【331951】九年级数学下册 28.1 锐角三角函数同步测试 （新版）新人教版

锐角三角函数

28.1__锐角三角函数__

第1课时　正弦　[见B本P78]

1．如图28－1－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　C　)

图28－1－1

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2．把△ ABC三边的 长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(　A　)

A．不变 B．缩小为原来的

C．扩大为原来的3倍 D．不能确定

3．如图28－1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　)

图28－1－2

A. B. C. D．1

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(　A　)

A．15 B．12 C．9 D．6

【解析】 AB＝＝＝15，选A.

5．如图28－1－3所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　B　)

图28－1－3

A. B. C. D.

6．如图28－1－4，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα的值是(　D　)

图28－1－4

A. B. C. D.

【解析】 OP＝＝5，∴sinα＝.故选D.

7．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB＝____．

【解析】 由sinA＝可得＝，故可设BC＝2a，AB＝5a， 由勾股定理求得AC＝a，再由正弦定义求得sinB＝＝＝.

8. 如图图28－1－5，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为____．

图28－1－5

9．Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求 sinA＋sinB.

解：由勾股定理有c＝＝＝17，

于是sinA＝，sinB＝，

所以sinA＋sinB＝＋＝.

图28－1－6

10．如图28－1－6所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC的长．

解：∵sinA＝，∴＝，∴AB＝3BC.

∵AC²＋BC²＝AB²，∴2²＋BC²＝(3BC)²，

∴BC＝，∴AB＝.

11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于(　B　)

A. 　B. 　C. 　D.

12．如图28－1－7，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是__60__cm².

图28－1－7

【解析】 在Rt△ADE中，sinA＝，

∴AD＝＝＝10(cm)，∴AB＝AD＝10 cm，

∴S_菱形ABCD＝DE·AB＝6×10＝60(cm²)．

13．如图28－1－8，⊙O的半径为3，弦AB的长为4，求sinA的值．

图28－1－8

第13题答图

【解析】 要求sinA的值，必将∠A放在直角三角形中，故过O作OC⊥AB于C，构造直角三角形，然后根据正弦的定义求解．

解：过点O作OC⊥AB，垂足 为C，如图所示，

则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2.

在Rt△AOC中，OC＝＝＝，∴sinA＝＝.

14．如图28－1－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，求DE.

图28－1－9

解：∵BC＝6，sinA＝，

∴AB＝10，

∴AC＝＝8，

∵D是AB的中点，

∴AD＝AB＝5，

∵△ADE∽△ACB，

∴＝，即＝，

解得：DE＝.

15．如图28－1－10，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE＝.

(1)求半径OD；

(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

图28－1－10

解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24 m，

∴ED＝CD＝12 m.

在Rt△DOE中，sin∠DOE＝＝，

∴OD＝13 m.

(2)OE＝＝＝5(m)，

∴将水排干需5÷0.5＝10(小时)．

16． 如图28－1－11，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)．

(1)求∠BAC的度数；

(2)求△ABC面积的最大值．

图28－1－11

解：(1)过点O作OD⊥BC于点D，连接OC，OB.

因为BC＝2，

所以CD＝BC＝.

又因为OC＝2，

所以sin∠DOC＝＝，

所以∠DOC＝60°，

所以∠BOC＝2∠DOC＝120°，

所以∠BAC＝∠BOC＝60°.

(2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC的面积最大，即点A是BAC的中点时，△ABC的面积最大，

此时AB＝AC，所以AB＝AC.

又因为∠BAC＝60°，

所以△ABC是等边三角形．

连接AD，易证AD是△ABC的高．

在Rt△ADC中，AC＝BC＝2，CD＝，

所以AD＝＝＝3，

所以△ABC面积的最大值为×2×3＝3.

