【327772】2022年四川省眉山市中考数学真题

绝密·启用前

2022年四川省眉山市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.实数 ，0， ，2中，为负数的是（       ）
A．
B．0
C．
D．2

2.截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列英文字母为轴对称图形的是（       ）
A．W
B．L
C．S
D．Q

4.下列运算中，正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（     ）
A．
B．
C．
D．

6.中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这组数据的中位数和众数分别是（       ）
A．7.5，7
B．7.5，8
C．8，7
D．8，8

7.在 中， ， ， ，点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，则 的周长为（       ）
A．9
B．12
C．14
D．16

8.化简 的结果是（       ）
A．1
B．
C．
D．

9.我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛 两银子，1只羊 两银子，则可列方程组为（       ）
A．
B．
C．
D．

10.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分别相切于点 ， ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为（       ）

A．
B．
C．
D．

11.一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在象限为（       ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

12.如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点 ， ， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ， ， ．以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为（       ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

13.分解因式： ________．

14.如图，已知 ， ，则 的度数为________．

15.一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为________．

16.设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．

17.将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为________．

18.如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连接 ， ，若 ， ，则 的最小值为________．

19.计算： ．

20.解方程： ．

21.北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84   93   91   87   94   86   97   100   88   94
92   91   82   89   87   92   98   92   93   88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 等级的频数为________， 所对应的扇形圆心角度数为________；
(2)该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
(3)已知 等级中有2名男志愿者，现从 等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

22.数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高 ．如图，在楼前平地 处测得楼顶 处的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，测得楼顶 处的仰角为 ，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ， ）

23.已知直线 与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线 向上平移 个单位后与 的图象交于点 和点 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，求证： ．

24.建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

25.如图， 为 的直径，点 是 上一点， 与 相切于点 ，过点 作 ，连接 ， ．

(1)求证： 是 的角平分线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

26.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．

(1)求点 的坐标；
(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．
解：∵ ＜0
∴负数是
故选A．

2.C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：367.7万=3677000= ；
故选：C

3.A

【解析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
A、W是轴对称图形，符合题意；
B、L不是轴对称图形，不合题意；
C、S不是轴对称图形，不合题意；
D、Q不是轴对称图形，不合题意．
故选：A．

4.D

【解析】
根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
解：A. 根据同底数幂的乘法法则可知： ，故选项计算错误，不符合题意；
B. 和 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 根据完全平方公式可得： ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D

5.B

【解析】
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．

6.D

【解析】
分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．
解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；
∴中位数为：8；众数为8；
故选：D

7.A

【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2△DEF的周长．
∵D，E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，

∴DE= BC=3，EF= AB=2，DF= AC=4，
∴△DEF的周长=3+2+4=9．
故选：A．

8.B

【解析】
根据分式的混合运算法则计算即可．
解：

．
故选：B

9.A

【解析】
根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组．
解：设1头牛 两银子，1只羊 两银子，
由题意可得： ，
故选：A．

10.C

【解析】
连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
连接OB，

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C

11.B

【解析】
根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
∵一次函数 的值随 的增大而增大，
∴
解得：
∴ 在第二象限
故选：B

12.D

【解析】
利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明 ，得到 ，即 ，利用 是等腰直角三角形，求出 ，再证明 即可求出 可知③正确；过点E作 交FD于点M，求出 ，再证明 ，即可知④正确．
解：∵ 旋转得到 ，
∴ ，
∵ 为正方形， ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
设正方形边长为a，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
过点E作 交FD于点M，

∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D

13.

【解析】
直接提取公因式即可得出答案．

故答案为：

14. ##110度

【解析】
根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知 ，再借助 与 为对顶角即可确定 的度数．
解：如下图，

∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 为对顶角，
∴ ．
故答案为： ．

15.11

【解析】
多边形的内角和定理为 ，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
解：根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为：11．

16.10

【解析】
由根与系数的关系，得到 ， ，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
解：根据题意，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10．

17.

【解析】
先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
数字可以化成：
， ， ， ；
， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而
∴ 的位置记为
故答案为：

18.6

【解析】
作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，则 的最小值为 的长度；然后求出 和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
解：如图，作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，则 的最小值为 的长度；

∵AC是矩形的对角线，
∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由对称的性质，得 ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴△BEF是等边三角形，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为6；
故答案为：6．

19.7

【解析】
利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式

20.

【解析】
根据解分式方程的步骤解方程即可．
解：方程两边同乘以 ，去分母，得

解这个整式方程，得

检验：把 代入 ，得

∴ 是原方程的解．

21.(1)6，
(2)900人
(3)图表见解析，

【解析】
(1)根据总人数为20人，减去A、B、D的频数即可求出C等级的频数；求出B等级所占的百分比再乘以360°即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
(2)求出成绩大于等于90分的人数所占的百分比，然后再乘以1500即可得到成绩达到优秀等级的人数；
(3)画出树状图即可求解．
(1)
解：等级C的频数=20-3-9-2=6，
B所占的百分比为：9÷20×100%=45%，
∴ 所对应的扇形圆心角度数为：360×45%=162°．
故答案是：6，162°；
(2)
解：随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于90分的人数共有12人，其占样本人数的百分比为：12÷20×100%=60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%=900(人)．
(3)
解：列出树状图如下所示：

由图知，机会均等的结果共6种，其中符合条件的有4种，
∴ _{(一男一女)} ．

22.82米

【解析】
设 的长为 ，可以得出BD的长也为 ，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．
解：设 为 ，
∵ ，∠CDB=90°，
∴ ，
∴ ，
在 中，∠ADC=90°，∠DAC=30°， ，
即 ，
∴
∴ ．
答：此建筑物的高度约为 ．

23.(1)
(2)
(3)见解析

【解析】
（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ，即可根据A、B坐标证明 ，得到 ， ，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明 ．
(1)
∵直线 过点 ，
∴
∴将 代入 中，得 ，
∴反比例函数的表达式为
(2)
∵点 在 的图象上，
∴ ，
∴
设平移后直线 的解析式为 ，
将 代入 中，得4=1+b，
解得 ．
(3)
如图，过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ．

∵ 在反比例函数 的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
∴ ， ，
∴
在 和 中，

∴ ．

24.(1)20%
(2)18个

【解析】
（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资金 2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据题意得： ，解这个方程得， ， ，经检验， 符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造 个老旧小区，由题意得： ，解得 ．∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

25.(1)见解析
(2)
(3)

【解析】
（1）连接 ，先证明 ，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；
（2）证明△ABC∽△CBD即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC=∠CBD，∠ACB=∠D，从而可以得到△ABC∽△CBD，即可求出BC的长度；．
（3）先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面积，即可得到答案
(1)
证明：连接 ，如图

∵ 与 相切于点 ，
∴
∵ ，
∴
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
(2)
解：根据题意，
∵线段AB是直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：作CE⊥AO于E，如图：

在直角△ABC中， ，
∴ ，
∴△AOC是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为：
．

26.(1)
(2) 最大为
(3)存在， 的坐标为 或（3，-16）或

【解析】
（1）把点A的坐标代入 ，求出c的值即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，证明 是等腰直角三角形，得 ，当 最大时， 最大，，运用待定系数法求直线 解析式为 ，设 ， ，则 ，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点 在抛物线 的图象上，
∴
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
(2)
过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图：

∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
(3)
存在．
∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴ ，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，

方法同①可得， ，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，

∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 ，即H（ ）
∴ ，解得， 。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 的坐标为： 或（3，-16）或 ．