【332091】人教版九年级上册 期中试卷（3）

期中试卷（3）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（　　）

A．y=x（x﹣1） B．y= ﹣1 C．y=﹣x² D．y=（x+4）²﹣x²

2．（3分）将一元二次方程x²﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（　　）

A．（x﹣2）²=2 B．（x﹣1）²=2 C．（x﹣1）²=3 D．（x﹣2）²=3

3．（3分）如图，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．

5．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（3分）如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b²＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线　　．

8．（3分）已知m，n是方程x²+4x﹣7=0的两根，则代数式 的值为　　．

9．（3分）已知x能使得 + 有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第　　象限．

10．（3分）已知二次函数y=x²+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　　．

11．（3分）若抛物线y=x²与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x²﹣x﹣2=0的解为　　．

12．（3分）如图，A（ ，1），B（1， ）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　　．

　

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）用适当的方法解方程．

（1）x²﹣3x+1=0

（2）x（x﹣2）+2x﹣4=0．

14．（6分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m²，求道路的宽．

15．（6分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）

16．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；

（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；

（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．

17．（6分）已知二次函数y=﹣ x²﹣x+

（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+h）²+k的形式；

（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

　

四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

18．（8分）已知x₁，x₂是方程x²﹣4x+2=0的两根，求：（1） 的值；（2）（x₁﹣x₂）²的值．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C；平移△ABC，若点A的对应点A₂的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A₂B₂C₂；

（2）若将△A₁B₁C绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂；请直接写出旋转中心的坐标；

（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

20．（8分）已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0

（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

21．（8分）小李按市场价格30元/千克收购了一批海鲜1000千克存放在冷库里，据预测，海鲜的市场价格将每天每千克上涨1元．冷冻存放这批海鲜每天需要支出各种费用合计310元，而且这些海鲜在冷库中最多存放160天，同时平均每天有3千克的海鲜变质．

（1）设x天后每千克该海鲜的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）若存放x天后，将这批海鲜一次性出售．设这批海鲜的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式；

（3）小李将这批海鲜存放多少天后出售可获得最大利润，最大利润是多少元？（利润W=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）

　

五、（本大题10分）

22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

　

六、（本大题12分）

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

　

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（　　）

A．y=x（x﹣1） B．y= ﹣1 C．y=﹣x² D．y=（x+4）²﹣x²

【考点】二次函数的定义．菁

【分析】依据二次函数的定义回答即可．

【解答】解：A、整理得y=x²﹣x，是二次函数，与要求不符；

B、y= ﹣1是二次函数，与要求不符；

C、y=﹣x²是二次函数，与要求不符；

D、整理得：y=8x+16是一次函数，与要求相符．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．

　

2．（3分）将一元二次方程x²﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（　　）

A．（x﹣2）²=2 B．（x﹣1）²=2 C．（x﹣1）²=3 D．（x﹣2）²=3

【考点】解一元二次方程-配方法．菁

【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．

【解答】解：∵x²﹣2x﹣2=0，

∴x²﹣2x=2，

∴x²﹣2x+1=2+1，

∴（x﹣1）²=3．

故选：C．

【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

　

3．（3分）如图，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．菁

【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．

【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D不是中心对称图形．

故选D．

【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

　

4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．

【考点】一元二次方程的解．菁

【专题】计算题．

【分析】由一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．

【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，

∴将x=0代入方程得：a²﹣1=0，

解得：a=1或a=﹣1，

将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，

则a的值为﹣1．

故选：B．

【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

　

5．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；直角梯形．菁

【专题】压轴题．

【分析】求△ADE的面积，已知底AD=3，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，则△ADE的面积就能求出来．

【解答】解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，

∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，

∴∠EDF=∠CDG，

又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，

∴△EDF≌△CDG（AAS），

∴EF=CG，

∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2，

∴EF=2，

∴S_△ADE= ×AD×EF= ×3×2=3．

故选C．

【点评】本题需要把旋转的性质、三角形的面积公式结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．注意旋转变化前后，对应角相等．

　

6．（3分）如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b²＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．菁

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，

∴a＜0；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b²﹣4ac＞0，即b²＞4ac，①正确；

由图象可知：对称轴x= =﹣1，

∴2a=b，2a+b=4a，

∵a≠0，

∴2a+b≠0，②错误；

∵图象过点A（﹣3，0），

∴9a﹣3b+c=0，2a=b，

∴9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；

∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0

由图象可知：当x=1时y=0，

∴a+b+c=0，④正确．

故选：C．

【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

　

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线　x=1　．

【考点】二次函数的性质．菁

【分析】先把抛物线的方程变为y=ax²﹣2ax﹣3a，由公式x= 得抛物线的对称轴为x=1．

【解答】解：y=a（x+1）（x﹣3）

=ax²﹣2ax﹣3a

由公式 得，

抛物线的对称轴为x=1．

【点评】本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式x= ．

　

