【327748】2022年山东省济南市中考数学真题

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2022年山东省济南市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7
B．7
C．
D．﹣

2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（       ）

A．圆柱
B．球
C．圆锥
D．正四棱柱

3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.如图， ，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（       ）

A．45°
B．50°
C．57.5°
D．65°

5.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．

7.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.若m－n＝2，则代数式 的值是（       ）
A．－2
B．2
C．－4
D．4

9.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（       ）

A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．反比例函数关系
D．二次函数关系

10.如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（       ）

A．AF＝CF
B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4
D．AC＝2AB

11.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（       ）（精确到1m．参考数据： ， ， ， ）

A．28m
B．34m
C．37m
D．46m

12.抛物线 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 ， 为图形G上两点，若 ，则m的取值范围是（       ）
A． 或
B．
C．
D．

13.因式分解： ______．

14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

15.写出一个比 大且比 小的整数 _____．

16.代数式 与代数式 的值相等，则x＝______．

17.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

18.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 …依次类推．点 经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．

19.计算： ．

20.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．

21.已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

22.某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组， ， ， ， ， ）

b：七年级抽取成绩在7 这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：

请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在 的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．

23.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．

(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．

24.为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．

25.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

26.如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

27.抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求 的最大值．

参考答案

1.B

【解析】
据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
解：根据概念，﹣7的相反数是7．
故选：B．

2.A

【解析】
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
故选：A．

3.A

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10ⁿ，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：356000＝3.56×10⁵．
故选：A．

4.B

【解析】
根据平行线及角平分线的性质即可求解．
解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．

5.B

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．

6.D

【解析】
利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
解：根据图形可以得到：
， ，
∴ ，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．

7.C

【解析】
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为 ．
故选：C．

8.D

【解析】
先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：原式 •
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．

9.B

【解析】
根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
解：根据题意得：
，
∴ ，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．

10.D

【解析】
根据作图过程可得， 是 的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明 ，可得 再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
解：A，根据作图过程可得， 是 的垂直平分线，

故此选项不符合题意．
B，如图，

由矩形的性质可以证明 ，



∵ 是 的垂直平分线，

故此选项不符合题意．
C，

在 中


故此选项不符合题意．
D，



故此选项符合题意．
故选：D．

11.C

【解析】
在Rt△ABD中，解直角三角形求出 ，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ ，
∴ ，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴ ，
解得： m，
故选：C．

12.D

【解析】
求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
抛物线解析式 变形为： ，
即抛物线对称轴为 ，
当x=m-1时，有 ，
当x=m+1时，有 ，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有 ，
∴C点坐标为 ，
当x=m时，有 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为 ，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，

由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有 ，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，

由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时符合题意；
此时由图可知： ，
解得 ，
综上所述：m的取值范围为： ，
故选：D．

13.

【解析】
原式利用完全平方公式分解即可．
解： ．
故答案为： ．

14.

【解析】
根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是 ．
故答案为：

15.3（答案不唯一）

【解析】
先对 和 进行估算，再根据题意即可得出答案．
解：∵ ＜2＜3＜4＜ ，
∴比 大且比 小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．

16.7

【解析】
根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
解：∵代数式 与代数式 的值相等，
∴ ，
去分母
，
去括号号
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为 ．
故答案为：7．

17.16

【解析】
设小正方形的边长为 ，利用 、 、 表示矩形的面积，再用 、 、 表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于 、 、 的关系式，解出 ，即可求出矩形面积．
解：设小正方形的边长为 ，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得： ，
整理得： ，
， ，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．

18.

【解析】
根据题意得出点 坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．

解：点 按序列“011011011”作变换，表示点 先向右平移一个单位得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，然后右平移一个单位得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，然后右平移一个单位得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ．
故答案为：

19.6

【解析】
先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
解：

20. ，整数解为1，2

【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集

原不等式组的解集是 ，
∴整数解为1，2．

21.见解析

【解析】
根据菱形的性质得出 ， ，再利用角的等量代换得出 ，接着由角边角判定 ，最后由全等的性质即可得出结论．
解：∵四边形 是菱形，E，F是对角线AC上两点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．

22.(1)38，理由见解析
(2)77
(3)甲
(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人

【解析】
（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
（2）根据中位数的计算方法求解即可；
（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
（1）
解：由题意可得：70≤x＜80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；

（2）
解：∵4+12=16＜25，4+12+16＞25，
∴七年级中位数在70≤x＜80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m= ，
故答案为：77；
（3）
解：∵七年级学生的中位数为77＜78，八年级学生的中位数为79＞78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，
故答案为：甲；
（4）
解： （人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．

23.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）连接 ，欲证明CA＝CD，只要证明 即可．
（2）因为 为直径，所以 ，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．
（1）
证明：连接
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 所对的圆周角为 ，圆心角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

（2）
∵ 为直径，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．

24.(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元
(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析

【解析】
（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买两种树苗总费用为 元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
设甲种树苗每棵 元，乙种树苗每棵 元．
由题意得， ，解得 ，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．
（2）
设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买两种树苗总费用为 元，
由题意得 ， ，
由题意得 ，解得 ，
因为 随 的增大而增大，所以当 时 取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．

25.(1) ， ；
(2)①8；②符合条件的点 坐标是 和 ．

【解析】
（1）将点 代入 ，求出 ，即可得 ，将点 代入 ，即可求出k；
（2）①如图，过A作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，求出 ， ，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设 ， ．分情况讨论：ⅰ、当四边形 为平行四边形时，ⅱ、当四边形 为平行四边形时，计算即可．
（1）
解：将点 代入 ，得 ， ，
将点 代入 ，得 ，
反比例函数的解析式为 ．
（2）
解：①如图，过A作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，

∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②分两种情况：设 ， ．
ⅰ、如图，当四边形 为平行四边形时，

∵点 向下平移1个单位、向右平移 个单位得到点 ，
∴点 向下平移1个单位，向右平移 个单位得到点 ，
∴ ， ，
∴ ．
ⅱ、如图，当四边形 为平行四边形时，

∵点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，
∴点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，
∴ ， ，
∴ ．
综上所述，符合条件的点 坐标是 和 ．

26.(1) ，理由见解析
(2)① ；② ，理由见解析

【解析】
（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 ，再由全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 得到 是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作 于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到 ， ，进而得到 ，进而求出 ，结合 ，ED＝EC得到 ，再用等腰直角三角形的性质求解．
（1）
解： ．
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：①
理由：∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
②过点A作 于点G，连接AF，如下图．

∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，
∴ ．

27.(1)， ，t=3，
(2)点
(3)

【解析】
（1）分别把 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作 轴于点 ，根据题意可得 ，从而得到 ， ，再根据 ，可求出m，即可求解；
（3）作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，再根据 ，可得 ， ，然后根据 ，可得 ，从而得到 ，在根据二次函数的性质，即可求解．
（1）
解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， （舍），
∴ ．
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ．
（2）
解：如图，作 轴于点 ，

对于 ，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，
∵∠CAP=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （舍）， ，
∴ ，
∴点 ．
（3）
解：如图，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ，

∵ ，
∴点 ，
∴ ，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值是 ．