第2课时　锐角三角函数[见A本P80]

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是(　C　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2. 如图28－1－12，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(　B　)

图28－1－12

A. B.

C. D.

3．如图28－1－13是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为(　C　)

A．30 cm B．20 cm

C．10 cm D．5 cm

【解析】 BC＝AC·tan∠BAC＝30×＝10(cm)．

图28－1－13

图28－1－14

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则AC∶BC∶AB＝(　A　)

A．3∶4∶5 B．5∶3∶4

C．4∶3∶5 D．3∶5∶4

【解析】 由cosB＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，

则AC＝＝＝3x，

∴AC∶BC∶AB＝3x∶4x∶5x＝3∶4∶5，故选A.

5．如图28－1－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　A 　)

A．4 B．2

C. D.

【解析】 ∵cosB＝，∴＝.∵AB＝6，∴BC＝×6＝4，故选A.

6．如图28－1－15，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于(　C　)

图28－1－15

A. B. C. D.

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sinB＝____，cosB＝____，sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____，tanB＝____．

【解析】 AB＝＝＝10.

sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，

sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，

tanA＝＝＝，tanB＝＝＝.

8. [2013·杭州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__②③④__．(只需填上正确结论的序号)

9. [2013·安顺]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则Rt△ABC的面积为__24__．

10．(1)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sinA，cosA，tanA.

(2)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sinA，cosB，tanA.

解：(1)由勾股定理，知AC＝＝＝，

∴sinA＝＝，tanA＝＝＝，

cosA＝＝.

(2)设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k.

∵BC²＋CA²＝25k²＋144k²＝169k²＝AB²，

∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，

∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝.

11．(1)若∠A为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA.

(2)已知如图28－1－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值．

图28－1－16

解：(1)设在△ABC中，∠C＝90°，∠A为已知锐角，∵sinA＝＝，设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝＝4k，

∴cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.

(2)∵∠C＝90°，tanA＝＝，

∴设BC＝x，AC＝2x，

∴AB＝＝x，

∴sinB＝＝＝，

cosB＝＝＝.

12．如图28－1－17，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是(　C　)

A. B. C. D.

图28－1－17

图28－1－18

13．如图28－1－18，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点(不与点A，B重合)，则cosC的值为____．

【解析】 连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，

可得AD为⊙O直径，故∠ABD＝90°.

∵⊙O的半径为5，弦AB＝6，

∴BD＝＝＝8.∵∠D＝∠C，

∴cosC＝cosD＝＝＝.

14．如图28－1－19，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．

图28－1－19

解： ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BDC＝∠ACB＝90°，

∴∠B＋∠BCD＝90°，

∠B＋∠A＝90°，

∴∠BCD＝∠A.

∵AB＝10，AC＝8，

∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝.

15．已知α为锐角，且tanα＝2，求的值．

【解析】 根据锐角三角函数的定义，结合图形设参数即可求出各边的比，从而得出sinα、cosα的值进行计算．

解：如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，

设AC＝k，BC＝2k，则∠A＝α.

∵AB＝＝

＝k，

∴sinα＝＝，cosα＝＝，

∴＝＝.

16．如图28－1－20，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：

(1)cot30°＝________；

(2)如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．

图28－1－20

解：(1)

(2)∵tanA＝＝，∴cotA＝＝.

第3课时　特殊角三角函数值　[见B本P80]

1. 3tan30°的值等于(　A　)

A. B．3

C. D.

2. 计算6tan45°－2cos60°的结果是(　D　)

A．4 B．4

C．5 D．5

3．如图28－1－21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　)

A. B.

C. D．1

【解析】 ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，

∴sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝.

图28－1－21

图28－1－22

4．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是(　C　)

A．△ABC是直角三角形

B．△ABC是等腰三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是锐角三角形

【解析】 ∵sinA＝cosB＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．

5．如图28－1－22，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m，则该树高为(　A　)

A．8 m B．12 m

C．12 m D. 12 m

【解析】 树高为24×tan30°＝24×＝8(m)．

6．(1)cos30°的值是____．

(2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝__－__(结果保留根号)．

【解析】 原式＝×－＝－.

(3)cos²45°＋tan30°·sin60°＝__1__．

【解析】 cos²45°＋tan30°·sin60°＝＋×＝ ＋＝1.

