【332071】人教版第21章 一元二次方程测试卷（1）

第21章 一元二次方程测试卷（1）

一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）

1．（3分）方程2x²﹣3=0的一次项系数是（　　）

A．﹣3 B．2 C．0 D．3

2．（3分）方程x²=2x的解是（　　）

A．x=0 B．x=2 C．x₁=0，x₂=2 D．x₁=0，x₂=

3．（3分）方程x²﹣4=0的根是（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x₁=2，x₂=﹣2 D．x=4

4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x²+6=0无实数根，则k的最小整数值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

5．（3分）用配方法解一元二次方程x²﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（　　）

A．（x+2）²=1 B．（x﹣2）²=1 C．（x+2）²=9 D．（x﹣2）²=9

6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x²+130x﹣1400=0 B．x²+65x﹣350=0

C．x²﹣130x﹣1400=0 D．x²﹣65x﹣350=0

7．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．（3分）方程x²﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）

A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定

9．（3分）若关于一元二次方程x²+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（　　）

A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2

10．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生．

A．12 B．12或66 C．15 D．33

二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．

11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：　　．

12．（3分）﹣1是方程x²+bx﹣5=0的一个根，则b=　　，另一个根是　　．

13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　　．

14．（3分）已知一元二次方程x²﹣3x﹣1=0的两根为x₁、x₂，x₁+x₂=　　．

15．（3分）用换元法解方程 +2x=x²﹣3时，如果设y=x²﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是　　．

　

三、按要求解一元二次方程：（20分）

16．（20分）按要求解一元二次方程

（1）4x²﹣8x+1=0（配方法）

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）

（3）3x²+5（2x+1）=0（公式法）

（4）x²﹣2x﹣8=0．

　

四、细心做一做：

17．（6分）有一面积为150m²的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？

18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？

19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：

（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？

21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．

（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？

（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？

（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．

　

参考答案与试题解析

一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）

1．（3分）方程2x²﹣3=0的一次项系数是（　　）

A．﹣3 B．2 C．0 D．3

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【解答】解：方程2x²﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．

【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．

　

2．（3分）方程x²=2x的解是（　　）

A．x=0 B．x=2 C．x₁=0，x₂=2 D．x₁=0，x₂=

【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．

【专题】因式分解．

【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．

【解答】解：x²﹣2x=0

x（x﹣2）=0

∴x₁=0，x₂=2．

故选C．

【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根．

　

3．（3分）方程x²﹣4=0的根是（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x₁=2，x₂=﹣2 D．x=4

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】先移项，然后利用数的开方解答．

【解答】解：移项得x²=4，开方得x=±2，

∴x₁=2，x₂=﹣2．

故选C．

【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²=a（a≥0），ax²=b（a，b同号且a≠0），（x+a）²=b（b≥0），a（x+b）²=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

　

4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x²+6=0无实数根，则k的最小整数值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x²﹣8x+6=0，要方程无实数根，则△=8²﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k．

【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x²﹣8x+6=0，

当△＜0，方程没有实数根，即△=8²﹣4×6（2k﹣1）＜0，

解得k＞ ，则满足条件的最小整数k为2．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

　

5．（3分）用配方法解一元二次方程x²﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（　　）

A．（x+2）²=1 B．（x﹣2）²=1 C．（x+2）²=9 D．（x﹣2）²=9

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．

【解答】解：移项得：x²﹣4x=5，

配方得：x²﹣4x+2²=5+2²，

（x﹣2）²=9，

故选D．

【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．

　

6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x²+130x﹣1400=0 B．x²+65x﹣350=0

C．x²﹣130x﹣1400=0 D．x²﹣65x﹣350=0

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．

【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，

即4000+260x+4x²=5400，

化简为：4x²+260x﹣1400=0，

即x²+65x﹣350=0．

故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．

　

7．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【考点】勾股定理．

【分析】设三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2）²=（x+1）²+x²，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．

【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，

根据勾股定理得：（x+2）²=（x+1）²+x²

解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3，

∴x+1=4，x+2=5，

则三边长是3，4，5，

∴三角形的面积= ××4=6；

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．

　

8．（3分）方程x²﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）

A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定

【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

【专题】分类讨论．

【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．

【解答】解：解方程x²﹣9x+18=0，得x₁=6，x₂=3

∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系

∴等腰三角形的腰为6，底为3

∴周长为6+6+3=15

故选C．

【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．

　

9．（3分）若关于一元二次方程x²+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（　　）

A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2

【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=2²﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：根据题意得△=2²﹣4（k+2）=0，

解得k=﹣1．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

　

10．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生．

A．12 B．12或66 C．15 D．33

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可．

【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得

x（x﹣1）=132

解得：x₁=﹣11（不合题意舍去），x₂=12，

答：全组共有12名学生．

故选：A．

【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

　

