【327775】2022年四川省内江市中考数学真题

绝密·启用前

2022年四川省内江市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6
B．﹣
C．6
D．

2.某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（　　）
A．34
B．33
C．32.5
D．31

3.下列运算正确的是（　　）
A．a²+a³＝a⁵
B．（a³）²＝a⁶
C．（a﹣b）²＝a²﹣b²
D．x⁶÷x³＝x²

4.2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.下列说法错误的是（　　）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量

6.如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（　　）

A．跟
B．党
C．走
D．听

7.如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）

A．2
B．4
C．6
D．8

8.如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）

A．1﹣2a＞1﹣2b
B．﹣a＜﹣b
C．a+b＜0
D．|a|﹣|b|＞0

9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（　　）

A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位

10.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数 和 的图象交于P、Q两点．若S_△POQ＝15，则k的值为（　　）

A．38
B．22
C．﹣7
D．﹣22

11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（　　）

A．4，
B．3 ，π
C．2 ，
D．3 ，2π

12.如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于两点（x₁，0）、（2，0），其中0＜x₁＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax²+bx+c＞﹣ x+c的解集为0＜x＜x₁．其中正确结论的个数是（　　）

A．4
B．3
C．2
D．1

13.函数 中，自变量 的取值范围是 .

14.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于_____

15.对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ ，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．

16.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃．若正方形EFGH的边长为4，则S₁+S₂+S₃＝_____．

17.分解因式：a⁴﹣3a²﹣4＝_____．

18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象交于点 .若一次函数 随 的增大而增大，则 的取值范围是____．

19.已知x₁、x₂是关于x的方程x²﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x₁²+2x₂﹣1，则k的值为 _____．

20.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．

21.（1）计算： ；
（2）先化简，再求值：（ ）÷ ，其中a＝﹣ ，b＝ +4．

22.如图， 中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

23.为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：

(1)表中m＝　 　，n＝　 　；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

24.如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．

(1)求河的宽度；
(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若⊙O的半径为6，AF＝2 ，求AC的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

26.为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？

27.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
(2)若 ＝2，求 的值；
(3)若MN∥BE，求 的值．

28.如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数的意义，即可解答．
解： 的相反数是6，
故选：C．

2.B

【解析】
根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
解：这组数据的平均数为： ＝33（辆），
故选：B．

3.B

【解析】
根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．
A.a²和a³不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.（a³）²＝a⁶，故B符合题意；
C.（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²，故C不符合题意；
D.x⁶÷x³＝x^6﹣3＝x³，故D不符合题意．
故选：B．

4.C

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．

5.B

【解析】
根据随机事件的定义、全面调查的意义、方差的意义以及样本容量的定义进行判定即可．
解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．
故选：B．

6.C

【解析】
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：C．

7.B

【解析】
根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．

8.A

【解析】
根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴ ，
∴ ，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵
∴ ，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．

9.D

【解析】
观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．

10.D

【解析】
设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，则PQ＝PM+MQ＝ ，再根据ab＝8，S_△POQ＝15，列出式子求解即可．
解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，
∴PQ＝PM+MQ＝ ．
∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ab＝8．
∵S_△POQ＝15，
∴ PQ•OM＝15，
∴ a（b﹣ ）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．

11.D

【解析】
连接 、 ，证出 是等边三角形，根据勾股定理求出 ，再由弧长公式求出弧 的长即可．
解：连接 、 ，

六边形 为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，

的长为 ．
故选：D．

12.C

【解析】
根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x＝1时，y＜0即可判断②；根据对称轴为 ，a＞0可判断③；y₁＝ax²+bx+c， 数形结合即可判断④．
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于两点（x₁，0）、（2，0），其中0＜x₁＜1，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：

设y₁＝ax²+bx+c， ，
由图值，y₁＞y₂时，x＜0或x＞x₁，
故④错误．
故选：C．

13.

【解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．

14.100°

【解析】
试题在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.

15.

