【327908】2024年甘肃省兰州市中考数学试题

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200660-2024年甘肃省兰州市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1． 的绝对值是（      ）

A． B． C． D．

2．已知 ，则 的补角是（      ）

A．100°　　　　B．80°　　　　C．40°　　　　D．10°

3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．计算： （      ）

A．a　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．一次函数 的图象不经过（      ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．如图，小明在地图上量得 ，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（      ）

A．同位角相等，两直线平行　　　　B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行　　　　D．对顶角相等

7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一点C，然后步测出 的中点D，E，并步测出 的长约为 ，由此估测A，B之间的距离约为（      ）

A． B． C． D．

8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

11．如图，在 中， ， ， ，则 （      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

12．如图1，在菱形 中， ，连接 ，点M从B出发沿 方向以 的速度运动至D，同时点N从B出发沿 方向以 的速度运动至C，设运动时间为 ， 的面积为 ， 与x的函数图象如图2所示，则菱形 的边长为（      ）

  

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

13．因式分解       ．

14．如图，四边形 为正方形， 为等边三角形， 于点F，若 ，则       ．

15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中 ， 的半径分别是1cm和10cm，当 顺时针转动3周时， 上的点P随之旋转 ，则         ．

16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：

①甲的成绩更稳定；

②乙的平均成绩更高；

③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是      ．（填序号）

三、解答题

17．计算： ．

18．解不等式组： ＞＜

19．先化简，再求值： ，其中 ．

20．如图，反比例函数 ＞ 与一次函数 的图象交于点 ，点B是反比例函数图象上一点， 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 ．

(1)求反比例函数 与一次函数 的表达式；

(2)当 时，求 的面积．

21．如图，在 中， ， 是 的中点， ， ， ．

(1)求证：四边形 是矩形；

(2)若 ，求 的长．

22．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平距离 的几组关系数据如下：

水平距离	0	3	4	10	15	20	22	27
竖直高度	0	3.24	4.16	8	9	8	7.04	3.24

(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；

(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．

23．观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：

①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接 ；

②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；

③连接 并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在 延长线上的落点记为点D；

④用另一根足够长的木条画线，连接 ， ，则画出的 是直角．

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图 ， ，请画出以点A为顶点的直角，记作 ；

推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明： ，

与 是等腰三角形．

．（依据1      ）

．

，（依据2      ）

，

．

依据1：      ；依据2：      ；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 ，使得直角边 （或 ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）

24．为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好： ；合格： ；待提高： ）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．

信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．

信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．

分组
人数	m	7	2	7

信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：       ；

(2)下列结论正确的是      ；（填序号）

①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的 ；

②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；

③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；

(3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．

25．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．

实验主题	探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具	摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明	如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处， ， ，BD ；当摆球运动至点C时， °， ．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示

解决问题：根据以上信息，求 的长．（结果精确到 ）

参考数据： ， ．

26．如图， 内接于 ， 为 的直径，点D为 上一点， ，延长 至E，使得 ．

(1)求证： 是 的切线；

(2)若 ，求 的长．

27．综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在 中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．

【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 ︒ 得到 ，连接 ，则 ，请思考并证明：

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中， ， ︒ ， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连接 ， ，请直接写出 的最小值．

28．在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，

例如：如图 ， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．

(1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，      是图形 的“延长2分点”；

(2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，求b的最小值：

(3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．

参考答案

一、单选题

1. A

解： 的绝对值是 ，故此题答案为A．

2. A

解：∵ ，∴ 补角为180°﹣80°＝100°．

故此题答案为A．

3. C

解：数据87790000000用科学记数法表示为 ．故此题答案为C.

4. D

解：         .

故此题答案为D．

5. B

解：∵ ，

∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；

故此题答案为B．

6. B

解：∵ ，∴福大街与平安大街互相平行，

判断的依据是内错角相等，两直线平行，故此题答案为B．

7. C

解：∵点D，E，分别为 的中点，

∴ 为 的中位线，

∴ ；

故此题答案为C．

8. D

解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，

∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是 ，

故此题答案为D．

9. D

解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，

∴ ，解得 ，

故此题答案为 ．

10. A

解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，

；

故此题答案为A．

11. B

解：∵ ， ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ．

故此题答案为B.

12. C

解：根据题意知 ， ，

∵四边形 为菱形， ，∴ ，

过点M作 于点H，连接 交 于点O，如图，

  

则 ，

的面积为 ，

设菱形 的边长为a，∴ ，

∴点M和点N同时到达点D和点C，此时 的面积达到最大值为 ，

∴ ，解得 （负值舍去），∴ ．

故此题答案为C．

二、填空题

13.

