数是0，故选项C正确；       
D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．
故选C．

2.D

【解析】
运用同底数幂的除法，合并同类项，去括号法则，积的乘方等知识逐一分析即可
解：A. ，不符合题意；
B. ，不能进行合并同类项，不符合题意；
C.-2(a+b)=-2a-2b，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．

3.A

【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：A．

4.D

【解析】
根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．
解：如图所示标注字母，

∵四边形EGHF为矩形，
∴EF∥GH，
过点C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，
∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，
∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，
故选：D．

5.B

【解析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．

6.A

【解析】
连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，由正六边形的特点可证得△OAB是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果．
解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在 中， ，
∴ ，
∴正六边形的面积 ，
∵⊙O的面积=πr²，
∴米粒落在正六边形内的概率为： ，
故选：A．

7.C

【解析】
根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数 所经过的象限和反比例函数 所在的象限．
解：∵二次函数 的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a＞0， ，c＜0，
∴b＞0，-c＞0，
∴一次函数 的图像经过第一、二、三象限，反比例函数 的图像在第一，三象限，选项C符合题意．
故选：C

8.A

【解析】
连结OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP= ，最后利用三角函数定义计算即可．
解：连结OA
∵ 、 分别与 相切于点A、 ，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP= ，
∴sin∠ADB= ．
故选A．

9.D

【解析】
过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到 ，再证得∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，

∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴ ，
∴ ，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴ ，
∴ ．
故选：D

10.C

【解析】
由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
解：如图，由 可得：点 、 、 分别表示数 、2、 ， ．

的几何意义是线段 与 的长度之和，
当点 在线段 上时， ，当点 在点 的左侧或点 的右侧时， ．
取得最小值时， 的取值范围是 ；
故选C．

11.1.2×10^-8

【解析】
根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10^-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
解：0.000000012=1.2×10^-8．
故答案为：1.2×10^-8

12.

【解析】
先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．
解：原式= ；
故答案为 ．

13.1.25

【解析】
先把数据进行排序，再根据中位数的定义求解．
解：将数据由小到大进行排序得1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35
中位数应为排序后的第四个数，
故答案为：1.25

14.9

【解析】
根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可
∵


∴
解得：

故答案为：9

15.20

【解析】
首先由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD= BD=5，
∵ // ， // ．，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵OC=OD =5，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20．
故答案为20．

16.

【解析】
根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到 的大小，然后用扇形面积公式即可求出
∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴ ；
设 ，
在 中：
在 中：
由①②得：
扇形面积： （cm²）
故答案为：

17.①③④

【解析】
过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4 米， ③利用AB=18.8米＞12米，④点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，判断即可．
解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4 故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4 米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼 方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．

18.

【解析】
先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线 先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为 ，
再向下平移5个单位， 即 ．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．

19.

【解析】
根据 是等腰直角三角形， 轴，得到 是等腰直角三角形，再根据 求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k．

∵ 是等腰直角三角形， 轴．
∴ ； ．
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ．
故： ， ．
．
将D点坐标代入反比例函数解析式．
．
故答案为： ．

20.

【解析】
根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明 ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．
解：连接 如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得， ∠
∴∠ ，
设 则有
∴
又在 中， ，
∵
∴
∴
在 中，
∴
解得， （舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴ 即
∴
故答案为：

21.（1） ；（2）

【解析】
（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
（1）


；
（2）



∵ ，
∴原式= ．

22.(1)80；85.5（答案不唯一）
(2)见详解
(3)1200人
(4)两个班同时选中同一套试卷的概率为

【解析】
（1）利用条形图优秀人数÷优秀人数所占百分比求出样本容量，利用加权平均数计算即可；
（2）求出中等人数与良好人数，补画条形图即可；
（3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可；
（4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况4种，利用概率公式计算即可．
(1)
解：根据条形图优秀有32人，由扇形统计图知优秀占40%，
∴王老师抽取了32÷40%=80名学生的参赛成绩；
∴m=80×15%=12人，n=80×35%=28人；
抽取的学生的平均成绩是65×10%+75×15%+85×35%+95×40%=85.5分，
故80；85.5（答案不唯一）；
(2)
解：∵中等人生为12人，良好人数为28人，补画条形图如图，

(3)
解：在样本中良好以上占40%+35%=75%，
∴该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上 的学生有1600×75%=1200人；
(4)
解：画树状图列举所有等可能的情况共有16种，其中两班都考同一试卷的情况有4种，
两个班同时选中同一套试卷的概率为 ．

23.（1）见详解
（2）
① 见详解
② 5

【解析】
（1）做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到 的外接圆；
（2）①证明 即可证明 ，从而证得 ；
② 证明 ，根据 得正切求得EC，再根据勾股定理求得AE．
（1）如下图所示

∵ 的外接圆 的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到 的外接圆；
（2）
①如下图所示，连接OC、OB

∵BD是 的切线
∴
∵ 是 对应的圆周角， 是 对应的圆心角
∴
∵点 是 的中点
∴
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE

∵ 与 是 对应的圆周角
∴
∵ 是 的直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 的半径为 ．

24.(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)① ；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．

【解析】
（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为 台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得 ，然后可得 ，进而根据一次函数的性质可进行求解．
(1)
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得： ；
经检验： 是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)
解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为 台，
∴ ；
②由题意得： ，
解得： ，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为 ，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．

25.(1)钝角三角形；证明见详解
(2)①直角三角形；证明见详解；②S_{四边形ABCD}=

【解析】
（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可；
（2）①以 、 、 为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC= ，然后利用正方形的面积公式求解即可．
(1)
证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．

(2)
证明：①以 、 、 为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以 、 、 为边的三角形是直角三角形；

②连结BD，
∵△AGC为直角三角形， ，
∴AC= ，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD= ，
∴S_{四边形ABCD}= ．

26.(1)
(2)存在这样的点 （2，1）或 或 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形
(3)存在点 的坐标为（4，1）或（-2，1）或 或 ．

【解析】
（1）根据抛物线的对称轴是直线 ，可得a=-1，再把点 代入，即可求解；
（2）先求出 ，设点N（m，-m+3），可得 ， ，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；
（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解．
(1)
解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，解得：a=-1，
∵抛物线过点 ，
∴ ，解得：c=3，
∴抛物线解析式为 ；
(2)
解：存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴ ， ，
当AC=AN时， ，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时， ，
解得： 或 （舍去），
∴此时点N ；
当AN=CN时， ，
解得： ，
∴此时点N ；
综上所述，存在这样的点 （2，1）或 或 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形；
(3)
解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC ，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，

∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，

，解得： 或 ，
∴此时点F的坐标为 或 ；
综上所述，存在点 的坐标为（4，1）或（-2，1）或 或 ．