【327674】2022年河北省中考数学真题

绝密·启用前

2022年河北省中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.计算 得 ，则“？”是（       ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（       ）

A．中线
B．中位线
C．高线
D．角平分线

3.与 相等的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.下列正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．无法比较 与 的大小

6.某正方形广场的边长为 ，其面积用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

7.①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（       ）

A．①③
B．②③
C．③④
D．①④

8.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

9.若x和y互为倒数，则 的值是（       ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（       ）

A． cm
B． cm
C． cm
D． cm

11.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（       ）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行
D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

12.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

13.平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（       ）

A．1
B．2
C．7
D．8

14.五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（       ）
A．只有平均数
B．只有中位数
C．只有众数
D．中位数和众数

15.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（       ）

A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤

16.题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：d＝1.6，丙答： ，则正确的是（       ）

A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整

17.如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是______．

18.如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．

19.如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共 个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出 个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有 个白子，此时乙盒中有y个黑子，则 的值为______．

20.整式 的值为P．

(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．

21.某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．

(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

22.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

23.如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．

24.如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线 ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．

(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： 取4， 取4.1）

25.如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为 ， ．

(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数 中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中 ．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．

26.如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， ，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， ．

(1)求证：△PQM≌△CHD；
(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且 ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

参考答案

1.C

【解析】
运用同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可．
，则“？”是2，
故选：C．

2.D

【解析】
根据折叠的性质可得 ，作出选择即可．
解：如图，

∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故选：D．

3.A

【解析】
根据 ，分别求出各选项的值，作出选择即可．
A、 ，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：A．

4.B

【解析】
根据二次根式的性质判断即可．
解：A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选：B．

5.A

【解析】
多边形的外角和为 ，△ABC与四边形BCDE的外角和均为 ，作出选择即可．
解：∵多边形的外角和为 ，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和 与 均为 ，
∴ ，
故选：A．

6.C

【解析】
先算出面积，然后利用科学记数法表示出来即可．
解：面积为： ，
故选：C．

7.D

【解析】
观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意
解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意
故选D

8.D

【解析】
根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．

9.B

【解析】
先将 化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可

∵x和y互为倒数
∴

故选：B

10.A

【解析】
如图，根据切线的性质可得 ，根据四边形内角和可得 的角度，进而可得 所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
解：如图，

PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．

11.C

【解析】
用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误
方案Ⅰ：如下图， 即为所要测量的角

∵
∴
∴
故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图， 即为所要测量的角

在 中：
则：
故方案Ⅱ可行
故选：C

12.C

【解析】
根据题意建立函数模型可得 ，即 ，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
解：依题意，
，
， 且为整数．
故选C．

13.C

【解析】
如图（见解析），设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，先在 和 中，根据三角形的三边关系定理可得 ， ，从而可得 ， ，再在 中，根据三角形的三边关系定理可得 ，从而可得 ，由此即可得出答案．
解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，

在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．

14.D

【解析】
分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案．
解：追加前的平均数为： (5+3+6+5+10)=5.8；
从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
追加后的平均数为： (5+3+6+5+20)=7.8；
从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
综上，中位数和众数都没有改变，
故选：D．

15.B

【解析】
根据题意列出方程即可解答．
解：根据题意可得方程；
故选：B．

16.B

【解析】
过点C作 于 ，在 上取 ，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于 对称，分情况分析即可
过点C作 于 ，在 上取

∵∠B＝45°，BC＝2，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在 点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时 ，即丙的答案；
点A在 射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于 对称的AC不存在），此时 ，即甲的答案，
点A在 线段（不包括 点和 点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于 对称）；
故选：B

17.

【解析】
直接根据概率公式计算，即可求解．
解：根据题意得：抽到6号赛道的概率是 ．
故答案为：

18.     是     ##

【解析】
（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，   
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB与CD是垂直的，
故答案为：是；
（2）AB= 2 ，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AE= BE= ．
故答案为： ．

19.     4          1

【解析】
①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子， 个黑子，再根据要求算出y，即可
答题空1：

依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：

第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：

第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子， 个黑子
则：

故答案为：1

20.(1)
(2)

【解析】
（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意 ，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
(1)
解：∵
当 时，

；
(2)
，由数轴可知 ，
即 ，
，
解得 ，
的负整数值为 ．

21.(1)甲
(2)乙

【解析】
（1）根据条形统计图数据求解即可；
（2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可．
(1)
解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23＞22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
(2)
“能力”所占比例为： ；
“学历”所占比例为： ；
“经验”所占比例为： ；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为： ；
乙三项成绩加权平均为： ；
∴8＞7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果

22.验证： ；论证见解析

【解析】
通过观察分析验证10的一半为5， ；将m和n代入发现中验证即可证明．
证明：验证：10的一半为5， ；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴ ，其中 为偶数，
且其一半 正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．

23.(1)对称轴为直线 ， 的最大值为4，
(2)5

【解析】
（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入 中即可得出a的值；
（2）由 ，得出抛物线 是由抛物线C： 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点 移动的最短路程．
(1)
，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4，
把 代入 中得：
，
解得： 或 ，
∵点 在C的对称轴右侧，
∴ ；
(2)
∵ ，
∴ 是由 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴ 移动的最短路程为5．

24.(1) ，
(2)见详解，约 米

【解析】
（1）由水面截线 可得 ，从而可求得 ，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线 ，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得 ，进而可得 ，利用相似三角形的性质可得 ，利用勾股定理即可求得 的值，从而可求解．
(1)
解：∵水面截线
，
，
，
在 中， ， ，
，
解得 ．
(2)
过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：

水面截线 ， ，
， ，
为最大水深，
，
，
，且 ，
，
，即 ，即 ，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ，
，
最大水深约为 米．

25.(1)
(2)① ，理由见解析②5

【解析】
（1）设直线AB的解析式为 ，把点 ， 代入，即可求解；
（2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入 ，即可求解；
②由①得： ，可得 ，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解．
(1)
解：设直线AB的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴AB所在直线的解析式为 ；
(2)
解： ，理由如下：
若有光点P弹出，则c＝2，
∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入 得：
；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为 ；
②由①得： ，
∴ ，
∵点 ， ，AB所在直线的解析式为 ，
∴线段AB上的其它整点为 ，
∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，
∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时， ，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时， ，即 ，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即 （不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即 （不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．

26.(1)见详解
(2)① ；
② ；
③

【解析】
（1）先证明四边形 是矩形，再根据 算出CD长度，即可证明；
（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；
②运动分两个阶段：平移阶段： ；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作 于T；设 ，利用 算出 ， ， ，利用 算出DG，利用 算出GT，最后利用 算出 ，发现 ，从而得到 ， 度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；
③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明 ，结合勾股定理，可得 ，即可得CF与d的关系．
(1)
∵ ，
∴
则在四边形 中

故四边形 为矩形
，
在 中，
∴ ，
∵
∴ ；
(2)
①过点Q作 于S

由（1）得：
在 中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：


旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作 于T

设 ，则
在 中：


设 ，则 ， ，
， ，
∵DM为直径
∴
在 中 ：
在 中：
在 中：
∴ ，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得

综上所述： ．