【327878】2023年四川省达州市中考数学真题

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2023年四川省达州市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的倒数是(       )
A．
B．2023
C．
D．

2.下列图形中，是长方体表面展开图的是（       ）
A．    
B．    
C．    
D．    

3.某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（       ）
A．
B．
C．
D．

4.一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（       ）
A．3和5
B．2和5
C．2和3
D．3和2

5.如图， ， 平分 ， 则 （       ）
   
A．
B．
C．
D．

6.下列计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

7.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

8.下列命题中，是真命题的是（       ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形

9.如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线 是由多段 的圆心角的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 的圆心依次为 循环，则 的长是（       ）
   
A．
B．
C．
D．

10.如图，拋物线 （ 为常数）关于直线 对称．下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（       ）
   
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

11.函数 的自变量x的取值范围是________．

12.已知 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为___________．

13.如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器板面上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点， 之间的距离为______．

14.如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点，以 为边作等边三角形 ，若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为_____________．
   

15.在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的最小值为___________．

16.（1）计算： ；
（2）先化简，再求值； ，其中 为满足 的整数．

17.在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达 ，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
   
(1)该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中， ___________， ___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．

18.如图，网格中每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在小正方形的格点上．
   
(1)将 向下平移3个单位长度得到 ，画出 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转90度得到 ，画出 ；
(3)在（2）的运动过程中请计算出 扫过的面积．

19.莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为 ，当摆角 恰为 时，座板离地面的高度 为 ，当摆动至最高位置时，摆角 为 ，求座板距地面的最大高度为多少 ？（结果精确到 ；参考数据： ， ， ， ， ， ）
   

20.如图，在 中， ．
       
(1)尺规作图：作 的角平分线交 于点 （不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，求 的面积．

21.如图， 内接于 是 延长线上的一点， ， 相交于点 ．
   
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．

22.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过 元购进豆笋、豆干共 件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？

23.(背景)在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻 之间关系为 ，通过实验得出如下数据：

   
(1) _______， _______；
(2)(探究)根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象；
   
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是_________．
(3)(拓展)结合（2）中函数图象分析，当 时， 的解集为________．

24.如图，抛物线 过点 ．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

25.（1）如图①，在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 落在 上 处，若 ，求 的值；
   
（2）如图②，在矩形 的 边上取一点 ，将四边形 沿 翻折，使点 落在 的延长线上 处，若 ，求 的值；
（3）如图③，在 中， ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，且满足 ，直接写出 的值．

参考答案

1.C

【解析】
根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
解： 的倒数是 ，
故选：C．

2.C

【解析】
根据长方体有六个面，以及 字型进行判断即可．
解：A中展开图有7个面，不符合要求；
B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；
C正确，故符合要求；
D中展开图有5个面，不符合要求，
故选：C．

3.B

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：2502.7亿元 元

故选：B．

4.C

【解析】
根据众数和中位数的概念求解．
解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．

5.B

【解析】
根据平行线的性质得出 ，再由角平分线确定 ，利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．

6.D

【解析】
分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法运算法则逐项判断即可作出选择．
解：A、a与 不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故本选项计算正确，符合题意．
故选：D．

7.A

【解析】
设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为 元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为 元/件，根据题意得：
，故A正确．
故选：A．

8.C

【解析】
根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设 ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．

9.A

【解析】
曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，得到 ， ，得出半径，再计算弧长即可．
解：由图可知，曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，
， ， ， ，
， ， ， ，
，
， ，
故 的半径为 ，
的弧长 ．
故选A

10.B

【解析】
由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为 ，得到 ，即可判断②；可知 时和 时的y值相等可判断③正确；由图知 时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为 可得 ，因此 ，根据图像可判断⑤正确．
①∵抛物线的开口向上，

∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，

由 得， ，
，
故①正确；
② 抛物线的对称轴为 ，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为 ，可知 时和 时的y值相等．
由图知 时， ，
∴ 时， ．
即 ．
故③错误；
④由图知 时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为 可得 ，
，
∴ ，
当 时， ．
由图知 时

故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．

11.

【解析】
一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：解：根据题意得到：x-1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．

12.7

【解析】
根据根与系数的关系求出 与 的值，然后整体代入求值即可．
∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴解得 ．
故答案为：7．

13.

【解析】
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为 ，由此即可求解．
解：弦 ，点 是靠近点 的黄金分割点，设 ，则 ，
∴ ，解方程得， ，
点 是靠近点 的黄金分割点，设 ，则 ，
∴ ，解方程得， ，
∴ 之间的距离为 ，
故答案为： ．

14.

【解析】
过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ，首先联立 求出 ， ，然后利用勾股定理求出 ， ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质得到 ， ，最后将 代入 求解即可．
如图所示，过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ，
   
∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点，
∴联立 ，即 ，
∴解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ， ，
∴点C的坐标为 ，
∴将 代入 得， ．
故答案为： ．

15.

