【327949】2024年山东省泰安市中考数学试题

绝密★启用前

200670-2024年山东省泰安市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	四	五	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1． 的相反数是（      ）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

3．下面图形中，中心对称图形的个数有（      ）

  

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

4．据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点B，C分别落在直线l，m上．若 ，则 的度数是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，若 ，则 的度数为（      ）

A． B． C． D．

7．关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组： ．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（      ）

A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱　　　　B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文

C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱　　　　D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文

9．如图， 中， ，分别以顶点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 和点 ，作直线 分别与 ， 交于点 和点 ；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 和点 ，再分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，若射线 恰好经过点 ，则下列四个结论：

① ；② 垂直平分线段 ；③ ；④ ．

其中，正确结论的个数有（      ）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

10．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（      ）

A． π 　　　　B． π 　　　　C． π 　　　　D． π

11．如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的个数有（      ）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

12．如图，菱形 中， ，点 是 边上的点， ， ，点 是 上的一点， 是以点 为直角顶点， 为 角的直角三角形，连结 ．当点 在直线 上运动时，线段 的最小值是（      ）

A．2　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．4

二、填空题

13．单项式 的次数是        ．

14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是          ．

15．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭望台正对岸A处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ， ， ， 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为          米．（参考数据： ， ， ， ）

16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是          平方米．

17．如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意一点，点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长为          ．

  

18．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第          个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．

三、解答题

19．（1）计算： ；

（2）化简： ．

20．某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：

根据以上信息，解答下列问题：

(1)

统计量供应商	平均数	中位数	众数
甲	80	80
乙			76

则           ，           ，           ．

(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，          供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）

(3)超市规定直径 （含 ）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？

21．直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，与 轴交于点 ．

(1)求直线 的表达式；

(2)若 ，请直接写出满足条件的 的取值范围；

(3)过点 作 轴的平行线交反比例函数的图象于点 ，求 的面积．

22．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共 名工人．甲组每天加工 件农产品，乙组每天加工 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 倍，求甲、乙两组各有多少名工人？

四、判断题

23．综合与实践

为了研究折纸过程中蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．

【探究发现】

（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点 恰好落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ， 与 相交于点 ．同学们发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．

【拓展延伸】

（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图 ， 是平行四边形纸片 的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线 上，折痕分别是 和 ，将纸片展平，连结 ， ， ，同学们探究后发现，若 ，那么点 恰好是对角线 的一个“黄金分剧点”，即 ．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．

五、解答题

24．如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ， ．

(1)求证： ， ；

(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出 与 的位置关系：                   ；

②求证： ．

25．如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点A，点 ．

(1)求抛物线 的表达式；

(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点 是否在抛物线 上；

(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、单选题

1. D

解： 的相反数是 ．故此题答案为D．

2. D

解：A、 与 不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；

B、 ，故不符合题意；

C、 ，故不符合题意；

D、 ，故符合题意.

故此题答案为D．

3. C

解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；

第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．

所以中心对称图形有3个．

故此题答案为C．

4. D

解：860万 ．故此题答案为D．

5. B

∵ ，∴ ，

即 .

∵ 是等边三角形，∴ .

又∵ ，∴ ，∴ .

故选B．

6. A

解：∵ 平分 ，∴ ，

∵ 是 的直径， ，

∴ ， ，则 ，

∴ ，

故此题答案为A．

7. B

解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，

∴ ，解得 ．

故此题答案为B．

8. A

解：根据 ，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，

故此题答案为A.

9. D

解：由作图可知 垂直平分线段 ，∴ ，∴ ，

由作图可知 平分 ，∴ ，

∵ ，∴ ，故①正确，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ 垂直平分线段 ，故②正确，

∵ ， ，∴ ，故③正确，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，故④正确．

故此题答案为D．

10. A

解：如图,连接 ， ，作 于点B，

∵ ，∴三角形 是等边三角形，

∴ ， ，∴ ,

∴ _弓形扇形ππ ,

∴ _{阴影弓形扇形}πππ ．

故此题答案为A．

11. B

解：∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，

∴ ,∴ ，故①正确；

∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点在2~3之间，

∴与x轴的另一个交点在 ~0之间，

∴方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误；

∵抛物线 与直线 有两个交点，

∴方程 一定有两个不相等的实数根，故③正确；

∵抛物线与x轴的另一个交点在 ~0之间，∴ ，

∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴ ，∴ ，∴ ．故④错误．

综上，①③正确，共2个．故此题答案为B．

12. C

解：如图，过E作 于点M，作 于点H，作 于点I，

∵ ，∴点E，M，F，G四点共圆，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴四边形 是矩形，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ 最小值是 ．

故此题答案为C．

二、填空题

13.

