【327763】2022年上海中考数学真题

绝密·启用前

2022年上海中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.8的相反数是（       ）
A．
B．8
C．
D．

2.下列运算正确的是……（   ）
A．a²+a³=a⁶
B．（ab）² =ab²
C．（a+b）²=a²+b²
D．（a+b）（a-b）=a² -b²

3.已知反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（     ）
A．（2，3）
B．（-2，3）
C．（3，0）
D．（-3，0）

4.我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（     ）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差

5.下列说法正确的是（     ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题

6.有一个正n边形旋转 后与自身重合，则n为（     ）
A．6
B．9
C．12
D．15

7.计算：3a－2a＝__________．

8.已知f（x）=3x，则f（1）=_____．

9.解方程组 的结果为_____．

10.已知x- x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．

11.甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．

12.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．

13.为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是_____．

14.已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．

15.如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O， 则 =_____．

16.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留 ）

17.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上， ，则 _____．

18.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．

19.计算：

20.解关于x的不等式组

21.一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．

22.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度

23.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ

24.已知： 经过点 ， ．
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
①倘若 ，且在 的右侧，两抛物线都上升，求 的取值范围；
② 在原抛物线上，新抛物线与 轴交于 ， 时，求 点坐标．

25.平行四边形 ，若 为 中点， 交 于点 ，连接 ．

(1)若 ，
①证明 为菱形；
②若 ， ，求 的长．
(2)以 为圆心， 为半径， 为圆心， 为半径作圆，两圆另一交点记为点 ，且 ．若 在直线 上，求 的值．

参考答案

1.A

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：8的相反数是 ，
故选A．

2.D

【解析】
根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．
解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）² =a²b²，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b²，故此选项符合题意
故选：D．

3.B

【解析】
根据反比例函数性质求出k＜0，再根据k=xy，逐项判定即可．
解：∵反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy＜0，
A、∵2×3＞0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3＜0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．

4.D

【解析】
根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．
解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，
则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；
故选：D．

5.A

【解析】
根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．

6.C

【解析】
根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与 一致或有倍数关系的则符合题意．
如图所示，计算出每个正多边形的中心角， 是 的3倍，则可以旋转得到．
A.
B.
C.
D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．

7.a

【解析】
根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a

8.3

【解析】
直接代入求值即可．
解：∵f（x）=3x，
∴f（1）=3×1=3，
故答案为：3

9.

【解析】
利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得 ④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可．
解：
由②，得： ③，
将①代入③，得： ，即 ④，
①+②，得： ，
解得： ，
①−②，得： ，
解得： ，
∴方程组 的结果为        ．

10.m＜3

【解析】
根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，即(-2 )²-4m＞0，求解即可．
解：∵x- x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2 )²-4m＞0
解得：m＜3，
故答案为: m＜3．

11.

【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树形图如下：

由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中，
所以分到甲和乙的概率为 ，
故答案为：

12.20%

【解析】
根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

解得， （舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%

13.88

【解析】
由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案．
解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是

故答案为：

14. （答案不唯一）

【解析】
直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
∵直线 过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴ ， ，
∴符合条件的一条直线可以为： （答案不唯一）．

15.

【解析】
利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．

16.400π

【解析】
解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，

∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD= AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD= =12,
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB= =20，
∴这个花坛的面积=20²π=400π，
故答案为：400π．

17. 或

【解析】
由题意可求出 ，取AC中点E₁，连接DE₁，则DE₁是△ABC的中位线，满足 ，进而可求此时 ，然后在AC上取一点E₂，使得DE₁＝DE₂，则 ，证明△DE₁E₂是等边三角形，求出E₁E₂＝ ，即可得到 ，问题得解．
解：∵D为AB中点，
∴ ，即 ，
取AC中点E₁，连接DE₁，则DE₁是△ABC的中位线，此时DE₁∥BC， ，
∴ ，
在AC上取一点E₂，使得DE₁＝DE₂，则 ，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝ ，
∵DE₁∥BC，
∴∠DE₁E₂=60°，
∴△DE₁E₂是等边三角形，
∴DE₁＝DE₂＝E₁E₂＝ ，
∴E₁E₂＝ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上， 的值为： 或 ，
故答案为： 或 ．

18. ##

【解析】
如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，


过圆心O， ，


设 的半径为
∴



整理得：
解得：

不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：

19.

