【332069】人教版初中数学九年级下册同步测试 第28章 锐角三角函数（共25页）

第二十八章 锐角三角函数

测试1 锐角三角函数定义

学习要求

理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．

课堂学习检测

一、填空题

1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而 ，又可得

① ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；

② ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；

③ ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．

第1题图

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第2题图

① ＝______， ＝______；

② ＝______， ＝______；

③ ＝______， ＝______．

3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin、cos、tan分别都有____________与它______，所以sin、cos、tan都是____________．又称为的____________．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

二、解答题

8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

9．已知Rt△ABC中， 求AC、AB和cosB．

综合、运用、诊断

10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，

求：AB及OC的长．

12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，

(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，

(1)求AB边上的高CD；

(2)求△ABC的面积S；

(3)求tanB．

14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

拓展、探究、思考

15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：

(1)

∴ ______；

(2)

∴b＝______，c＝______；

(3)

∴a＝______，b＝______；

(4) ∴ ______， ______；

(5) ∴ ______， ______；

(6)∵ 3，∴ ______， ______．

16．已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝．

求：P点和C点的坐标．(用的三角函数表示)

17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD⊥BC于D．

(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；

(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．

测试2 锐角三角函数

学习要求

1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．

2．初步了解锐角三角函数的一些性质．

课堂学习检测

一、填空题

1．填表．

锐角	30°	45°	60°
sin
cos
tan

二、解答题

2．求下列各式的值．

(1)

(2)tan30°－sin60°·sin30°

(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°

(4)

3．求适合下列条件的锐角．

(1) (2)

(3) (4)

4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．

(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．

5．用计算器求锐角(精确到1″)．

(1)若cos＝0.6536，则＝______；

(2)若tan(2＋10°31′7″)＝1.7515，则＝______．

综合、运用、诊断

6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，

求此菱形的周长．

7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ACB的值．

8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：

(1)∠D及∠DBC；

(2)tanD及tan∠DBC；

(3)请用类似的方法，求tan22.5°．

9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°， ，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．

拓展、探究、思考

11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是 上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：

(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；

(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；

(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；

(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．

12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．

(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；

(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．

13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：

(1)sin²A＋cos²A＝1；

(2)

14．化简： (其中0°＜＜90°)

15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；

③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；

⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．

猜想：若0°＜≤45°，则sin2______2sincos．

(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．

16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S_△ABC·S_△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．

测试3 解直角三角形(一)

学习要求

理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．

课堂学习检测

一、填空题

1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

第1题图

①三边之间的等量关系：

__________________________________．

②两锐角之间的关系：

__________________________________．

③边与角之间的关系：

______； _______；

_____； ______．

④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

第④小题图

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

CD²＝_________；AC²＝_________；

BC²＝_________；AC·BC＝_________．

⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．

第⑤小题图

直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．

若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．

⑥直角三角形的面积公式．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

S_△ABC＝_________．(答案不唯一)

2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)

3．填写下表：

已知条件		解法
一条边和	斜边c和锐角∠A	∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角	直角边a和锐角∠A	∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边	两条直角边a和b	c＝______，由______求∠A，∠B＝______
	直角边a和斜边c	b＝______，由______求∠A，∠B＝______

二、解答题

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：a＝35， ，求∠A、∠B，b；

(2)已知： ， ，求∠A、∠B，c；

(3)已知： ， ，求a、b；

(4)已知： 求a、c；

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积 求a、b、c及∠B．

综合、运用、诊断

5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2，OC⊥AB于C点．

(1)求弦AB的长及弦心距；

(2)求⊙O的内接正n边形的边长a_n及边心距r_n．

6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝

BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)

7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．

拓展、探究、思考

8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．

(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)

(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?

9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?

10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)

测试4 解直角三角形(二)

学习要求

能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．

课堂学习检测

1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．

求AB及BC的长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．

求AB及BC的长．

4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．

综合、运用、诊断

5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里， )

7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离 ，求点B到地面的垂直距离BC．

8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．

9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．

10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米?

11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求

(1)A、C两地之间的距离；

(2)确定目的地C在营地A的什么方向?

12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?

