【327862】2023年山东省菏泽市中考数学真题

绝密·启用前

2023年山东省菏泽市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A．    
B．           
C．    
D．    

2.下列运算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.一把直尺和一个含 角的直角三角板按如图方式放置，若 ，则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

4.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（       ）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

6.一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（       ）
A．
B．
C．3
D．

7. 的三边长a，b，c满足 ，则 是（       ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形

8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： 等都是三倍点”，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.因式分解： ______．

10.计算： ___________．

11.用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．

12.如图，正八边形 的边长为4，以顶点A为圆心， 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留 ）．
   

13.如图，点E是正方形 内的一点，将 绕点B按顺时针方向旋转 得到 ．若 ，则 __________度．
   

14.如图，在四边形 中， ，点E在线段 上运动，点F在线段 上， ，则线段 的最小值为__________．
   

15.解不等式组： ．

16.先化简，再求值： ，其中x，y满足 ．

17.如图，在 中， 平分 ，交 于点E； 平分 ，交 于点F．求证： ．
   

18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 ，楼顶C点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度 （结果保留根号）
   

19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组： ，B组： ，C组： ，D组： ，E组： ．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
   
(1)A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度；
(2)补全学生心率频数分布直方图；
(3)一般运动的适宜行为为 （次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

20.如图，已知坐标轴上两点 ，连接 ，过点B作 ，交反比例函数 在第一象限的图象于点 ．
   
(1)求反比例函数 和直线 的表达式；
(2)将直线 向上平移 个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

21.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

22.如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是 的中点，弦 ，垂足为点F．
   
(1)求证： ；
(2)P是 上一点， ，求 ；
(3)在（2）的条件下，当 是 的平分线时，求 的长．

23.（1）如图1，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为点 ．求证： ．
   
(问题解决)
（2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长 到点 ，使 ，连接 ．求证： ．
(类比迁移)
（3）如图3，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ， ，求 的长．

24.已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ，其对称轴为 ．
     
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段 上的一动点，连接 ，将 沿直线 翻折，得到 ，当点 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线 上方的抛物线上，过点P作直线 的垂线，分别交直线 ，线段 于点E，F，过点F作 轴，垂足为G，求 的最大值．

参考答案

1.A

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．

2.B

【解析】
利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项正确；
C、 ，故选项错误；
D、 ，故选项错误；
故选：B．

3.B

【解析】
根据平行线的性质，得出 ，进而 ．
由图知，
∴
故选：B
   

4.C

【解析】
根据数轴可得， ，再根据 逐项判定即可．
由数轴可知 ，
∴ ，故A选项错误；
∴ ，故B选项错误；
∴ ，故C选项正确；
∴ ，故D选项错误；
故选：C．

5.A

【解析】
根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：
   
故选：A．

6.C

【解析】
先求得 ， ，再将 变形，代入 与 的值求解即可．
解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ，
∴


．
故选C．

7.D

【解析】
由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 的关系，可推导得到 为直角三角形．
解∵
又∵
∴ ，
∴
解得 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．

8.D

【解析】
由题意可得：三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两个函数值大小即可求出．
解：由题意可得：三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内， 和 至少有一个交点，
令 ，整理得： ，
则 ，解得 ，
，
∴ ，
∴ 或
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，c的取值范围是 ，
故选：D．

9.

【解析】
直接提取公因式m，进而分解因式即可．
解：m²-4m=m(m-4)．
故答案为：m(m-4)．

10.1

【解析】
根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
解：


故答案为：1．

11.

【解析】
先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．
解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，
列表如下：

一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，
∴是偶数的概率为 ．
故答案为： ．

12.

【解析】
先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
解：由题意， ，

∴ ，
故答案为： ．

13.80

【解析】
先求得 和 的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 绕点B按顺时针方向旋转 得到
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：80．

14. ##

【解析】
设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ，可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求解即可．
解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
的最小值为 ，
故答案为： ．

15.

【解析】
分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．
解：解 得： ，
解 得： ，
∴不等式组的解集为 ．

16. ，6

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将 变形整体代入计算即可求解．
解：原式


；
由 ，得到 ，
则原式 ．

17.证明见解析

【解析】
由平行四边形的性质得 ， ， ，由平行线的性质和角平分线的性质得出 ，可证 ，即可得出 ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
在 和 中，

∴
∴ ．

18.大楼的高度 为 ．

【解析】
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，则四边形 是矩形，可得 ， ，求解 ， ，可得 ， ，可得 ．
解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
   
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴大楼的高度 为 ．

19.(1)69，74，54；
(2)见解析
(3)大约有1725名学生达到适宜心率．

【解析】
（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以 即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
（2）根据样本估计总体的方法求解即可．
（1）将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
∴中位数为 ；
∵74出现的次数最多，
∴众数是74；
，

∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 ；
故答案为：69，74，54；
（2）
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
   
（3） （人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．

20.(1) ，
(2) 或

【解析】
（1）如图，过点C作 轴于点D，证明 ，利用相似三角形的性质得到 ，求出点C的坐标，代入 可得反比例函数解析式，设 的表达式为 ，将点 代入即可得到直线 的表达式；
（2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．
（1）如图，过点C作 轴于点D，
   
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
将点C代入 中，
可得 ，
∴ ，
设 的表达式为 ，
将点 代入可得 ，
解得： ，
∴ 的表达式为 ；
（2）直线l的解析式为 ，
当两函数相交时，可得 ，
解得 , ,
代入反比例函数解析式，
得 ，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为 或

21.(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米
(2)最多可以购买1400株牡丹

【解析】
（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，可以得到y与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答．
（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，
∴ ，
∴当 时，y有最大值是1200，
此时，宽为 （米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，
由题意可得
解得： ，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．

22.(1)证明见解析；
(2)
(3)

【解析】
（1）由D是 的中点得 ，由垂径定理得 ，得到 ，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；
（2）连接 ，证明 ，设 的半径为r，利用相似三角形的性质得 ， ，由勾股定理求得 ，得到 ，即可得到 ；
（3）过点B作 交 于点G，证明 是等腰直角三角形，解直角三角形得到 ，由 得到 ，解得 ，即可求解．
（1）解：∵D是 的中点，
∴ ，
∵ 且 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
   
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，
则 ，
解得 ，经检验， 是方程的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点B作 交 于点G，
   
∴
∵ ， 是 的平分线，
∴
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．

23.（1）见解析       （2）见解析       （3）3

【解析】
（1）由矩形的性质可得 ，则 ，再由 ，可得 ，则 ，根据等角的余角相等得 ，即可得证；
（2）利用“ ”证明 ，可得 ，由 ，可得 ，利用“ ”证明 ，则 ，由正方形的性质可得 ，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，由菱形的性质可得 ， ，则 ，推出 ，由全等的性质可得 ， ，进而推出 是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
点 在 的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
   
四边形 是菱形，
， ，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
．

24.(1)
(2)
(3)

【解析】
（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过 作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到 ， ，由 ，推出 ，解直角三角形得到 的长，即可解答；
（3）求得 所在直线的解析式为 ，设 ，设 所在直线的解析式为： ，得 ，令 ，解得 ，分别表示出 和 ，再对 进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
（1）解：抛物线与y轴交于点 ，
∴ ，
∵对称轴为 ，
∴ ， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过 作x轴的垂线，垂足为H，
   
令 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
由翻折可得 ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（3）设 所在直线的解析式为 ，
把B、C坐标代入得： ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 与x轴所成夹角为 ，
设 ，
设 所在直线的解析式为： ，
把点P代入得 ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴

∴
∵点P在直线 上方，
∴ ，
∴当 时， 的最大值为 ．