【327774】2022年四川省南充市中考数学真题

绝密·启用前

2022年四川省南充市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列计算结果为5的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.如图，将直角三角板 绕顶点A顺时针旋转到 ，点 恰好落在 的延长线上， ，则 为（       ）

A．
B．
C．
D．

3.下列计算结果正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（       ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，在正五边形 中，以 为边向内作正 ，则下列结论错误的是（       ）

A．
B．
C．
D．

6.为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（       ）

A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差

7.如图，在 中， 的平分线交 于点D，DE//AB，交 于点E， 于点F， ，则下列结论错误的是（       ）

A．
B．
C．
D．

8.如图， 为 的直径，弦 于点E， 于点F， ，则 为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.已知 ，且 ，则 的值是（       ）
A．
B．
C．
D．

10.已知点 在抛物线 上，当 且 时，都有 ，则m的取值范围为（       ）
A．
B．
C．
D．

11.比较大小： _______________ ．（选填＞，＝，＜）

12.老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________．

13.数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在 外选择一点C，测得 两边中点的距离 为 （如图），则A，B两点的距离是_______________m．

14.若 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

15.如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点 ．

16.如图，正方形 边长为1，点E在边 上（不与A，B重合），将 沿直线 折叠，点A落在点 处，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ．给出下列四个结论：① ；② ；③点P是直线 上动点，则 的最小值为 ；④当 时， 的面积 ．其中正确的结论是_______________．（填写序号）

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，在菱形 中，点E，F分别在边 上， ， 分别与 交于点M，N．求证：

(1) ．
(2) ．

19.为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：

(1) _______________， _______________．
(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为_______________度．
(3)在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

20.已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．

21.如图，直线 与双曲线交于 两点，直线 与双曲线在第一象限交于点C，连接 ．

(1)求直线 与双曲线的解析式．
(2)求 的面积．

22.如图， 为 的直径，点C是 上一点，点D是 外一点， ，连接 交 于点E．

(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的值．

23.南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）

(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？

24.如图，在矩形 中，点O是 的中点，点M是射线 上动点，点P在线段 上（不与点A重合）， ．

(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)当点M为边 中点时，连接 并延长交 于点N．求证： ．
(3)点Q在边 上， ，当 时，求 的长．

25.抛物线 与x轴分别交于点 ，与y轴交于点 ．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1， 顶点P在抛物线上，如果 面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在 延长线上， ，连接 并延长到点D，使 ． 交x轴于点E， 与 均为锐角， ，求点M的坐标．

参考答案

1.C

【解析】
根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．
解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选：C．

2.B

【解析】
根据直角三角形两锐角互余，求出 的度数，由旋转可知 ，在根据平角的定义求出 的度数即可．
∵ ，
∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
故答案选：B．

3.D

【解析】
根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．
解：A、5a-3a=2a，选项错误；
B、6a÷2a=3，选项错误；
C、 ，选项错误；
D、 ，选项正确；
故选：D．

4.D

【解析】
设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，根据足共有94列出方程即可．
解：设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94，
故选：D．

5.C

【解析】
利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
解：∵多边形 是正五边形，
∴该多边形内角和为： ， ，
∴ ，故D选项正确；
∵ 是正三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故B选项正确；
∵ ， ，
∴ ，故A选项正确；
∵ ， ，
∴ ，故C选项错误，
故选：C．

6.B

【解析】
根据题意可得，计算平均数、众数及方差需要全部数据，从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，据此即可得出结果．
解：根据题意可得，计算平均数、方差需要全部数据，故A、D不符合题意；
∵50-5-11-16=18＞16，
∴无法确定众数分布在哪一组，故C不符合题意；
从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，
共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，
∴已知的数据中中位数确定，且不受后面数据的影响，
故选：B．

7.A

【解析】
根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
解：在 中， 的平分线交 于点D， ，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，       
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．

8.C

【解析】
根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可．
解：∵∠BOF=65°，
∴∠AOF=180°-65°=115°，
∵CD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠DOB=2×65°=130°，
∴∠AOD=180°-130°=50°，
故选：C．

