【327823】2023年湖南省郴州市中考数学真题

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2023年湖南省郴州市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1. 的倒数是（　　）
A．2
B．
C．
D．

2.下列图形中，能由图形 通过平移得到的是（　　）
   
A．    
B．    
C．    
D．    

3.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

4.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）
A．    
B．    
C．    
D．    

5.下列问题适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

6.一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．    
B．    
C．    
D．    

7.小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为 km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A．
B．
C．
D．

8.第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午 开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离 与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
   
A．途中修车花了
B．修车之前的平均速度是 /
C．车修好后的平均速度是 /
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 倍

9.计算： ___．

10.在一次函数 中， 随 的增大而增大，则 的值可以是___________（任写一个符合条件的数即可）．

11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是___________．

12.抛物线 与 轴只有一个交点，则 ________．

13.为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分．

14.在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．

15.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台监视器，它的监控角度是 ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．
   

16.如图，在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长是___________cm（结果用含 的式子表示）．
   

17.计算： ．

18.先化简，再求值： ，其中 ．

19.某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
   
(1)请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
(3)若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．

20.如图，四边形 是平行四边形．
   
(1)尺规作图；作对角线 的垂直平分线 （保留作图痕迹）；
(2)若直线 分别交 ， 于 ， 两点，求证：四边形 是菱形

21.某次军事演习中，一艘船以 的速度向正东航行，在出发地 测得小岛 在它的北偏东 方向， 小时后到达 处，测得小岛 在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛 的最近距离（参考数据： ， ．结果精确到 ）．
   

22.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

23.如图，在 中， 是直径，点 是圆上一点．在 的延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
   
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．

24.在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘 （固定）中放置一个物体，在右边托盘 （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘 与点 的距离 （ ）（ ），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
   

把上表中的 与 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的 关于 的函数图象．
   
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测 与 之间的函数关系，并求 关于 的函数表达式；
②求 关于 的函数表达式；
③当 时， 随 的增大而___________（填“增大”或“减小”）， 随 的增大而___________（填“增大”或“减小”）， 的图象可以由 的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
(3)若在容器中加入的水的质量 （g）满足 ，求托盘 与点 的距离 （cm）的取值范围．

25.已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点，延长 至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ．
   
(1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，
①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积．

26.已知抛物线 与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点 是抛物线的对称轴 上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值；
(3)如图2，取线段 的中点 ，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要用1除以这个数即可．
解：∵
∴-2的倒数是
故选B．

2.B

【解析】
根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
解：观察图形可知，B中图形能由图形 通过平移得到，A，C，D均不能由图形 通过平移得到；
故选B．

3.A

【解析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．
解：A、 ，选项计算正确，符合题意；
B、 ，选项计算错误，不符合题意；
C、 选项计算错误，不符合题意；
D、 ，选项计算错误，不符合题意；
故选A．

4.D

【解析】
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A错误；
B、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B错误；
C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，D正确；
故选D．

5.D

【解析】
根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可．
解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求；
D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求；
故选：D．

6.C

【解析】
先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．
解：由 ，得： ；
由 ，得： ，
∴不等式组的解集为： ；
数轴上表示如图：
   
故选C．

7.B

【解析】
设原计划平均速度为 km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．
解：设原计划平均速度为 km/h，由题意，得：
，即： ；
故选B

8.D

【解析】
根据图象信息以及速度 路程÷时间的关系即可解决问题．
解：由图象可知途中修车花了 ，
修车之前的平均速度是 ÷ / ，
车修好后的平均速度是 ÷ / ,
∴
故A、B、C错误，D正确．
故选∶ D．

9.3

【解析】
求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x³=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得．
解： ∵3³=27，
∴ ．
故答案为3．

10.3（答案不唯一）

【解析】
根据一次函数的性质可知“当 时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
解：∵一次函数 中，y随x的值增大而增大，
∴ ．
解得： ，
故答案为：3（答案不唯一）．

11. ##0.7

【解析】
根据概率公式进行计算即可．
解：由题意，得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，
∴ ；
故答案为： ．

12.9

【解析】
根据抛物线与 轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．

13.93

【解析】
利用加权平均数的计算方法进行求解即可．
解：由题意，得： （分）；
∴该参赛队的最终成绩是93分，
故答案为：93

14.5

【解析】
先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD= AB= ×10=5．
故答案为5．

15.4

【解析】
圆周角定理求出 对应的圆心角的度数，利用 圆心角的度数即可得解．
解：∵ ，
∴ 对应的圆心角的度数为 ，
∵ ，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台；
故答案为：4

16.

