【327829】2023年湖南省岳阳市中考数学真题

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2023年湖南省岳阳市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的相反数是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.下列运算结果正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列几何体的主视图是圆的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

4.已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上， 于点 ，则 的度数是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

5.在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下： （单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.下列命题是真命题的是（       ）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式 的次数是4

7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径 为25寸，要做成方形板材，使其厚度 达到7寸．则 的长是（       ）
   
A． 寸
B．25寸
C．24寸
D．7寸

8.若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，则 的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.函数 中，自变量x的取值范围是____．

10.近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达 万只，数据 用科学记数法表示为_________．

11.有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为 ，甲队身高方差 ，乙队身高方差 ，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”）

12.如图，①在 上分别截取线段 ，使 ；②分别以 为圆心，以大于 的长为半径画弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ．若 ，则 _________ ．
   

13.观察下列式子：
； ； ； ； ；…
依此规律，则第 （ 为正整数）个等式是_________．

14.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数 _________．

15.2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰角为 ，仪器与气球的水平距离 为20米，且距地面高度 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 是_________米（结果精确到0.1米， ）．
   

16.如图，在 中， 为直径， 为弦，点 为 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点 ．
   
（1）若 ，则 的长是_________（结果保留 ）；
（2）若 ，则 _________．

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.如图，反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点．
   
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点 的面积为4，求点 的坐标．

20.为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
   
(1)本次共调查了_________名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．

21.如图，点 在 的边 上， ，请从以下三个选项中① ；② ；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 为矩形．
   
(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明 为矩形．

22.水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．

23.如图1，在 中， ，点 分别为边 的中点，连接 ．
初步尝试：（1） 与 的数量关系是_________， 与 的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若 ，先将 绕点 顺时针旋转 （ 为锐角），得到 ，当点 在同一直线上时， 与 相交于点 ，连接 ．
   
（1）求 的度数；
（2）求 的长．
深入探究：（3）若 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ．当旋转角 满足 ，点 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 与 的数量关系，并说明理由．

24.已知抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ．
   
(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否存在点 使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解： 的相反数是 ，
故选：B．

2.A

【解析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
解：A、 ，故该选项正确，符合题意；       
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；       
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；       
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．

3.A

【解析】
根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
解：A、主视图为圆，符合题意；
B、主视图为正方形，不符合题意；
C、主视图为三角形，不符合题意；
D、主视图为并排的两个长方形，不符合题意．
故选：A．

4.C

【解析】
根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．

5.D

【解析】
根据众数和中位数的定义即可得到答案．
解：数据从小到大排列为 ，出现次数最多的是 ，共出现2次，众数是 ，中位数为 ．
故选：D

6.B

【解析】
根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解．
A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
D. 单项式 的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．

7.C

【解析】
根据矩形的性质，勾股定理求解．
由题意知，四边形 是矩形，

在 中，
故选：C．

8.D

【解析】
利用“倍值点”的定义得到方程 ，则方程的 ，可得 ，利用对于任意的实数 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出 的取值范围．
解：由“倍值点”的定义可得： ，
整理得，
∵关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数 总成立，
∴
整理得，
∴
∴ ，
∴ ，或
当 时，解得 ，
当 时，此不等式组无解，
∴ ，
故选：D．

9.

【解析】
解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．

10.

【解析】
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： ．
故答案为： ．

11.甲

【解析】
根据方差越小，波动越小，越稳定判断即可．
∵ ， ，且
∴甲队稳定，
故答案为：甲．

12.

【解析】
由作图可知 是 的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
解：由题意可知， 是 的角平分线，
∴ ．
故答案为：

13.

【解析】
根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
解：∵ ； ； ； ； ；…
∴第 （ 为正整数）个等式是 ，
故答案为： ．

14.3

【解析】
利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3

15.9.5

【解析】
通过解直角三角形 ，求出 ，再根据 求出结论即可．
解：根据题意得，四边形 是矩形，
∴
在 中，
∴ ,
∴
故答案为：9.5

16.         