9.B

【解析】
先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出 ， ，代入计算即可得出结果．
解：


，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a＞b＞0，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a＞b＞0，
∴ ，
∴原式=
，
故选：B．

10.A

【解析】
根据题意可得，抛物线的对称轴为 ，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果．
解：根据题意可得，抛物线的对称轴为 ，
①当0＜m＜ 时， 恒成立；
②当 时， 恒不成立；
③当 时，使 恒成立，
∴m ，
∴m ，
，
④当 时， 恒不成立；
综上可得： ，
故选：A．

11.＜

【解析】
先计算 ， ，然后比较大小即可．
解： ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：＜．

12.

【解析】
根据简单的概率公式求解即可．
解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，
∴是物理变化的概率为： ，
故答案为： ．

13.20

【解析】
根据题意得出DE为∆ABC的中位线，然后利用其性质求解即可．
解：∵点D、E为AC，BC的中点，
∴DE为∆ABC的中位线，
∵DE=10，
∴AB=2DE=20，
故答案为：20．

14.4或7或8

【解析】
根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据 为整数即可得 的值．
解：∵
∴
∵ 为正整数
∴ 可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵ 为整数
∴ 为4或7或8
故答案为：4或7或8．

15.8

【解析】
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax²+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax²+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax²+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax²+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax²+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出 ， ，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为 ，
将（4，0）代入可得 ，
解得h=8．
故答案为：8．

16.①②③

【解析】
根据全等三角形判定即可判断①；过D作DM⊥CA₁于M，利用等腰三角形性质及折叠性质得∠ADE+∠CDM，再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC，由对称性知，PA₁=PA，知P、A、C共线时取最小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点A₁作A₁H⊥AB于H，借助特殊角的三角函数值求出BE，A₁H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠A₁BA₂=90°，A₁B=A₂B，
∴∠ABA₁=∠CBA₂，
∴△ABA₁≌△CBA₂，
故①正确；
过D作DM⊥CA₁于M，如图所示，

由折叠知AD=A₁D=CD，∠ADE=∠A₁DE，
∴DM平分∠CDA₁，
∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA₁+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BCA₁=∠CDM，
∴∠ADE+∠BCA₁=45°，
故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA₁=PA，

即PA₁+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为 ，
故③正确；
过点A₁作A₁H⊥AB于H，如图所示，

∵∠ADE=30°，
∴AE=tan30°·AD= ，DE= ，
∴BE=AB-AE=1- ，
由折叠知∠DEA=∠DEA₁=60°，AE=A₁E= ，
∴∠A₁EH=60°，
∴A₁H=A₁E·sin60°= ，
∴△A₁BE的面积= ，
故④错误，
故答案为：①②③．

17. ；

【解析】
利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
解：原式=
= ；
当x= 时，
原式=
=3+1-
=- ．

18.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）先利用菱形的性质和已知条件证明 ，即可利用SAS证明 ；
（2）连接BD交AC于点O，先利用ASA证明 ，推出 ，再由（1）中结论推出 ，即可证明 ．
（1）证明：由菱形的性质可知， ， ，∵ ，∴ ，即 ，在 和 中， ，∴ ．
（2）证明：如图，连接BD交AC于点O， 由菱形的性质可知 ， ，∴ ，由（1）知 ，∴ ， ，∴ ，∴ ，在 和 中， ，∴ ．∴ ，∴ ，∴ ．

19.(1)20；10
(2)108
(3)

【解析】
（1）根据A项目人数为5，占比为10%，得出总人数，然后根据D项目占比得出D项目人数，利用总人数减去各项目人数即可得出C项目人数；
（2）利用B项目占比然后乘以360度即可得出结果；
（3）设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为M、N；利用列表法得出所有可能的结果，然后找出满足条件的结果即可得出概率．
(1)
解：A项目人数为5，占比为10%，
∴总人数为：5÷10%=50；
D项目人数为：b=50×20%=10人，
C项目人数为：a=50-10-5-15=20人，
故答案为：20；10；
(2)
解： ，
故答案为：108；
(3)
解：设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为M、N；
列表如下：