【解析】
由于 旋转到 ，故C的运动路径长是 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
以A为圆心作圆弧 ，如图所示．
   
在直角 中， ，则 ，
则 ．
∴ ．
由旋转性质可知， ，又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
由旋转性质知， ．
故弧 的长度为： ；
故答案为：

17.4

【解析】
先化简各式，再进行加减运算即可．
解：原式

．

18. ，

【解析】
先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．
解：



，
当 时，原式 ．

19.(1)见解析；
(2) ；
(3)300．

【解析】
（1）根据选择 的人数是 人，所占的比例是 ，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择 的人数，即可补全统计图；
（2）利用 乘以选择 的人数所占总人数的比即可得解；
（3）利用总人数 乘以对应的百分比即可求得．
（1）解： （人）
选择 的人数： （人）
补全图形如下：
   
（2）解： ，
∴研学活动地点 所在扇形的圆心角的度数 ；
（3） （人）
答：最喜欢去 地研学的学生人数共有 人．

20.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设 与 交于点 ，证明 ，得到 ，得到四边形 为平行四边形，根据 ，即可得证．
（1）解：如图所示， 即为所求；
   
（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
如图：设 与 交于点 ，
   
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．

21.该船在航行过程中与小岛 的最近距离 ．

【解析】
过点 作 ，垂足为 ，先在 中，利用三角函数求出 与 的关系，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 与 的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
解：过点 作 ，垂足为 ，
   
解∶∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴该船在航行过程中与小岛 的最近距离 ．

22.(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人

【解析】
（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，由题意，得：
，
解得： （负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得： ；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．

23.(1)见解析；
(2) ．

【解析】
（1）连接 ，由 是直径，得 ，再证 ，从而有 ，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得 ，在 中，解直角三角形得 ，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
（1）证明：连接 ，
   
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．

24.(1)作图见解析；
(2)① ；② ；③减小，减小，下；
(3) ．

【解析】
（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设 ，把 ， 的坐标代入，得 ，再检验其余各个点是否满足即可；②根据 可能与 成反比例，设 ，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．
（3）利用反比例函数的性质即可解决问题．
（1）解∶函数图象如图所示，
   
（2）解：①观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
③由图图像可知，当 时， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小， 的图象可以由 的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
（3）解：当 时， 解得 ，
当 时， 解得 ，
∴托盘 与点 的距离 （ ）的取值范围 ．

25.(1) ，理由见解析
(2)①成立，理由见解析②

【解析】
（1）过点 作 ，交 于点 ，易得 ，证明 ，得到 ，即可得出结论．
（2）①过点 作 ，交 的延长线于点 ，易得 ，证明 ，得到 ，即可得出结论；②过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，根据已知条件推出 ，得到 ，证明 ，得到 ，求出 的长，利用四边形 的面积为 进行求解即可．
（1）解： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，
   
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①成立，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
   
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则： ，
   
由①知： 为等边三角形， ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ②，
联立①②可得： （负值已舍去），
经检验 是原方程的根，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为

．

26.(1)
(2)
(3) 或 或 或

【解析】
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据 的周长等于 ，以及 为定长，得到当 的值最小时， 的周长最小，根据抛物线的对称性，得到 关于对称轴对称，则： ，得到当 三点共线时， ，进而求出 点坐标，即可得解；
（3）求出 点坐标为 ，进而得到 ，得到 ，分点 在 点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
（1）解：∵抛物线 与 轴相交于点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵ ，当 时， ，
∴ ，抛物线的对称轴为直线
∵ 的周长等于 ， 为定长，
∴当 的值最小时， 的周长最小，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，当 三点共线时， 的值最小，为 的长，此时点 为直线 与对称轴的交点，

设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：存在，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
①当 点在 点上方时：
过点 作 ，交抛物线与点 ，则： ，此时 点纵坐标为2，

设 点横坐标为 ，
则： ，
解得： ，
∴ 或 ；
②当点 在 点下方时：设 与 轴交于点 ，

则： ，
设 ，
则： ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
联立 ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
综上： 或 或 或 ．