7．根据下列条件，求出锐角A的度数．

(1)sinA＝，则∠A＝__60°__；

(2)cosA＝，则∠A＝__60°__；

(3)cosA＝，则∠A＝__45°__；

(4)cosA＝，则∠A＝__30°__．

8．如图28－1－23是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB，CD＝3 m，∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长．

图28－1－23

解：在Rt△ACD中sin∠CAD＝，

则AC＝＝＝2(m)．

答：拉线AC的长是2 m.

9．式子2cos30°－tan45°－的值是(　B　)

A. 2－2 B．0

C．2 D．2

10．在△ABC中，若＋(cosB－)²＝0，则∠C的度数是(　D　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

【解析】 ＋(cosB－)²＝0

∴sinA＝，cosB＝，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，

则∠C＝180°－30°－60°＝90°

故选D.

11．如图28－1－24，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，在D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB为__30__m(结果保留根号)．

图28－1－24

【解析】 因为∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠ACB＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝60 m，所以AB＝AD·sin∠ADB＝60×＝30(m)．

12．计算：

(1)＋2sin60°tan60°－＋tan45°；

(2)－sin60°(1－sin30°)；

(3)sin²60°tan45°－＋(tan30°)⁰.

(4)(－1)^{2 011}－＋＋.

解：(1)原式＝1＋2××－＋1＝5－；

(2)原式＝－×

＝－＝；

(3)原式＝×1－＋1

＝－3＋1＝－1；

(4)原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.

13．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)⁰＋tanα＋的值．

【解析】 由sin60°＝，从而可求出α.

解：由sin(α＋15°)＝得α＋15°＝60°，

即α＝45°，

原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.

14．如图28－1－25，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．

图28－1－25

解：∵AD⊥BC于点D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.

在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，

∴DC＝AD＝4，

∴BC＝BD＋DC＝4＋4.

15．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

sin30°＝，cos30°＝，则sin²30°＋cos²30°＝__1__；①

sin45°＝，cos45°＝，则sin²45°＋cos²45°＝__1__；②

sin60°＝，cos60°＝，则sin²60°＋cos²60°＝__1__；③

…

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A＋cos²A＝__1__．④

(1)如图28－1－26，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

图28－1－26

(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA.

解：(1)如图，过点B作BH⊥AC于点H，BH²＋AH²＝AB²

则sin A＝，cosA＝

所以sin²A＋cos²A＝＋＝＝1.

(2)∵sin²A＋cos²A＝1，sinA＝，

∴cos²A＝1－()²＝

∵cosA>0，∴cosA＝.

第4课时　利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数　[见A本P82]

1．利用计算器求sin30°时，依次按键： ，则计算器上显示的结果是(　A　)

A．0.5　　B．0.707　　C．0.866　 D．1

【解析】 因为sin30°＝，故选A.

2．下列计算不正确的是(　D　)

A．sinα＝0.327 5，则α≈19°7′2″

B．sinβ＝0.054 7，则β≈3°8′8″

C．tanγ＝5，则γ≈78°41′24″

D．sinA＝0.726，则A≈46°36′8″

3．如图28－1－27，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于(　C　)

A．asin40° 米 B．acos40° 米

C．atan40° 米 D. 米

图28－1－27

图28－1－28

4．如图28－1－28，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为(　D　)

A．24米 B．20米 C．16米 D．12米

5．用计算器计算(保留4个有效数字)：

(1)sin35°≈__0.573__6__；

(2)cos63°17′≈__0.449__6__；

(3)tan27.35°≈__0.517__2__；

(4)sin39°57′6″≈__0.642__1__．

【解析】 (1)用计算器计算得sin35°≈0.573 576 436≈0.573 6；

(2)按键顺序： ，

结果：cos63°17′≈0.449 6；

(3)按键顺序： ，

结果：tan27.35°≈0.517 2；

(4)按键顺序： ，

结果：sin39°57′6″≈0.642 1.