【解析】
原式分别化简 ，再进行合并即可得到答案．
解：
=
=

20.-2＜x＜-1

【解析】
分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．
解： ，
解①得：x＞-2，
解②得：x＜-1，
∴-2＜x＜-1．

21.(1)y=x+1
(2)

【解析】
(1)
解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
(2)
解：如图，

设反比例函数解析式为y= ，
把A（2，3）代入，得3= ，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y= ，
当x=6时，则y= =1，
∴B（6，1），
∴AB= ，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴AC x轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠ABC= ．

22.(1)atanα+b米
(2)3.8米

【解析】
（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得；
(1)
解：如图

由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
(2)
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时
即 ①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时 ，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米

23.(1)见解析
(2)见解析

【解析】
（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中， ，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
(2)
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴ ，即 ，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴ ，即CF·FQ=AF·BQ．

24.(1)
(2)①k≥2
②P的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）

【解析】
（1）把 ， 代入 ，求解即可；
（2）①由 ，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据 ，求得m=2，在 的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；
②把P（m，n）代入 ，得n= ，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y= (x-m)²+n= x²-mx+m²-3，则Q(0，m²-3)，从而可求得BQ=m²，BP²= ，PQ²= ，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC= BQ= m²，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°= ，即可求出m值，从而求出点P坐标．
(1)
解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴函数解析式为： ；
(2)
解：①∵ ，
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴ ，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在 的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入 ，得n= ，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y= (x-m)²+n= x²-mx+m²-3，
∴Q(0，m²-3)，
∵B（0，-3），
∴BQ=m²，BP²= ，
PQ²= ，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，

∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC= BQ= m²，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，
∴tan∠BPC= tan 60°= ，
解得：m=±2 ，
∴n= =3，
故P的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）

25.(1)①见解析；②
(2)

【解析】
（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；
②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA²=AE²-OE²=3²-x²=9-x²,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA²=AB²-OB²=5²-(3x)²=25-9x²,从而得9-x²=25-9x²，解得：x= ,即可得OB=3x=3 ，再由平行四边形性质即可得出BD长；
（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又 在直线 上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG= AB，根据重心性质得GE= CE＝ AE，CG=CE+GE= AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG²=AE²-GE^E=AE²-( AE)²= AE²,则AG= AE,所以AB=2AG= AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC²=BG²+CG²= AE²+（ AE）²=5AE²，则BC= AE，代入即可求得 的值．
(1)
①证明：如图，连接AC交BD于O，

∵平行四边形 ，
∴OA=OC，
∵AE=CE，OE=OE，
∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵平行四边形 ，
∴四边形 是菱形；
②∵OA=OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵ 为 中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA²=AE²-OE²=3²-x²=9-x²,
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA²=AB²-OB²=5²-(3x)²=25-9x²,
∴9-x²=25-9x²，
解得：x= ,
∴OB=3x=3 ，
∵平行四边形 ，
∴BD=2OB=6 ；
(2)
解：如图，

∵⊙A与⊙B相交于E、F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又 在直线 上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG= AB，GE= CE，
∵CE= AE，
∴GE= AE，CG=CE+GE= AE，
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG²=AE²-GE^E=AE²-( AE)²= AE²,
∴AG= AE,
∴AB=2AG= AE，
在Rt△BGC中，由勾股定理，得
BC²=BG²+CG²= AE²+（ AE）²=5AE²，
∴BC= AE，
∴ ．