【解析】
（1）连接 ，根据点 为 的中点，根据已知条件得出 ，然后根据弧长公式即可求解；
（2）连接 ，根据垂径定理的推论得出 ， 是 的切线，则 ,得出 ，根据平行线分线段成比例得出 ，设 ，则 ，勾股定理求得 ,J进而即可求解．
解：（1）如图，连接 ，
   
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图，连接 ，
   
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ,
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．

17.2

【解析】
根据幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简计算即可．

．

18.

【解析】
按照解不等式组的基本步骤求解即可．
∵ ，
解①的解集为 ；
解②的解集为 ，
∴原不等式组的解集为 ．

19.(1) ；
(2) 或

【解析】
（1）把 分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到 ，设 ，根据 ，列式计算即可．
（1）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点，
∴ ，
解得 ，
故反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式 ．
（2）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴ ，设 ，
根据题意，得 ，
∴ ，
解得 或 ，
故点C的坐标为 或 ．

20.(1)100
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算即可．
（2）先计算B的人数，再完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
（1）∵ (人)，
故答案为：100．
（2）B的人数： （人），
补全统计图如下：
   ．
（3）根据题意，画树状图如下：
   
一共有12种等可能性，选中A，C的等可能性有2种，
故同时选中A和C两个社团的概率为 ．

21.(1)答案不唯一，①或②
(2)见解析

【解析】
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明 可得 ，然后结合平行线的性质求得 ，从而得出 为矩形．
（1）解：①或②
（2）添加条件①， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形；
添加条件②， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形

22.今年龙虾的平均亩产量 ．

【解析】
设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
解：设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．

23.初步尝试：（1） ； ；（2）特例研讨：（1） ；（2） ；（3） 或

【解析】
（1） ，点 分别为边 的中点，则 是 的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：（1）连接 ， ，证明 是等边三角形， 是等边三角形，得出 ；（2）连接 ，证明 ，则 ，设 ，则 ，在 中， ，则 ，在 中， ，勾股定理求得 ，则 ；
（3）当点 在同一直线上时，且点 在 上时，设 ，则 ，得出 ，则 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出 ，表示 与 ，即可求解；当 在 上时，可得 在同一个圆上，设 ，则 ，设 ，则 ，则 ，表示 与 ，即可求解．
初步尝试：（1）∵ ，点 分别为边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ； ；
故答案是： ；
（2）特例研讨：（1）如图所示，连接 ， ，
   
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 （ 为锐角），得到 ，
∴ ；
∵点 在同一直线上时，
∴
又∵在 中， 是斜边 的中点，
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，即旋转角
∴
∴ 是等边三角形，
又∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
（2）如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ,
   
∵ ,
∴ ,
∴ ,
设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ,
∴ ,
解得： 或 （舍去）
∴ ,
（3）如图所示，当点 在同一直线上时，且点 在 上时，
   
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是 的中位线，
∴
∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵点 在同一直线上，
∴
∴ ，
∴ 在同一个圆上，
   
∴
∴
∵ ，
∴ ；
如图所示，当 在 上时，
   
∵
∴ 在同一个圆上，
设 ，则 ，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
设 ，则 ，则 ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∵
∴
∴
综上所述， 或

24.(1)
(2) ；
(3)点 的坐标为 或

【解析】
（1）把 代入 ，求出 即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，证明 可得 故可得 ， ；
（3）先求得抛物线 的解析式为 ，得出 ， ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得 ，进而可求得点 的坐标．
（1）∵抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
∴把 代入 ，得，

解得，
∴解析式为： ；
（2）假设存在这样的正方形 ，如图，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，
   
∴
∵四边形 是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴

∴
∴ ；
同理可证明：
∴
∴
∴ ；
（3）解：抛物线 上存在点 ，使得 ．
，
抛物线 的顶点坐标为 ，
将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
   
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
即点 与点 重合时， ，
；
， ，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
；
综上所述，抛物线 上存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．