【327711】2022年江苏省常州市中考数学真题

绝密·启用前

2022年江苏省常州市中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.2022的相反数是（       ）
A．2022
B．
C．
D．

2.若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（       ）
A．
B．
C．
D．

4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　）

A．6
B．5
C．4
D．3

5.某城市市区人口 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地 平方米，则 与 之间的函数表达式为（       ）
A．
B．
C．
D．

6.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（       ）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

7.在平面直角坐标系 中，点A与点 关于 轴对称，点A与点 关于 轴对称．已知点 ，则点 的坐标是（       ）
A．
B．
C．
D．

8.某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的 的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知 的加速时间的中位数是 ，满电续航里程的中位数是 ，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（       ）

A．区域①、②
B．区域①、③
C．区域①、④
D．区域③、④

9.计算： =___．

10.计算： _______．

11.分解因式： ______．

12.2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．

13.如图，数轴上的点 、 分别表示实数 、 ，则 ______ ．（填“＞”、“=”或“＜”）

14.如图，在 中， 是中线 的中点．若 的面积是1，则 的面积是______．

15.如图，将一个边长为 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形 ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到 时才会断裂．若 ，则橡皮筋 _____断裂（填“会”或“不会”，参考数据： ）．

16.如图， 是 的内接三角形．若 ， ，则 的半径是______．

17.如图，在四边形 中， ， 平分 ．若 ， ，则 ______．

18.如图，在 中， ， ， ．在 中， ， ， ．用一条始终绷直的弹性染色线连接 ， 从起始位置（点 与点 重合）平移至终止位置（点 与点 重合），且斜边 始终在线段 上，则 的外部被染色的区域面积是______．

19.计算：
(1) ；
(2) ．

20.解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．

21.为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为 （不使用）、 （1~3个）、 （4~6个）、 （7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
       
(1)本次调查的样本容量是_____，请补全条形统计图；
(2)已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

22.在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为 ；②函数表达式为 ；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于 轴对称；⑤函数值 随自变量 增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子 中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子 中搅匀．
(1)从盒子 中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子 中任意抽出1支签，再从盒子 中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．

23.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，与反比例函数 的图象交于点 ，连接 ．已知点 ， 的面积是2．

(1)求 、 的值；
(2)求 的面积．

24.如图，点 在射线 上， ．如果 绕点 按逆时针方向旋转 到 ，那么点 的位置可以用 表示．

(1)按上述表示方法，若 ， ，则点 的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点 的位置用 表示，连接 、 ．求证： ．

25.第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是 ，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个 进制数143，换算成十进制数是120，求 的值．

26.在四边形 中， 是边 上的一点．若 ，则点 叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形 中，边 上的点 是四边形 的“等形点”．已知 ， ， ，连接 ，求 的长；
(3)在四边形 中，EH//FG．若边 上的点 是四边形 的“等形点”，求 的值．

27.已知二次函数 的自变量 的部分取值和对应函数值 如下表：

(1)求二次函数 的表达式；
(2)将二次函数 的图像向右平移 个单位，得到二次函数 的图像，使得当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数 的表达式 ______，实数 的取值范围是_______；
(3) 、 、 是二次函数 的图像上互不重合的三点．已知点 、 的横坐标分别是 、 ，点 与点 关于该函数图像的对称轴对称，求 的度数．

28.（现有若干张相同的半圆形纸片，点 是圆心，直径 的长是 ， 是半圆弧上的一点（点 与点 、 不重合），连接 、 ．

(1)沿 、 剪下 ，则 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点 、 和直径 上的点 、 ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点 ，一定存在线段 上的点 、线段 上的点 和直径 上的点 、 ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反数的定义直接求解．
解：实数2022的相反数是 ，
故选：B．

2.A

【解析】
根据二次根式 进行计算即可．
解：由题意得：
，
，
故选：A．

3.D

【解析】
根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：D．

4.C

【解析】
直接利用三角形中位线定理得出答案．
∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．

5.C

【解析】
根据：平均每人拥有绿地 ，列式求解．
解：依题意，得：平均每人拥有绿地 ．
故选：C

6.A

【解析】
根据垂线段最短解答即可．
解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．

7.D

【解析】
直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A， 点坐标，即可得出答案．
解：∵点 的坐标为（1，2），点A与点 关于 轴对称，
∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标是（-1，﹣2）．
故选：D．

8.B

【解析】
根据中位数的性质即可作答．
在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数ms，满电续航里程的中位数nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：
A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；
B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；
C项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n的左侧，不符合要求，故C项错误；
D项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m上方，不符合要求，故D项错误；
故选：B．

9.2

【解析】
根据立方根的定义进行计算．
解：∵2³=8，
∴ ，
故答案为：2．

10.

【解析】
根据同底数幂的除法运算法则即可求出．
解： ．
故答案为： ．

11.xy(x+y)

【解析】
利用提公因式法即可求解．
，
故答案为： ．

12.1.38×10⁵

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数数．
解：由题意可知：
138000=1.38×10⁵，
故答案为：1.38×10⁵

13.