6．若cosα＝0.501 8，则锐角α≈__59.88°__；若tanA＝0.375，则锐角A≈__20.56°__．

7．如图28－1－29，某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A＝35°，滑梯的高度BC＝2米，滑板AB的长约为__3.5__米(精确到0.1米)．

图28－1－29

【解析】 ∵sinA＝，∴AB＝＝≈3.5(米)．

8．比较大小：8cos31°__>__.(填“＞ ”“＝”或“＜”)

9．利用计算器求下列各角(精确到1′)．

(1)sinA＝0.75，求A；(2)cosB＝0.888 9，求B；

(3)tanC＝45.43，求C；(4)tanD＝0.974 2，求D.

解：(1)∵sinA＝0.75，∴∠A≈48°35′；

(2)∵cosB＝0.888 9，∴∠B≈27°16′；

(3)∵tanC＝45.43，∴∠C≈88°44′；

(4)∵tanD＝0.974 2，∴∠D≈44°15′.

10．如图28－1－30，小明以3米/秒的速度 从山脚A点爬到山顶B点，已知B点到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？(结果精确到0.1秒，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)

图28－1－30

解：∵sinA＝，

∴AB＝＝≈≈51.06(米)，

∴所需时间t≈51.06÷3≈17.0(秒)．

答：小明从山脚爬上山顶大约需要17.0秒．

11．如图28－1－31，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则(　C　)

A．点B到AO的距离为sin54°

B．点B到AO的距离为tan36°

C．点A到OC的距离为sin36°sin54°

D．点A到OC的距离为cos36°sin54°

图28－1－31

　图28－1－32

12．如图28－1－32，沿AC方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝127°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝37°，测得BD＝520 m，并且AC，BD和DE在同一平面内．

(1)施工点E离点D多远正好能使A，C，E成一条直线(结果保留整数)?

(2)在(1)的条件下，若BC＝80 m，求公路CE段的长(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．

解：(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE＝37°，

∴∠DEB＝127°－37°＝90°.

在Rt△BDE中，cosD＝，

∴DE＝BD·cosD＝520×cos37°≈520×0.80＝416(m)，即施工点E离点D416 m正好能使A，C，E成一条直线．

(2)在(1)的条件下可得BE＝BD·sinD＝520×sin37°≈520×0.60＝312(m)，

∴CE＝BE－BC≈312－80＝232(m)．

13．如图(1)，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°.

(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米)；

(2)电梯每级 的水平级宽均是0.25米，如图(2)，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)？(备用数据：sin32°≈0.529 9，cos32°≈0.848 0，tan32°≈0.624 9)

(1)　　　　　　　 　　　(2)

图28－1－33

【解析】 (1)在直角三角形ABC中利用∠BAC的正弦值和AB的长求得BC的长即可；

(2)首先根据题意求得级高，然后根据10秒钟上升的级数求小明上升的高度即可．

解：(1)在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，

∴BC＝AB·sin∠BAC≈16.50×0.529 9≈8.74(米)．

(2)∵tan32°＝，

∴级高＝级宽×tan32°≈0.25×0.624 9＝0.156 225(米)．

∵10秒钟电梯上升了2×10＝20(级)，

∴小明上升的高度为0.156 225×20≈3.12(米)．

14．已知：如图28－1－34，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.

求：(1)AB边上的 高(精确到0.01)；

(2)∠B的度数(精确到1′)．

　

图28－1－34

第14题答图

解：(1)如图，过点C作AB边上的高CH，垂足为H，

∵在Rt△ACH中，sinA＝，

∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.

(2)∵在Rt△ACH中，cosA＝，

∴AH＝AC·cosA＝9cos48°，

∴在Rt△BCH中，

tanB＝＝＝≈3.382，

∴∠B≈73°32′.

15．如图28－1－35，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上。已知部分伞架的长度如下(单位： cm)：

伞架	DE	DF	AE	AF	AB	AC
长度	36	36	36	36	86	86

(1)求AM的长；

(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1 cm)．

(备用数据：sin52°＝0.7880，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799)

图28－1－35

解：(1)当伞收紧时，动点D与点M重合，∴AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．

(2)AD＝2×36×cos52°＝2×36× 0.6157≈44(cm)．