【331953】九年级数学下册 28.2.2 应用举例同步测试 （新版）新人教版

应用举例

第1课时　仰角、俯角与圆弧问题　[见B本P84]

1．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(　D　)

A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁

【解析】 设风筝的线长、风筝高分别为l，h，线与地面的夹角为α，所以h＝lsinα，代入计算，比较大小．

2．如图28－2－9，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体AB的高度为(　A　)

A．10米 B．10米

C．20米 D.米

图28－2－9

3．如图28－2－10，在两建筑物正 中间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底G点为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(　A　)

A．20米 B．10米

C．15米 D．5米

图28－2－10

4．如图28－2－11，⊙O的半径为4 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，则AP＝__4__cm__．

图28－2－11

5．如图28－2－12，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝__7＋21__米( 结果可保留根号)．

图28－2－12

6．如图28－2－13，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B，D之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．

图28－2－13

解：∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.

又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50.

∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.

又∵tan∠ABC＝，∴BC＝≈185.2，

∴BD＝BC－CD≈185.2－50≈135(米)．

答 ：码头B，D之间的距离约为135米．

图28－2－14

7. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离(结果保留根号)

解：由题意得，∠ECA＝45°，∠FCB＝60°，

∵EF∥AB，

∴∠CAD＝∠ECA＝45°，∠CBD＝∠FCB＝60°，

∵∠ADC＝∠CDB＝90°，

在Rt△CDB中，tan∠CBD＝，

∴BD＝＝17米，

∵AD＝CD＝51米，

∴AB＝AD＋BD＝51＋17.

答：A，B之间的距离为(51＋17)米．

8．如图28－2－15，甲楼AB的高度 为123 m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度(结果精确到0.1 m，取1.73)．

图2 8－2－15

第8题答图

解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°.

在Rt△ADE中，DE＝AB＝123，∠DAE＝30°，

∴AE＝DE＝123.

在Rt△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝123，

∴CD＝CE＋DE＝123(＋1)≈335.8(m)．

答：乙楼CD的高度为335.8 m.

图28－2－16

9. 如图28－2－16，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高。(精确到0.1米，≈1.732)

解：∵ 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°。

∴ ∠DBC ＝ 60°，∠EBC＝ 30°

∴ ∠DBE ＝ ∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝ 30°

又∵ ∠BCD＝90°

∴ ∠BDC ＝ 90°－∠DB C ＝ 90°－60°＝ 30°

即 ∠BDE ＝ 30°

∴ ∠BDE ＝∠DBE，BE＝DE.

设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝＝＝x

DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x

又∵ 在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2

∴ △ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2

∴ x＝3x－73.2，即1.732x＝3x－73.2，2.268x＝73.2，x≈32.3(米)

故塔高约为64.6米．

10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28－2－17)：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)；

(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

图28－2－17

解：(1)由题意得：在Rt△ADC中，

AD＝＝＝21≈36.33.

在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11，

所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．

(2)校车从A到B用时2秒，

所以该车速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)．

因为12.1×3 600＝43 560，

所以该车速度约为43.56千米/时，大于40千米/时，

所以此校车在AB路段超速．

图28－2－18

11. 如图28－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.

(1)求证：BD＝BF；

(2)若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．

解：(1)证明：连接OE.∵AC与⊙O相切于点E，

∴OE⊥AC.∴∠OEA＝90°.

∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC.∴∠OED＝∠F.

∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF.

(2)设BC＝3x，则AB＝5x，又CF＝1，

∴BF＝3x＋1，

由(1)知BD＝BF，∴BD＝3x＋1，∴OE＝，AO＝5x－＝.

∵OE∥BF.∴∠AOE＝∠B，∴＝，

即＝，解之，得：x＝.

∴⊙O的半径为＝.

第2课时　方位角与坡度问题　[见A本P86]

1．如图28－2－19，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为(　A　)

A.　 B. 　C. 　D．h·sinα

【解析】 ∵sinα＝，∴l＝.