【解析】
由图可得： ，再根据不等式的性质即可判断．
解：由图可得： ，
由不等式的性质得： ，
故答案为： ．

14.2

【解析】
根据 的面积 的面积， 的面积 的面积计算出各部分三角形的面积．
解： 是 边上的中线， 为 的中点，
根据等底同高可知， 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 ，
故答案为：2．

15.不会

【解析】
设扭动后对角线的交点为 ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出 为等边三角形，利用勾股定理算出 ，从而得到 ，再比较即可判断．
解：设扭动后对角线的交点为 ，如下图：

，
根据正方形的性质得，
得出扭动后的四边形四边相等为菱形，
，
为等边三角形，
，
，
，
根据菱形的对角线的性质： ，
，
不会断裂，
故答案为：不会．

16.1

【解析】
连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理计算即可．
解：连接 、 ，

，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为：1．

17.

【解析】
过点 作 的垂线交于 ，证明出四边形 为矩形， 为等腰三角形，由勾股定理算出 ， ，即可求解．
解：过点 作 的垂线交于 ，


，
四边形 为矩形，
，
，
平分 ，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，

，
，
故答案为： ．

18.28

【解析】
过点 作 的垂线交于 ，同时在图上标出 如图，需要知道的是 的被染色的区域面积是 ，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
解：过点 作 的垂线交于 ，同时在图上标出 如下图：

， ， ，
，
在 中， ， ， ．
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
解得： ，   
，
，
，   
，
，
，
同理可证： ，   
，
，
，
的外部被染色的区域面积为 ，
故答案为：28．

19.(1)
(2)2x+2

【解析】
（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；
（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．
（1） ＝2﹣1+ ＝ ；
（2） ＝ ＝2x+2．

20. ；解集表示见解析

【解析】
先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
解：原不等式组为 ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

21.(1)100，图见解析
(2)合理，理由见解析

【解析】
（1）利用频数除以频率即可得出，结合条形统计图及扇形统计图，求出 涉及的户数再画图即可；
（2）利用样本估计总体的思想来解释即可．
(1)
解：本次调查的样本容量为： （户），
使用情况的户数为： ，
占的比例为： ，
的比例为： ，
使用情况的户数为： ，
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
(2)
解：合理，理由如下：
利用样本估计总体： 占的比例为： ，
（户），
调查小组的估计是合理的．

22.(1)
(2)

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．
(1)
解：从盒子 中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
故答案为： ；
(2)
解：画出树状图：

共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为 ．

23.(1)4；6
(2)6

【解析】
（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
（1）解：∵一次函数 的图象 轴交于点 ，∴ ，OB=4，∴一次函数解析式为 ，设点C（m，n），∵ 的面积是2．∴ ，解得：m=1，∵点C在一次函数图象上，∴ ，∴点C（1，6），把点C（1，6）代入 得：k=6；
（2）当y=0时， ，解得：x=-2，∴点A（-2，0），∴OA=2，∴ ．

24.(1)(3,37°)
(2)见解析

【解析】
（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
(1)
解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
(2)
证明：如图，

∵ ，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．

25.(1)2022
(2)9

【解析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
（1） ，故答案为：2022；
（2）根据题意有： ，整理得： ，解得n=9，（负值舍去），故n的值为9．

26.(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)1

【解析】
（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD= ，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据 ，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
(1)
不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴ ，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
(2)
如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，

∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵ ，OA=5，BC=12，
∴AB=CD= ，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ，
∴MC=MO+OC= ，
∴在Rt△AMC中， ，
即AC的长为 ；
(3)
如图，

∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵ ，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴ ．

27.(1)
(2) （答案不唯一），
(3)∠ACB=45°或135°

【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线 ，然后根据二次函数的增减性求出 ，即可得到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出 ， ，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．
(1)
解：由题意得： ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
(2)
解：∵原二次函数解析式为
由题意得平移后的二次函数解析式为 ，
∴平移后的二次函数对称轴为直线 ，
∵二次函数 的图像，使得当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小，且二次函数 的开口向下，
∴ ，
∴ ，
∴符合题意的二次函数解析式可以为 ；
故答案为： （答案不唯一）， ；
(3)
解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，
∴C的横坐标为 ，
∴点A的坐标为（m， ），点C的坐标为（ ， ），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1， ），
∴ ， ，
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°

28.(1)直角
(2)见详解
(3)小明的猜想错误，理由见详解

【解析】
（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；
（3）过C点作 ，交AB于点G，连接CO，根据 ，可得 ，即有 ，则可求得 ，依据 ，NQ=4，可得GC=OC=6，即可判断．
(1)
如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角，
(2)
以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：

由作图可知AE=EF=FH=HG=OA= AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
(3)
小明的猜想错误，理由如下：
如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作 ，交AB于点G，连接CO，

在菱形MNQP中MN=QN=4， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=12，MN=4，
∴ ，
∵BN=BC-CN，
∴ ，
∵ ，NQ=4，
，
∴ ，
∴GC=6，
∵AB=12，
∴OC=6，
∴OC=GC，
显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，
∵P点在线段AB上，   
∴直线GC必与直线PM相交，这与 相矛盾，
故小明的猜想错误．