【331952】九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形同步测试 （新版）新人教版

解直角三角形

1．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a²＋b²＝c²，那么下列结论正确的是(　A　)

A．csinA＝a　　　　　　 B．b cosB＝c

C．ata nA＝b D．ctanB＝b

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，c＝2，则b的值等于(　D　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】 ∵tanA＝＝，∴a＝，又∵a²＋b²＝c²，∴＋b²＝4，∴＝4，∴b＝.

3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　B　)

A．m·sinα米 B．m·tanα米

C．m·cosα米 D.米

图28－2－ 1

图28－2－2

4．如图28－2－2，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是(　A　)

A. B．1 2 C．14 D．21

5．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD为BC边上的高．则下列结论中，正确的是(　B　)

A．AD＝AB B．AD＝AB

C．AD＝BD D．AD＝BD

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2，则∠B＝__30°__．

【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tanB＝＝＝，得∠B＝30°.

7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，则a＝__12__，b＝__4__．

【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sinA＝，得a＝sinA·c＝×8＝12.由∠A＝60°，得∠B＝30°，所以b＝c＝4 .

8．等腰三角形底边长为2，底边上的高为3，则底角为__60°__．

【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角．

9．在△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形．

(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；

(2)已知a＝，c＝，求b；

(3)已知c＝28，∠B＝30°，求a；

(4)已知a＝2，cosB＝，求b.

解：(1)∵tanA＝，

∴a＝b·tan A＝4·tan60°＝4×＝4；

(2)∵a²＋b²＝c²，

∴b＝＝＝；

(3)∵cosB＝，

∴a＝c·cosB＝28×＝14；

(4)∵cosB＝，∴c＝＝＝6.

又∵b²＝c²－a²，

∴b＝＝＝4.

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)已知a＝4，b＝8，求c.

(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c.

(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.

解：(1)c＝＝＝4；

(2)a＝＝＝＝，c＝＝＝＝；

(3)a＝c×sinA＝20×＝10，b＝c×cosA＝20×＝10.

11．根据下列条件，解直角三角形：

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝.

解：(1)∠A＝90°－∠B＝30°，c＝＝16，b＝a·tanB＝8；

(2)∠B＝90°－∠A＝45°，a＝b·tanA＝，c＝＝2.

图28－2－3

12．如图28－2－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝

2，解这个直角三角形．

解：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝2，

∴sinB＝＝，

∴∠B＝30°，

∴∠A＝60°.

BC＝＝＝.

13．如图28－2－4，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝(　A 　)

图28－2－4

A. B. C. D.

14．如图28－2－5，已知在Rt△ ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长(结果保留根号)．

解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B ＝ 60°.

在Rt△ABC中，∵cosB ＝，sinB ＝，

∴BC ＝ ＝＝4，

∴AC ＝BC·sinB ＝4×sin60°＝2，

∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝6 ＋2.

图28－2－5

图28－2－6

15．如图28－2－6，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．

解：在Rt △BDC中，因为sin∠BDC＝，

所以BC＝BD×sin∠BDC＝10×sin45°＝10×＝10.

在Rt△ABC中，因为sinA＝＝ ＝，所以∠A＝30°.

16．如图28－2－7，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．

图28－2－7

第16题答图

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°.

∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.

∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝AC＝，

∴BD＝CD＝.由勾股定理得：AD＝＝3，

∴AB＝AD＋BD＝3＋.

17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．

图28－2－8

解：

如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.

根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝

0．3米．

∵在菱形ABCD中，AB＝AD，

∴△BAD是等边三角形，

∴BD＝AB＝0.3米，

∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；

校门打开时，取其中一个菱 形A₁B₁C₁D₁.

根据题意，得∠B₁A₁D₁＝10°，A₁B₁＝

0．3米．

∵在菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

∠B₁A₁O₁＝5°，

∴在Rt△A₁B₁O₁中，

B₁O₁＝sin∠B₁A₁O₁·A₁B₁＝sin5°×0.3＝

0．02616(米)，

∴B₁D₁＝2B₁O₁＝0.05232米，

∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；

∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．

故校门打开了5米．