8．（3分）已知m，n是方程x²+4x﹣7=0的两根，则代数式 的值为　3　．

【考点】根与系数的关系；二次根式的性质与化简．菁

【分析】根据根与系数的关系可得m+n=﹣4，mn=﹣7，然后将代数式化简代入即可求得答案．

【解答】3解：∵m，n是方程x²+4x﹣7=0的两根，

∴m+n=﹣4，mn=﹣7，

∴ = = =3，

故答案为：3．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

　

9．（3分）已知x能使得 + 有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第　二　象限．

【考点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标．菁

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的范围，根据关于原点对称的点的坐标特点解答．

【解答】解：由题意得，x+1≥0，2﹣x≥0，

解得，﹣1≤x≤2，

则x+2＞0，x﹣3＜0，即点P（x+2，x﹣3）在第四象限，

故点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第二象限，

故答案为：二．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、关于原点对称的点的坐标特点，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

　

10．（3分）已知二次函数y=x²+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　y=x²﹣7x+12　．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．菁

【专题】计算题．

【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式．

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4），

而a=1，

所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x²﹣7x+12．

故答案为y=x²﹣7x+12．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

　

11．（3分）若抛物线y=x²与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x²﹣x﹣2=0的解为　﹣1或2　．

【考点】抛物线与x轴的交点．菁

【分析】利用方程组的解，确定一元二次方程的解即可．

【解答】解：∵y=x²与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），

∴ 消去y得到x²﹣x﹣2=0的解为x=﹣1或2，

故答案为﹣1或2．

【点评】本题考查二次函数与cX轴的交点、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

　

12．（3分）如图，A（ ，1），B（1， ）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　（﹣1，﹣ ）或（﹣2，0）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．菁

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标．

【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，

∵A（ ，1），

∴OC= ，AC=1，

由勾股定理得：OA=2，

tan∠AOC= = ，

∴∠AOC=30°，

分两种情况：

①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1，

此时OA在x轴上，则A′的坐标为（﹣2，0），

②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2，

过A′作A′D⊥x轴于D，

∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°，

∴∠A′OC=150°﹣30°=120°，

∴∠A′OD=60°，

在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2，

∴OD=1，A′D= ，

∴A′的坐标为（﹣1，﹣ ），

则点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）；

故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据旋转角的度数判断出点A′的位置，注意构建直角三角形，同时还要分情况讨论求解．

　

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）用适当的方法解方程．

（1）x²﹣3x+1=0

（2）x（x﹣2）+2x﹣4=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．菁

【分析】（1）公式法求解可得；

（2）因式分解法求解可得．

【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=1，

∴△=9﹣4×1×1=5，

∴x= ；

（2）∵x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，

∴（x﹣2）（x+2）=0，

∴x﹣2=0或x+2=0，

解得：x=2或x=﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

　

14．（6分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m²，求道路的宽．

【考点】一元二次方程的应用．菁

【专题】几何图形问题．

【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．

【解答】解法一：原图经过平移转化为图1．

设道路宽为X米，

根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=540．

整理得x²﹣52x+100=0．

解得x₁=50（不合题意，舍去），x₂=2．

答：道路宽为2米．

解法二：原图经过平移转化为图2．

设道路宽为x米，

根据题意，20×32﹣（20+32）x+x²=540

整理得x²﹣52x+100=0．

解得x₁=50（不合题意，舍去），x₂=2．

答：道路宽为2米．

【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．

　

15．（6分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）

【考点】二次函数的应用．菁

【分析】先设抛物线的解析式为y=ax²，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求得抛物线的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的长度，进而求出时间．

【解答】解：设所求抛物线的解析式为：

y=ax²．

设D（5，b），则B（10，b﹣3），

把D、B的坐标分别代入y=ax²得： ，

解得： ，

∴y=﹣ x²；

∵b=﹣1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1， =5小时．

所以再持续5小时到达拱桥顶5小时．

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题是解题的关键．

　

16．（6分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；

（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；

（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁

【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；

（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；

（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．

【解答】解：（1）甲图：平行四边形，

（2）乙图：等腰梯形，

（3）丙图：正方形．

【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．

　

17．（6分）已知二次函数y=﹣ x²﹣x+

（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+h）²+k的形式；

（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

【考点】二次函数的三种形式．菁

【分析】（1）根据配方法，先提取﹣ ，然后配成完全平方式，整理即可；

（2）根据a是负数以及顶点式解析式分别求解即可．

【解答】解：（1）y=﹣ x²﹣x+ ，

=﹣ （x²+2x+1）+ + ，

=﹣ （x+1）²+4；

（2）∵a=﹣ ＜0，

∴开口向下；

顶点坐标（﹣1，4）；

对称轴为直线x=﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）²+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．

