【327827】2023年湖南省湘潭市中考数学真题

绝密·启用前

2023年湖南省湘潭市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（       ）
A．爱
B．我
C．中
D．华

2.若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 　　
A．x＜1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1

3.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占 ，现场展示占 ．某参赛教师的教学设计 分，现场展示 分，则她的最后得分为（       ）
A． 分
B． 分
C． 分
D． 分

5.如图，菱形 中，连接 ，若 ，则 的度数为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数 图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N，若四边形 的面积为2．则k的值是（       ）
   
A．2
B．
C．1
D．

7.如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 的长为（       ）
   
A．
B．
C．
D．

8.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的 倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

9.下列选项中正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

10.2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：

   
则下列说法正确的是（       ）
A．样本容量为50
B．成绩在 米的人数最多
C．扇形图中C类对应的圆心角为
D．成绩在 米的频率为0.1

11.如图， 是 的直径， 为弦，过点 的切线与 延长线相交于点 ，若 ，则下列说法正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

12.如图，抛物线 与x轴交于点 ，则下列结论中正确的是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

13.数轴上到原点的距离小于 的点所表示的整数有__________．（写出一个即可）

14.已知实数a，b满足 ，则 _________．

15.如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以小于 长为半径作弧，分别交 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ，交 于点 ．若点 到 的距离为 ，则 的长为__________．

16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________ ．
   

17.解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
   

18.先化简，再求值： ，其中 ．

19.在 中， 是斜边 上的高．
   
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的长．

20.为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
(1)小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
(2)小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．

21.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1   5   4   1   a   3   2   b   3   4
整理数据：

分析数据：

       
请结合以上信息回答下列问题：
(1) __________，并补全频数直方图；
(2)数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若 ，则 __________， __________；
(3)根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．

22.我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？

23.如图，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C为 中点，将 绕着点B逆时针旋转 得到 ．
   
(1)反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图像经过A、 两点，求该一次函数的表达式．

24.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 ．如图②， 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当 时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时 ，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据， ）
               
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时， 的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到 米）

25.问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形 的边 上任意取一点G，以 为边长向外作正方形 ，将正方形 绕点B顺时针旋转．
       
特例感知：
（1）当 在 上时，连接 相交于点P，小红发现点P恰为 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接 ，并延长与 相交，发现交点恰好也是 中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形 绕点B顺时针旋转 ，连接 ，点P是 中点，连接 ， ， ， 的形状是否发生改变？请说明理由．

26.如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，其中 ， ．
   
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点 是对称轴 上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围．

参考答案

1.C

【解析】
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．
故选：C．

2.D

【解析】
根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．

3.D

【解析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；       
B. ，故该选项不正确，不符合题意；       
C. ，故该选项不正确，不符合题意；       
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．

4.B

【解析】
根据加权平均数进行计算即可求解．
解：依题意，她的最后得分为 分，
故选：B．

5.C

【解析】
根据菱形的性质可得 ，则 ，进而即可求解．
解：∵四边形 是菱形
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．

6.A

【解析】
证明四边形 是矩形，根据反比例函数的 值的几何意义，即可解答．
解： 轴于点M， 轴于直N， ，
四边形 是矩形，
四边形 的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．

7.C

【解析】
根据底面周长等于 的长，即可求解．
解：依题意， 的长 ，
故选：C．

8.A

【解析】
设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为 千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．
解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为 千米/时，
根据题意列方程为： ，
故答案为：A．

9.ABC

【解析】
根据零次幂可判断A，根据绝对值的意义可判断B，化简多重符号可判断C，根据二次根式的性质可判断D，从而可得答案．
解： ，故A符合题意，
，故B符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选ABC

10.AC

【解析】
结合扇形统计图和统计表格，对选项逐一判断，即可解答．
解：样本容量为 ，故A正确；
根据统计表，可得成绩在 米的人数最多，故B错误；
扇形图中C类对应的圆心角为 ，故C正确；
根据统计表，可得成绩在 米的频率为 ，故D错误，
故选：AC．

11.ABD

【解析】
根据 是 的直径，可得 ，根据 是 的切线，可得 ，根据 ，可得 是等腰直角三角形，进而可得 ，即可判断A，B，D选项，根据 是直角三角形， 是斜边，则 ，即可判断C选项．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，故A选项正确，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，故B选项正确，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故D选项正确
∵ 是直角三角形， 是斜边，则 ，故C选项错误，
故选：ABD．

12.BD

【解析】
根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C； 时函数值的情况，可判断选项D．
解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故 ，故A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，故 ，故B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，故 ，故C错误．
D、当 时， ，故D正确；
故选：BD．

13.2（答案不唯一）

【解析】
根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于 ，且为整数，再利用无理数的估算即可求解．
解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于 ，则 ，且为整数，
则 ，
∵ ，即 ，
∴a可以是 或 或0．
故答案为：2（答案不唯一）．

14.