【解析】
如图，作 的外接圆，圆心为 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，过 作 ，交 的垂直平分线于 ，连接 、 、 ，以 为圆心， 为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得 ，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得 ，从而易证 可得 即 勾股定理即可求得 在 中由三角形三边关系 即可求解．
解：如图，作 的外接圆，圆心为 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，过 作 ，交 的垂直平分线于 ，连接 、 、 ，以 为圆心， 为半径作圆；
， 为 的外接圆的圆心，
， ，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
即 ，
由作图可知 ， 在 的垂直平分线上，
，
，
又 为 的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
在 中，
，
在 中，
，
即 最小值为 ，
故答案为： ．
   

16.（1） （2） ，

【解析】
（1）先将二次根式及绝对值、零次幂、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可．
解：（1）


；
（2）




∵ 为满足 的整数且 ，
∴ ，
∴取 ，原式 ．

17.(1) ，详见图示；
(2) ， ， ；
(3) ；

【解析】
（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘 即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）本次调查的学生总数： （人），
D、书法社团的人数为： (人)，如图所示
   
故答案为：50；
（2）由图知， ，
∴ ，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
（3）用 表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
       
共20种等可能情况，有 2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为 ．

18.(1)见解析
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）先作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，然后顺次连接即可；
（3）证明 为等腰直角三角形，求出 ， ，根据旋转过程中 扫过的面积等于 的面积加扇形 的面积即可得出答案．
（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，顺次连接，则 即为所求，如图所示：
   
（2）解：作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，顺次连接，则 即为所求，如图所示：
   
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
根据旋转可知， ，
∴ ，
∴在旋转过程中 扫过的面积为 ．
   

19.座板距地面的最大高度为 ．

【解析】
过点A作 于点D，过点A作 于点E，过点B作 于点F，利用 和 的余弦值求出 ， ，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
如图所示，过点A作 于点D，过点A作 于点E，过点B作 于点F，
   
由题意可得，四边形 和四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵秋千链子的长度为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴座板距地面的最大高度为 ．

20.(1)见解析
(2)

【解析】
（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求；
（2）过点P作 ，根据 和题中条件可求出 的面积，再结合角平分线的性质即可求解．
（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求．
（2）解：过点P作 ，如图所示，
          
由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；

21.(1)证明见解析
(2)6

【解析】
（1）由 ， 为半径，可知 ， ，则 ， ， ，如图1，连接 ，由 ，可得 ，则 ，即 ，进而结论得证；
（2）如图2，记 与 交点为 ，连接 ，过 作 于 ，证明 是等边三角形，则 ， ，设 半径为 ，则 ，由 ， ，可得 ，证明 ，则 ，即 ，解得 或 （舍去）， 根据 ，计算求解即可．
（1）解：如图，连接 ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由等边对等角可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图2，记 与 交点为 ，连接 ，过 作 于 ，
   
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
设 半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的长为6．

22.(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进 件，则豆笋购进 件；豆干购进 件，则豆笋购进 件；豆干购进 件，则豆笋购进 件
(3)购进豆干购进 件，则豆笋购进 件，获得最大利润为 元

【解析】
（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进 件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为 ，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则 ，解得 ，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进 件，
，
解得 ，
∴ 时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件，
时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件，
时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（ 且n为整数），
∵ ，
当 时，W随n的增大而减小，
∴当 时，W取最大值，为 ．
此时，购进豆干购进 件，则豆笋购进 件，获得最大利润为 元．

23.(1)2，
(2)①见解析；②函数值 逐渐减小
(3) 或

【解析】
（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
（1）解：由题意， ，
当 时，由 得 ，
当 时， ，
故答案为：2， ；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数 的图象如图：
   
②由图象可知，随着自变量 的不断增大，函数值 逐渐减小，
故答案为：函数值 逐渐减小；
（3）解：当 时， ，当 时， ，
∴函数 与函数 的图象交点坐标为 ， ，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，如图，
   
由图知，当 或 时， ，
即当 时， 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．

24.(1)
(2) 的最大面积为 ，
(3)存在， 或 或 ， ，见解析

【解析】
（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线 的解析式为 ，设点 ，过点P作 轴于点D，交 于点E，得出 ，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行若 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
（1）解：将点 代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，过点P作 轴于点D，交 于点E，如图所示：
   
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为 ，
，
∴
（3）存在， 或 或 或 ， ，证明如下：
∵ ，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为： ，
设点 ，
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
综上可得：
或 或 ， ．

25.（1） ；（2）5；（3）

【解析】
（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得 ，设 则 ， 中利用勾股定理求得 ，则 ， ，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到 ，证明 ，利用相似三角形的性质求得 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，
进而求得 ， 可求解；
（3）证明 得到 ，则 ；设 ， ，过点D作 于H，证明 得到 ，在 中，由勾股定理解得 ，进而可求得 ，在图③中，过B作 于G，证明 ，则 ， ，再证明 ，在 中利用锐角三角函数和 求得 即可求解．
解：（1）如图①，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由翻折性质得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图②，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由翻折性质得， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，则 ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ；
设 ， ，
过点D作 于H，如图③，则 ，
∴ ；
   
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
在 中， ，
在图③中，过B作 于G，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ．