【327831】2023年湖南省长沙市中考数学真题

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2023年湖南省长沙市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A．
B．π
C．
D．0

2.下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．    
B．    
C．    
D．        

3.下列计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4
B．2，2，7
C．4，5，7
D．3，3，6

5.2022年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长 ．其中数据1400000000000用科学记数法表示为（　　）
A．
B．
C．
D．

6.如图，直线 直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接 ，过点A作 ，交直线m于点C．若 ，则 的度数为（　　）

A．
B．
C．
D．

7.长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　）
   
A．这周最高气温是32℃
B．这组数据的中位数是30
C．这组数据的众数是24
D．周四与周五的最高气温相差8℃

8.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

9.下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．
B．
C．
D．

10.分解因式：n²﹣100=_____．

11.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 _____小时．

12.如图，已知 ，点D在 上，以点B为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，连接 ，则 的度数是 _______度．
   

13.如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 为常数， ， 的图象上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．若 的面积为 ，则 ___________________．
   

14.如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 _____．

15.毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的 ，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里．

16.计算： ．

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18. 年 月 日 点 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 处发射，当飞船到达 点时，从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ，仰角为 ； 后飞船到达 处，此时测得仰角为 ．
   
(1)求点 离地面的高度 ；
(2)求飞船从 处到 处的平均速度．(结果精确到 ，参考数据： )

19.为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D： ；C： ；B： ；A： ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
   
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：n=　 　，m=　 　；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 　 　度；
(4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．

20.如图， ， ， ，垂足分别为 ， ．
   
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．

21.为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共 个班级参加．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积 分，负一场积 分．某班级在 场比赛中获得总积分为 分，问该班级胜负场数分别是多少？
(2)投篮得分规则：在 分线外投篮，投中一球可得 分，在 分线内 含 分线 投篮，投中一球可得 分，某班级在其中一场比赛中，共投中 个球 只有 分球和 分球 ，所得总分不少于 分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个 分球？

22.如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交 的延长线于点F．
       
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长和 的面积．

23.如图，点A，B，C在 上运动，满足 ，延长 至点D，使得 ，点E是弦 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 的垂线，交 于点F，交 的延长线于点N，交 于点M（点M在劣弧 上）．
   
(1) 是 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记 的面积分别为 ，若 ，求 的值；
(3)若 的半径为1，设 ， ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

24.我们约定：若关于x的二次函数 与 同时满足 ，则称函数 与函数 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数 与 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运动，函数 与 互为“美美与共”函数．
①求函数 的图像的对称轴；
②函数 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 与它的“美美与共”函数 的图像顶点分别为点A，点B，函数 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据无理数的定义解答即可．
解：A． 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；
C． 是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．

2.D

【解析】
根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析．
解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．
故选：D．

3.A

【解析】
根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．

解：A、 ，本选项符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：A．

4.C

【解析】
根据三角形的三边关系分别判断即可．
解： ，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
，

∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．

5.A

【解析】
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．

解：∵科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，
∴ ，
故选：A．

6.C

【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合已知条件即可求出∠2的度数．

解：如图所示，

∵直线 直线n，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

7.B

【解析】
根据折线统计图，可得答案．

解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；
B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；
C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；
D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为 （℃），说法正确，故D不符合题意；
故选：B．

8.A

【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．

解：由 得 ，
由 得 ，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为 ．
故选：A．

9.D

【解析】
根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．

解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，
故只有D符合题意，
故选：D．
(点评)

10.（n-10）（n+10）

【解析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：n²-100=n²-10²=（n-10）（n+10）．
故答案为：（n-10）（n+10）．

11.9

【解析】
根据平均数的定义列式计算即可．

解： （小时）．
即该学生这5天的平均睡眠时间是9小时．
故答案为：9．

12.65

【解析】
根据题意可得 ，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．
解：根据题意可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：65．

13. ##

【解析】
由 的几何意义可得 ，从而可求出 的值．

解： 的面积为 ，
所以 ．
故答案为： ．

14.1

【解析】
连接 ，利用圆周角定理及垂径定理易得 ，则 ，结合已知条件，利用直角三角形中 角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
解：如图，连接 ，

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．

15.4

【解析】
先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的 ，即可求出答案．

解：设地球的半径为 万里，
则 ，
解得 ，
∴火星的半径为 万里，
∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为 万里 ．
故答案为： ．

16.