【解析】
由非负数的性质可得 且 ，求解a，b的值，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴ 且 ，
解得： ， ；
∴ ；
故答案为： ．

15.

【解析】
根据作图可得 为 的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
解：如图所示，过点 作 于点 ，依题意 ，

根据作图可知 为 的角平分线，
∵
∴ ，
故答案为： ．

16.

【解析】
根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得 的长，即可求解．
解：如图所示，
      
依题意， ，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为： ．

17.不等式组的解集为： ．画图见解析

【解析】
先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
在数轴上表示其解集如下：
   
∴不等式组的解集为： ．

18. ；2

【解析】
先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
解：
，
，
，
当 时，原式 ．

19.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出 ，结合公共角 ，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵ 是斜边 上的高．
∴ ，
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
（2）∵
∴ ，
又
∴ ．

20.(1)
(2)

【解析】
（1）根据题意列举出所有可能结果；
（2）根据列表法求概率即可求解．
（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为 ；
（2）解：列表如下，

共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为 ．

21.(1)1；频数直方图见解析
(2)4；7
(3)1400人

【解析】
（1）用被调查的总人数减去其余两个时间段的人数，补全频数直方图即可；
（2）通过（1）可得在家做家务时间段为 有1人，故 ，则 ，利用众数为4，可知 ，再利用平均数求得 即可；
（3）用2000乘调查的学生中劳动时间不少于3小时的人数的占比，即可解答．
（1）解：根据题意，可得 ，
故答案为：1，
补全频数直方图，如图所示：
   
（2）解： 在家做家务时间段为 有1人，且 ，
，
观察数据，可得在家做家务时间段为 的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故 ，
众数为4，在已知数据中在家做家务时间为 和 的各有2人，
，
根据平均数，可得方程 ，
解得 ，
故答案为：4；7；
（3）解： （人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．

22.(1) ；
(2)该商店继续购进了 件航天模型玩具．

【解析】
（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．
（1）解：因每件玩具售价为x元，
依题意得 ；
（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有 件航天模型玩具，
依题意得： ，
解得 ，
答：该商店继续购进了 件航天模型玩具．

23.(1)
(2)

【解析】
（1）由点B的坐标是 ，点C为 中点，可得 ， ，由旋转可得： ， ，可得 ，可得 ，从而可得答案；
（2）如图，过 作 于 ，则 ，而 ， ，证明 ，可得 ， ， ，设直线 为 ，再建立方程组求解即可．
（1）解：∵点B的坐标是 ，点C为 中点，
∴ ， ，
由旋转可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）如图，过 作 于 ，
则 ，而 ， ，
   
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ．

24.(1) ；
(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为 米．

【解析】
（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作 于点C，在 中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得 的长，在 中，利用勾股定理求得 的长，据此即可求解．
（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转 ，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：作 于点C，设 与水平面交于点D，则 ，
   
在 中， ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ (米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为 米．

25.（1）见解析；（2） 是等腰直角三角形，理由见解析；（3） 的形状不改变，见解析

【解析】
（1）连接 ， ， ，根据正方形的性质求出 ，证明 ，推出 ，再利用余角的性质求出 ，推出 即可；
（2）根据正方形的性质直接得到 ，推出 ，得到 是等腰直角三角形；
（3）延长 至点M，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，推出 ，设 交 于点H，交 于点N，得到 ，由 得到 ，推出 ，进而得到 ，再证明 ，得到 ， ，证得 ，再由 ，根据等腰三角形的三线合一的性质求出 ，即可证得 是等腰直角三角形．
（1）证明：连接 ， ， ，如图，
   
∵四边形 ， 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点P恰为 的中点；
（2） 是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形 ， 都是正方形，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3） 的形状不改变，
延长 至点M，使 ，连接 ，
   
∵四边形 、四边形 都是正方形，
∴ ， ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 交 于点H，交 于点N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．

26.(1)
(2) 或 或
(3) 或 ．

【解析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当 是直角三角形时的 的值，进而观察图象，即可求解，分 和 两种情况讨论，分别计算即可求解．
（1）解：将点 ， 代入 ，得

解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ ，
顶点坐标为 ，
当 时，
解得：
∴ ，则
∵ ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ 到 的距离等于 到 的距离，
∵ ， ，设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，
   
设 的解析式为 ，将点 代入得，

解得：
∴直线 的解析式为 ，

解得： 或
∴ ，
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符合题意的点 在直线 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ 或
综上所述， 或 或 ；
（3）①当 时，如图所示，过点 作 交 于点 ，
当点 与点 重合时， 是直角三角形，
当 时， 是直角三角形，
   
设 交 于点 ，
∵直线 的解析式为 ，
则 ，
∴ ,
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，
设 ，则
∵
∴
解得： （舍去）或
∴
∵ 是锐角三角形
∴ ；
当 时，如图所示，
同理可得
即∴
解得： 或 （舍去）
由（2）可得 时，
   
∴
综上所述，当 是锐角三角形时， 或 ．