共有20中等可能的结果，其中满足条件的有12中结果，
，
2名同学来自不同班级的概率为 ．

20.(1)k ；
(2)k=3

【解析】
根据一元二次方程有实数根得到3²-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
（1）解：∵一元二次方程 有实数根．∴∆ 0，即3²-4（k-2） 0，解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，解得k=3．

21.(1)直线AB的解析式为y=2x+4；双曲线解析式为 ；
(2)16

【解析】
（1）根据点A的坐标求出双曲线的解析式，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）求出直线OB的解析式为y= x，得到点C的坐标，过点B作BE∥x轴，交AC的延长线于E，求出直线AC的解析式，进而得到点E的坐标，根据 的面积=S_△ABE-S_△BCE求出答案．
(1)
解：设双曲线的解析式为 ，将点A（1，6）代入，
得 ，
∴双曲线解析式为 ，
∵双曲线过点B（m，-2），
∴-2m=6，
解得m=-3，
∴B（-3，-2），
设直线AB的解析式为y=nx+b，
得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+4；
(2)
设直线OB的解析式为y=ax，
得-3a=-2，解得a= ，
∴直线OB的解析式为y= x，
当 时，解得x=3或x=-3（舍去），
∴y=2，
∴C（3，2），
过点B作BE∥x轴，交AC的延长线于E，
∵直线AC的解析式为y=-2x+8，
∴当y=-2时，得-2x+8=-2，解得x=5，
∴E（5，-2），BE=8，
∴ 的面积=S_△ABE-S_△BCE
=
=16．

22.(1)见解析；
(2)3

【解析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到 ，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出 的值．
(1)
证明：连接OC，

∵ 为 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵ ，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴ 是 的切线．
(2)
解：过点O作OF⊥BC于F，
∵ ，
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
∴AC= ，
∵OA=OB，OF∥AC，
∴ ，
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF= ，
∴ = ．

23.(1)a=260；
(2)真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
(3)每件最多降价28元．

【解析】
（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；
（3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可．
(1)
解：根据表格数据可得：
50a+25×80=15000，
解得：a=260；
(2)
解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，
根据题意可得：300-x≥2x，
解得：x≤100；
设总利润为y，
根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元，
此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
(3)
设降价z元，
根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%，
解得：z≤28，
∴每件最多降价28元．

24.(1) 为直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3) 或12

【解析】
（1）由点O是 的中点， 可知 ，由等边对等角可以推出 ；
（2）延长AM，BC交于点E，先证 ，结合（1）的结论得出PC是直角 斜边的中线，推出 ，进而得到 ，再通过等量代换推出 ，即可证明 ；
（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明 ， ，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过 即可求出DM．
(1)
解： 为直角三角形，理由如下：
∵点O是 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形；
(2)
证明：如图，延长AM，BC交于点E，

由矩形的性质知： ， ，
∴ ，
∵ 点M为边 中点，
∴ ，
在 和 中，

∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即C点为BE的中点，
由（1）知 ，
∴ ，即 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，

由已知条件 ，设 ， ，
则 ， ， ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
同理，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，此时点M在DC的延长线上，
综上， 的长为 或12．

25.(1)
(2)（2， ），（ ， ）或（ ， ）
(3)（－4， ）

【解析】
（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据 得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．
(1)
解：∵抛物线 与x轴分别交于点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
即抛物线解析式为 ．
(2)
解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，

由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S_△BCP=S_△PCE+S_△PBE
=
=2PE，
设P（m， ），则E（m，m-4），
∴S_△BCP=
= ，
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为 ，
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2， ），
同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
，
解得：n= 或n= ，
即P（ ， ）或（ ， ），
综上所述，满足题意的P点坐标为（2， ），（ ， ）或（ ， ）．
(3)
解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，

则NH∥PD∥MQ，
∴ ， ，
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，   
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH= ，
∴OH=OP+PH=x+ = ，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
∵ ，
∴ ，
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，
∴OQ=4，即Q（－4,0），
∴M（－4, ）．