【解析】
根据题意列出方程，解方程即可求解．
解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以 得，
，
解得： ，
经检验，x＝ 是原方程的根，
∴x＝ ，
故答案为： ．

16.48

【解析】
设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S₁、S₂、S₃，即可得到答案．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S₁＝（a+b）²，S₂＝4²＝16，S₃＝（a﹣b）²，
且：a²+b²＝EF²＝16，
∴S₁+S₂+S₃＝（a+b）²+16+（a﹣b）²＝2（a²+b²）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．

17.（a²+1）（a+2）（a﹣2）

【解析】
首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
解：a⁴﹣3a²﹣4
＝（a²+1）（a²﹣4）
＝（a²+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a²+1）（a+2）（a﹣2）．

18.

【解析】
分别求出过点P，且平行于x轴和y轴时对应的m值，即可得到m的取值范围．
当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为 ，代入 中，可得 ；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为 ，可得 ；
∵一次函数 随 的增大而增大，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．

19.2

【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x₁+x₂＝2，x₁•x₂＝k﹣1，x₁²﹣2x₁+k﹣1＝0，再根据 ＝x₁²+2x₂﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x₁+x₂＝2，x₁•x₂＝k﹣1，x₁²﹣2x₁+k﹣1＝0，
∴x₁²＝2x₁﹣k+1，
∵ ＝x₁²+2x₂﹣1，
∴ ＝2（x₁+x₂）﹣k，
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x²﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x²﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．

20.10

【解析】
延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，

∵ ，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．

21.（1）2；（2） ，

【解析】
（1）首先代入特殊角的三角函数值，进行乘方、绝对值运算，再进行乘法和加法运算；
（2）首先把分式化简，再代入a和b的值计算．
解：（1）原式＝
＝ +2﹣
＝2；
（2）原式＝[ ]•
＝
＝ ．
当a＝﹣ ，b＝ +4时，
原式＝ ．

22.证明见解析

【解析】
（1）根据平行四边形的性质可以得到AB//CD，AB=CD，再证明角相等，用SAS证明两个三角形全等即可．
（2）用（1）中全等三角形的结论我们得到边相等，角相等，再去证明平行．用一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．
证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，
AB//CD，AB=CD，
，
在 和 中
，
．
（2）由（1）可知， ，
，
AE//CF，
四边形AECF是平行四边形．

23.(1)14；0.2
(2)见解析
(3)

【解析】
（1）根据总数为40，频率为0.35，求出m，根据频数为8，总数为40，求出频率n；
（2）根据89.5﹣94.5的频数为14，补全频数分布直方图即可；
（3）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
(1)
解：m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2．
故答案为：14，0.2．
(2)
补全频数分布直方图如下：

(3)
∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．

24.(1)（30 +30）米；
(2)20 米．

【解析】
（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB．
(1)
解：过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝30 +30，
经检验：x＝30 +30是原方程的根，
∴AE＝（30 +30）米，
∴河的宽度为（30 +30）米；
(2)
过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE＝AE＝BF＝（30 +30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝ ＝ ＝（30+10 ）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30 +30﹣（30+10 ）＝20 （米），
∴古树A、B之间的距离为20 米．

25.(1)直线AF与⊙O相切．理由见解析
(2)6
(3)18 ﹣6π．

【解析】
（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF=∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF=30°，可得出AE= OA=3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC=60°，OC=6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
(1)
直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，

∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），   
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
(2)
∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即 ，
∵∠ ，
∴ ，
∴∠AOF＝30°，   
∴ ，
∴ ；
(3)
∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴ ，
∴S_△OCP＝ ，
∴阴影部分的面积=S_△OCP﹣S_扇形AOC＝ ．

26.(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．

【解析】
（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
(1)
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得： ，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．

27.(1)见解析
(2)
(3)

【解析】
(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论；
(2)利用△BMF∽△ECF，得 ，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得 ，求出AN的长，可得答案；
(3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
(1)
证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝ CD，
∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ，
∴AM＝CE；
(2)
∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴ ，
∵CE＝3，
∴BM＝ ，
∴AM＝ ，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
∴ ；
(3)
∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）同理得， ，
∴ ，
解得：AN＝ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，
∴ ．