图28－2－19

图28－2－20

2.河堤横断面如图28－2－20所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(　A　)．

A．12米　　　　　　 B．4米

C．5米 D．6米

图28－2－21

3.如图28－2－21是某水库大坝横断面示意图．其中AB，CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是 50 m，则水库大坝的高度h是(　A　)

A. 25 m B．25 m

C. 25 m D. m

4．如图28－2－22，小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为__200__米．

【解析】 过P作PD⊥AB于D，在Rt△APD中，

PD＝AD·tan30°，在Rt△BPD中，

PD＝BD·tan60°，

∴(400＋BD)×＝BD×，

∴BD＝200米，

∴PD＝BD＝200米．

图28－2－22

5．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为__75°__．§xx§

【解析】 设两个坡角分别为α、β，坝内斜坡的坡度i＝1∶，即tanα＝＝，α＝30°；坝外斜坡的坡度i＝1∶1，即tanβ＝＝1，β＝45°，α＋β＝30°＋45°＝75°.

图28－2－23

6．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28－2－23位置时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.

解：连结AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝，

∴AE＝＝2

又∵tan∠EAB＝＝，

∴∠EAB＝30°

在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，

∴EF＝AE· sin∠EAF＝2×sin60°＝2×＝3

答：木箱端点E距地面AC的高度是3 m.

图28－2－24

7．某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图28－2－24)．救生员甲 在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD＝40米，B处在C处的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，那么谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)．

【解析】 在直角△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙到达B处所 需的时间，比较二者之间的大小即可．

解 ：由题意得 ∠BCD＝55°，∠BDC＝90°，

∵tan∠BCD＝，

∴BD＝CD·tan∠ BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．

∵cos∠BCD＝，

∴BC＝＝≈70.2(米)．

∴t_甲＝＋10＝38.6(秒)，t_乙＝＝35.1(秒)．

∴t_甲>t_乙．

答：乙先到达B处．

8．如图28－2－25，学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比改为1∶3(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.

图28－2－25

【解析】 在Rt△ABC中，利用三角函数即可 求得BC，AC的长，然后在Rt△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解．

解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝6，BC＝AB·cos∠ABC＝12×＝6.

∵斜坡BD的坡比是1∶3，

∴CD＝BC＝2，∴AD＝AC－CD＝6－2.

答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－2)米．

9．如图28－2－26，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)

图28－2－26

【解析】 作BF⊥AD于点F，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在Rt△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长，进而即可求得AD的长．

解：如图所示，过点B作BF⊥AD于点F，可得矩形BCEF，

∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.

在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4，

由勾股定理可得AF＝＝＝3.

又∵在Rt△CED中，i＝＝，

∴ED＝2CE＝2×4＝8.

∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．

图28－2－27

10．如图28－2－27，C岛位于我国南海A港口北偏东60°方向，距A港口60海里处．我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？

解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝ 45°，∴CD＝AC·sin∠CAD＝60×＝30，∴BC＝＝60，∴t＝60÷60＝1(h)

答：从B处到达C岛需要1小时．

图28－2－28

11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理。如图28－2－28，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．(结果保留根号)

解：作BD⊥AC于点D，

由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝ 30°，

在Rt△ABD中，

BD＝AB·sin∠BA D＝20×＝10(海里)，

在Rt△BCD中，BC＝＝＝

20(海里)．

答：此时船C与船B的距离是20海里．

12．如图28－2－29，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加 固后背水坡EF的坡比i＝1∶.

①求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号)

②求完成这项工程需要土石多少立方米？(≈1.732)

图28－2－29

解：①过E作EM⊥BF于M，过D作DN⊥BF于N，则MN＝ DE＝2米，EM＝DN＝10米，

在Rt△AND中AN＝＝10米

∵i＝＝，∴FM＝10米

∴AF＝FM＋MN—AN＝(10—8)米

②∵S_梯形ADEF＝＝(50—30)米²

∴完成这项工程需要土石为(50—30)×600≈

33 960米³.