解： （x﹣1）²．

14. 2

解：∵四边形 为正方形， 为等边三角形， ， ，

∴ ，

∴ ，∴ ．

15. 108

解：根据题意得，点P移动的距离为 ，

∴ ，解得， ．

16. ①②

解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．

故答案为①②．

三、解答题

17.

解：原式 ．

18. ＜＜

解： ＞①＜②

由①，得， ＞ ；

由②，得， ＜ ；

∴不等式组的解集为 ＜＜ ．

19. ，

解：原式         ，

当 时，原式 ．

20. (1) ， ； (2)

（1）解：∵反比例函数 ＞ 与一次函数 的图象交于点 ，

∴ ， ，∴ ， ，

∴反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ．

（2）∵ ，∴ ，

∵ 轴于点C，交一次函数的图象于点D，

∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．

∴ ， ，∴ ， ，∴

过点B作 轴交一次函数 的图象交于点E，过点A作 与点F，

∴ ，点E的纵坐标为 ，∴ ，

把 代入 ，得 ，∴ ，∴点 ，∴ ，

∴             .

21. (1)证明见解析；(2)

（1）证明：∵ ， D是BC的中点，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，∴四边形 是矩形．

（2）由（1）可知四边形 是矩形．∴ ， ， ，

∵D是 的中点， ，∴ ，

在 中， ，∴ ，

∵ ，∴ 即 ，∴ ．

22. (1)抛物线的表达式 ； (2)水火箭距离地面的竖直高度 米

（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式 ，

由表格得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ，

则抛物线的表达式 ；

（2）解：由题意知 ，则 ，

那么，水火箭距离地面的竖直高度 米．

23. （1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解

解：[操作体验] （1）

[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；

故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；

[拓展探究]（3）

24. (1)4；(2)①③；(3)18

（1）解： ．

（2）①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：

体育成绩低于80分的人数有8人，

∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的 ，故①正确．

②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，

∴中位数位于 之间，

即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．

③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确，

故有①③正确．

（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人．

故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有 人．

25. 的长为8.2cm

解：∵ ， ， ，∴ ，

，∴ ，

∵ ， ，∴ ，

∴ ；∴ 的长为 .2cm ；

26. (1)见解析；(2)

（1）解：连接 ，则 ，

∴ ，

∵ 为 的直径，∴ ，∴ °，

∵ ， ，∴Rt△ADB≌Rt△ACB ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，即 ，∴ ，

∵ 是 的半径，∴ 是 的切线；

（2）∵ ，∴ ，

由（1）知 ，∴tan∠ABD CBA= ，

由（1）知 ，

又∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ， ，

∴ ，即 ，

解得 （舍去）或 ，∴ .

27. （1）见详解，（2）四边形 为平行四边形， （）

（1）证明∵ 为等边三角形，∴ ︒ ，

∵ 绕点M逆时针旋转 ︒ 得到 ，∴ ︒ ，∴ ︒ ，

∵ ， ︒ ，∴ ≌ ，∴ ；

（2）解：四边形 为平行四边形，理由如下，

∵ ， ︒ ，∴ ︒ ，

∵ 绕点M逆时针旋转 ︒ 得到 ，

∴ ︒ ， ︒ ，∴ ︒ ，则 ，在 和 中，

，∴ ≌ ，∴ ，

∵ ，∴ ︒ ，

∵ ︒ ，∴ ，∴ ，

则四边形 为平行四边形；

（3）解：如图，过点A作 ︒ ，使 ，连接 ， ， ，延长 ，过点G作 于点O，

∵ ， ︒ ，∴ ︒ ，∴ ︒ ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ≌ ，∴ ，，

∴ ，

∴当点G，M，C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，

∵ ︒ ，∴ ，∴ ︒ ，

∴ ︒︒ ，∴ ︒ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，

在 中， ，∴ 的最小值为 ．

28. (1) ；(2) ；(3) 或

（1）解：作线段 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，

∵ ， ，∴ ， ，

∵点 是图形 的“延长2分点”，∴点 在线段 上，

∵ 在线段 上，∴ 是图形 的“延长2分点”；

（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，如图，

∵ ， ，∴ ， ，

∵直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，

∴直线 与 有交点，∴当 过点 时， 值最小，

把 ，代入 ，得 ，∴ 的最小值为 ；

（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，

∵ ， ， ，∴ ， ， ，

∵等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”，

∴当 与 有交点时，满足题意，

当 与 相切时，如图，则 或 ，

∴ 时，满足题意；

当 与 相切时，且切点为 ，连接 ，则 ︒ ，

∵ 为等腰直角三角形，∴ 为等腰直角三角形，

∵ ， ， ，∴ 轴，∴ ︒ ，

∵以 为圆心，半径为1的 ，∴ 点在直线 上， ，

∴ ︒ ，∴ ，∴ 或 ，

∴ .

综上， 或 ．