　

四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

18．（8分）已知x₁，x₂是方程x²﹣4x+2=0的两根，求：（1） 的值；（2）（x₁﹣x₂）²的值．

【考点】根与系数的关系．菁

【分析】易得到两根之和与两根之积的具体数值，把所求代数式整理成与之有关的式子而求解．

【解答】解：∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2．

（1） =2．

（2）（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=4²﹣4×2=8．

【点评】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．

　

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C；平移△ABC，若点A的对应点A₂的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A₂B₂C₂；

（2）若将△A₁B₁C绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂；请直接写出旋转中心的坐标；

（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题．菁

【分析】（1）延长AC到A₁，使得AC=A₁C，延长BC到B₁，使得BC=B₁C，利用点A的对应点A₂的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A₂B₂C₂；

（2）根据△△A₁B₁C绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂进而得出，旋转中心即可；

（3）根据B点关于x轴对称点为A₂，连接AA₂，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（ ，﹣1）；

（3）∵PO∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴OP=2，

∴点P的坐标为（﹣2，0）．

【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．

　

20．（8分）已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0

（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．菁

【专题】证明题．

【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k²﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）²，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；

（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）²=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k= ，则方程化为x²﹣6x+8=0，解得x₁=4，x₂=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．

【解答】（1）证明：△=（2k+1）²﹣4×4（k﹣ ）

=4k²+4k+1﹣16k+8，

=4k²﹣12k+9

=（2k﹣3）²，

∵（2k﹣3）²≥0，即△≥0，

∴无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）²=0，解得k= ，方程化为x²﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；

当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化为x²﹣6x+8=0，解得x₁=4，x₂=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，

所以△ABC的周长=4+4+2=10．

【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b²﹣4ac）判断方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．

　

21．（8分）小李按市场价格30元/千克收购了一批海鲜1000千克存放在冷库里，据预测，海鲜的市场价格将每天每千克上涨1元．冷冻存放这批海鲜每天需要支出各种费用合计310元，而且这些海鲜在冷库中最多存放160天，同时平均每天有3千克的海鲜变质．

（1）设x天后每千克该海鲜的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）若存放x天后，将这批海鲜一次性出售．设这批海鲜的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式；

（3）小李将这批海鲜存放多少天后出售可获得最大利润，最大利润是多少元？（利润W=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）

【考点】二次函数的应用．菁

【分析】（1）依题意可求出y与x之间的函数关系式．

（2）存放x天，每天损坏3千克，则剩下1000﹣3x，P与x之间的函数关系式为P=（x+30）（1000﹣3x）

（3）依题意化简得出w与x之间的函数关系式，求得x=100时w最大．

【解答】解：（1）y=x+30；

（2）p=（x+30）（1000﹣3x）=﹣3x²+910x+30000；

（3）W=P﹣30×1000﹣310x=﹣3x²+910x+30000﹣30000﹣310x

=﹣3x²+600x，

∵﹣3＜0，

∴W有最大值，

当x= =100时，

∵100＜160，

∴W最大值= =30000．

∴存放100天后出售时获得最大利润，最大利润为30000元．

【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确列出函数表达式并熟悉二次函数的性质是解决问题的关键．

　

五、（本大题10分）

22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　DE= BC　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁

【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE= BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE= BC可得到BF+BP= DE；

（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP= DE．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵点D是AB的中点，

∴DB=DC，

∴△DCB为等边三角形，

∵DE⊥BC，

∴DE= BC；

故答案为DE= BC．

（2）BF+BP= DE．理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

而∠CDB=60°，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中

，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP=BF，

而CP=BC﹣BP，

∴BF+BP=BC，

∵DE= BC，

∴BC= DE，

∴BF+BP= DE；

（3）如图，

与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

而CP=BC+BP，

∴BF﹣BP=BC，

∴BF﹣BP= DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

　

六、（本大题12分）

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁

【分析】（1）待定系数法分别求解可得；

（2）根据题意可设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t²﹣2t﹣3），继而可得PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣（t﹣ ）²+ ，知PM最长值为 ，根据S_△ABM=S_△BPM+S_△APM可得答案；

（3）由PM∥OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，据此可分以下三种情况：①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得．

【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x²+mx+n，得

，

解得： ，

所以抛物线的解析式是y=x²﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t²﹣2t﹣3），

∵p在第四象限，

∴PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t=﹣（t﹣ ）²+ ，

当t= 时，二次函数取得最大值 ，即PM最长值为 ，

则S_△ABM=S_△BPM+S_△APM= × ×3= ．

（3）存在，

理由如下：

∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3．

②当P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，

解得t₁= ，t₂= （舍去），

所以P点的横坐标是 ；

③当P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，解得t₁= （舍去），t₂= ，

所以P点的横坐标是 ．

所以P点的横坐标是 或 ．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．