拓展、探究、思考

13．已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，锐角∠A＝．

(1)BC的长；

(2)△ABC的面积．

14．已知：如图，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，锐角∠A＝，∠B＝．

(1)求AB的长；

(2)求证：

15．已知：如图，在Rt△ADC中，∠D＝90°，∠A＝，∠CBD＝，AB＝a．用含a及、的三角函数的式子表示CD的长．

16．已知：△ABC中，∠A＝30°，AC＝10， ，求AB的长．

17．已知：四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于E点，AC＝a，BD＝b，∠BEC＝(0°＜＜90°)，求此四边形的面积．

测试5 综合测试

1．计算．

(1) (2)

2．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝32，BC＝12．

求：sin∠ACD及AD的长．

3．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，AB＝2m，BD＝m－1，

(1)用含m的代数式表示BC；

(2)求m的值；

4．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE＝2EC，DM⊥AE于M点．求DM的长．

5．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝

30°，AB＝2a．求BC的长．

6．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°， ．AB＝3，求BC的长．

7．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝m，锐角∠A＝，

(1)求⊙O的半径R；

(2)求△ABC的面积的最大值．

8．已知：如图，矩形纸片ABCD中，BC＝m，将矩形的一角沿过点B的直线折叠，使A点落在DC边上，落点记为A′，折痕交AD于E，若∠A′BE＝．

求证：

答案与提示

第二十八章 锐角三角函数

测试1

1．△BAC，AB，AC′．

① ，对边，斜边，固定；

② ，邻边，斜边，固定值；

③ ，对边，邻边，固定值．

2．①∠A的对边， ∠B的对边，

②∠A的邻边， ∠B的邻边，

③∠A的对边， ∠B的邻边，

3．唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．AB＝2AC＝2AO·sin∠AOC＝24cm，

12．

13．(1)CD＝AC·sinA＝4cm；(2)

(3)

14．

15．(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

16．P(cos，sin)，C(1，tan)．提示：作PD⊥x轴于D点．

17．(1)

(2)

提示：作AE⊥BC于E，设AP＝2．

测试2

1．

锐角	30°	45°	60°
sin
cos
tan		1

2．(1)0； (2) (3) (4)

3．(1)＝60°；(2)＝30°；(3)22.5°；(4)46°．

4．(1)0.391；(2)1.423．

5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．

6．104cm．提示：设DE＝12xcm，则得AD＝13xcm，AE＝5xcm．利用BE＝16cm．

列方程8x＝16．解得x＝2．

7． 提示：作BD⊥CA延长线于D点．

8．(1)∠D＝15°，∠DBC＝75°；

(2) (3)

9．(1)15°；

(2)

10． 提示：作DE∥BA，交AC于E点，或延长AD至F，使DF＝

AD，连结CF．

11．提示：作CE⊥OA于E，作DF⊥OA于F． (3)增大， (4)减小．

12．(2)增大．

13．提示：利用锐角三角函数定义证．

14．原式

15．(1)①～⑥略．sin2＝2sincos．

(2)

∴sin2＝2sincos．

16．不发生改变，设∠BAC＝2，BC＝2m，则

测试3

1．①a²＋b²＝c²； ②∠A＋∠B＝90°； ③

④AD·BD，AD·AB，BD·BA，AB·CD：

⑤一半，它的外心， (或 )

⑥ 或 (h为斜边上的高)或 或 或

(r为内切圆半径)

2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边．

3．90°－∠A，sinA，cosA；

4．(1)∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；

(2)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4；

(3)

(4)

(5)

5．(1)AB＝2R·sin，OC＝R·cos；

(2)

6．AB≈6.40米，BC≈5.61米，AB＋BC≈12.0米．

7．约为222cm．

8．(1) 米．

(2)4层，提示：设甲楼应建x层则

9．

10．6米．

测试4

1．

2． cm．

3． 提示：作CD⊥AB延长线于D点．

4． cm．

5．山高

6．约为27.3海里．

7． ．

8．约为17m，提示：分别延长AD、BC，设交点为E，作DF⊥CE于F点．

9．约477.13m．

10．10m．

11．(1)AC＝1 000m； (2)C点在A点的北偏东30°方向上．

12．面积增加24m²，需用240 000m²土石．

13．(1) 提示：作CD⊥AB于D点，则CD＝b·sin，

AD＝b·cos．再利用BC²＝CD²＋DB²的关系，求出BC．

(2)

14．(1)AB＝b·cos＋a·cos. 提示：作CD⊥AB于D点．

(2)提示：由bsin＝CD＝asin可得bsin＝asin，从而 ．

15．提示：AB＝AD－BD＝CD tan(90°－)－CD tan(90°－)

＝CD〔tan(90°－)－tan(90°－)〕，

或

16． 或 提示：AB边上的高CD的垂足D点可能在AB边上(这时AB＝

，也可能在AB边的延长线上(这时 )．

17．

测试5

1．(1) (2)

2．

3．(1) 或 (2)

4．

5． ．提示：作BE⊥AD于E点．

6．BC＝6．提示：分别延长AB、DC，设它们交于E点．

7．(1) 提示：作⊙O的直径BA＇，连结A＇C．

(2) 提示：当A点在优弧BC上且AO⊥BC时，△ABC有面积的最大值．

8．提示：