解：单项式 中， 的指数是 ， 的指数是 ，

∴此单项式的次数为 ．

14.

解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，

列表如下：

	A	B	D
A	（，）	（，）	（，）
B	（，）	（，）	（，）
C	（，）	（，）	（，）

共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，

∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为 ．

15. 74

解：由题知 ，， ,

∴ ,

在 ， ，∴ ,∴ ,

在 中， ,∴ ,∴ ．

16. 450

解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为 米，

又墙长为40米，∴ ．∴ ．

菜园的面积 ，

∴当 时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．

17.

解：∵ 是 的直径，∴ ，

∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵点 为 的中点，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，即 ，

∴ ．

18. 12

解：由所给图形可知，

第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；

第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；

第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；

第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；

…，

所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为 ，

“●”的个数为 ；

由题知 ，解得 ， ，

又n为正整数，则 ，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．

三、解答题

19. （1）7； （）

解： （） ；

（） ．

20. (1) ， ， ；(2)甲；(3)600

（1）解：由题意得 ；

把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数 ；

甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数 ．

（2）解：甲的方差为，

；

乙的方差为，

，

因为 ，

所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．

（3）解： （个）．

答：大果约有600个．

21. (1) ；(2) 或 ；(3) ．

（1）解：分别将点 ， 代入 中，可得 ， ，解得 ， ，

， ．

将 ， 代入 ,得 ，，

解得 ，， 直线 的表达式为 ．

（2）解：∵直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，

∴由图象可知，当 时， 或 ．

（3）解：把 代入 中，得 ，

，即 ， ．

22. 甲组有 名工人，乙组有 名工人

解：设甲组有 名工人，则乙组有 名工人．

根据题意得 ，解得 ，

经检验， 是所列方程的解，且符合题意，

．

答：甲组有 名工人，乙组有 名工人．

四、判断题

23. （） 正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析

解： （） 正确，理由如下，

作 于点 ，

， ， ，

， ， ，

又 ， ．∴ ．

是矩形， ， 四边形 是矩形 ． ， ．

（2）同学们的发现说法正确，理由如下，

， ， ，

由折叠知 ， ， ， ，

由平行四边形及折叠知 ， ， ，

，即点 为 的一个黄金分割点．

五、解答题

24. (1)见解析；(2)① ；②见解析

（1）证明：在 和 中，

， ， ，

≌ ， ， ．

是 斜边 的中点， ， ，

， ． ，

， ． ；

（2）解：① ；

理由如下：延长 到点 ，使 ，连接 ，延长 到 ，使 ，连接 并延长交 于点 ．

证明 ≌ （具体证法过程跟②一样）．

，

是 中点， 是 中点， 是 中位线， ，

， ， ，

， ．

②证明：延长 到点 ，使 ，连接 ．

， ， ， ≌ ，

， ， ， ，

， ， ．

， ．

在 和 中，

， ， ， ≌ ， ，

， ．

25. (1) (2) ，点 在抛物线 上 (3)存在，点 的坐标为 或

（1）解：将点 的坐标代入抛物线表达式 得 ，

解得 ，则抛物线的表达式为 ．

（2）解：由题意得 ，

当 时， ，

故点 在抛物线 上．

（3）解：存在，理由如下：

①当 为直角时，如图1，过点 作 且 ，则 为等腰直角三角形，

， ， ，

， ≌ ，

∴ ， ，∴点 ，

当 时， ，即点 在抛物线 上，

∴点 即为点 ；

②当 为直角时，如图2，

同理可得 ≌ ，

∴ ， ，∴点 ，

当 时， ，

∴点 在抛物线 上，∴点 即为点 ；

③当 为直角时，如图3，

设点 ，同理可得 ≌ ，

∴ 且 ，解得 且 ，∴点 ，

当 时， ，即点 不在抛物线 上；

综上，点 的坐标为 或 ．