【解析】
分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

解：原式

．

17. ，6

【解析】
先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将 代入计算即可解答．
解： ，
，
；
当 时，原式 ．

18.(1)
(2)飞船从 处到 处的平均速度约为

【解析】
（1）根据含 度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在 中，根据直角三角形的性质得到 ，在 中，根据等腰直角三角形的性质得到 ，于是得到结论．

（1）解：在 中， ， ， ，
，
（2）在 中， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
飞船从 处到 处的平均速度 ．

19.(1)150，36；
(2)见解析
(3)144
(4)估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人

【解析】
（1）根据B等级的频数和所占的百分比，可以求得n的值，根据C等级的频数和n的值，可以求得m的值；
（2）根据（1）中n的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出D等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用360°乘以B等级的百分比即可；
（4）利用3000乘以A等级的百分比即可．

（1） ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：150，36；
（2）D等级学生有： （人），
补全的频数分布直方图，如图所示：

（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 ；
故答案为：144；
（4） （人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）利用“ ”可证明 ；
（2）先利用全等三角形的性质得到 ，再利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长，然后计算 即可．

（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
在 中， ，
，
．

21.(1)该班级胜负场数分别是 场和 场；
(2)该班级这场比赛中至少投中了 个 分球．

【解析】
（1）设胜了 场，负了 场，根据 场比赛中获得总积分为 分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了 个 分球，则投中了 个 分球，根据所得总分不少于 分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
（1）解：设胜了 场，负了 场，
根据题意得： ，
解得 ，
答：该班级胜负场数分别是 场和 场；
（2）设班级这场比赛中投中了 个 分球，则投中了 个 分球，
根据题意得： ，
解得 ，
答：该班级这场比赛中至少投中了 个 分球．

22.(1)见解析
(2) ； 的面积为

【解析】
（1）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，求得 ，根据等腰三角形的判定定理即可得到 ；
（2）根据线段的和差得到 ；过D作 交 的延长线于H，根据直角三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式即可得到 的面积．
（1）证明：在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ；
过D作 交 的延长线于H，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．

23.(1) 是 的切线，证明见解析
(2)
(3)

【解析】
（1）依据题意，由勾股定理，首先求出 ，从而 ，然后根据 ，可以得解；
（2）由题意，据 得 ，再由 ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接 ，分别在 中，找出边之间的关系，进而由 ，可以得解．

（1）解： 是 的切线．
证明：如图，在 中， ，
∴ ．
又点A，B，C在 上，
∴ 是 的直径．
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的切线．
（2）由题意得， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由题意，设 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（3）设 ，
∵ ，
∴ ．
如图，连接 ．
   
∴在 中， ．
∴ ， ．
∴在 中， ， ．
在 中， ．（∵ ，∴ ）
．
在 中， ， ．
∴




．
即 ．
∵ ，
∴ 最大值为F与O重合时，即为1．
∴ ．
综上， ．

24.(1)k的值为 ，m的值为3，n的值为2；
(2)①函数y₂的图像的对称轴为 ；②函数 的图像过两个定点 ， ，理由见解析；
(3)能构成正方形，此时 ．

【解析】
（1）根据题意得到 即可解答；
（2）①求出 的对称轴，得到 ，表示出 的解析式即可求解；② ，令 求解即可；
（3）由题意可知 ， 得到A、B的坐标，表示出 ，根据 且 ，得到 ，分 和 两种情况求解即可．
（1）解：由题意可知： ，
∴ ．
答：k的值为 ，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运动，
∴对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴对称轴为 ．
答：函数 的图像的对称轴为 ．
② ，令 ，解得 ，
∴过定点 ， ．
答：函数y₂的图像过定点 ， ．
（3）解：由题意可知 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 且 ，
∴ ；
①若 ，则 ，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
   
②若 ，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时 ．