二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．

11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：　﹣3x²+2x﹣3=0　．

【考点】一元二次方程的一般形式．

【专题】开放型．

【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可．

【解答】解：由题意得：﹣3x²+2x﹣3=0，

故答案为：﹣3x²+2x﹣3=0．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

　

12．（3分）﹣1是方程x²+bx﹣5=0的一个根，则b=

　﹣4　，另一个根是　5　．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．

【解答】解：∵x=﹣1是方程x²+bx﹣5=0的一个实数根，

∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，

解得b=﹣4，

即方程为x²﹣4x﹣5=0，

（x+1）（x﹣5）=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=5，

即b的值是﹣4，另一个实数根式5．

故答案为：﹣4，5；

【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．

　

13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　y₁=﹣ ，y₂= 　．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】因式分解．

【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．

【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，

∴2y+1=0或2y﹣3=0，

解得y₁= ，y₂= ．

【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则．

　

14．（3分）已知一元二次方程x²﹣3x﹣1=0的两根为x₁、x₂，x₁+x₂=　3　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=﹣ ，代入计算即可．

【解答】解：∵一元二次方程x²﹣3x﹣1=0的两根是x₁、x₂，

∴x₁+x₂=3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=﹣ ，x₁•x₂= ．

　

15．（3分）用换元法解方程 +2x=x²﹣3时，如果设y=x²﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是　y²﹣3y﹣1=0　．

【考点】换元法解分式方程．

【专题】换元法．

【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x²﹣2x看作一个整体．

【解答】解：原方程可化为：

﹣（x²﹣2x）+3=0

设y=x²﹣2x

﹣y+3=0

∴1﹣y²+3y=0

∴y²﹣3y﹣1=0．

【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体．

　

三、按要求解一元二次方程：（20分）

16．（20分）按要求解一元二次方程

（1）4x²﹣8x+1=0（配方法）

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）

（3）3x²+5（2x+1）=0（公式法）

（4）x²﹣2x﹣8=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．

【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解．

（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．

（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）4x²﹣8x+1=0（配方法）

移项得，x²﹣2x=﹣ ，

配方得，x²﹣2x+1=﹣ +1，

（x﹣1）²= ，

∴x﹣1=±

∴x₁=1+ ，x₂=1﹣ ．

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）

7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，

（5x+2）（7x﹣6）=0，

∴5x+2=0，7x﹣6=0，

∴x₁=﹣ ，x₂= ；

（3）3x²+5（2x+1）=0（公式法）

整理得，3x²+10x+5=0

∵a=3，b=10，c=5，b²﹣4ac=100﹣60=40，

∴x= = = ，

∴x₁= ，x₂= ；

（4）x²﹣2x﹣8=0．

（x+4）（x﹣2）=0，

∴x+4=0，x﹣2=0，

∴x₁=﹣4，x₂=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

　

四、细心做一做：

17．（6分）有一面积为150m²的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解．

【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150

解这个方程 ；x₂=10

当养鸡场的宽为 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，

当养鸡场的宽为x₁=10m时，养鸡场的长为15m．

答：鸡场的长与宽各为15m，10m．

【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．

　

18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解．

【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米，

由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣ ）

即x²﹣31x+30=0

解得x₁=30 x₂=1

∵路宽不超过15米

∴x=30不合题意舍去

答：小路的宽应是1米．

【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

　

19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：

（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．

（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．

（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．

【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，

根据题意，得1500（1+x）²=2160．

解得x₁=0.2，x₂=﹣2.2（不合题意，舍去）．

∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．

答：2007年该企业盈利1800万元．

（2）2160（1+0.2）=2592．

答：预计2009年该企业盈利2592万元．

【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）²=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

　

20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可．

【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），

由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000，

整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x²=8000，

解得：x₁= ，x₂= ，

当x₁= 时，则涨价10元，销量为：400件；

当x₂= 时，则涨价30元，销量为：200件．

答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．

【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

　

21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．

（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？

（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？

（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．

【专题】几何动点问题．

【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S_△PCQ= S_△ABC列出方程求解；

（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有 = 或 = ，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么 = ，依此列出比例式 = ，解方程即可．

【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ，

由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，

则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6，

解得：x=2或x=4．

故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；

（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．

当△PCQ与△ACB相似时，则有 = 或 = ，

所以 = ，或 = ，

解得t= ，或t= ．

因此，经过 秒或 秒，△OCQ与△ACB相似；

（ 3）有可能．

由勾股定理得AB=10．

∵CD为△ACB的中线，

∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，

又PQ⊥CD，

∴∠CPQ=∠B，

∴△PCQ∽△BCA，

∴ = ， = ，

解得y= ．

因此，经过 秒，PQ⊥CD．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．