【327681】2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题

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2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.下列运算中，计算正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（       ）
A．181
B．175
C．176
D．175.5

4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（          ）

A．7
B．8
C．9
D．10

5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（       ）
A．8
B．10
C．7
D．9

6.已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是（       ）
A．
B．
C． 且
D． 且

7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（       ）
A．5
B．6
C．7
D．8

8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（       ）

A．2
B．1
C．
D．

9.如图， 中， ，AD平分 与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若 的面积是24， ，则PE的长是（       ）

A．2.5
B．2
C．3.5
D．3

10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点， 交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的 ．其中正确的结论是（       ）

A．①②④⑤
B．①②③⑤
C．①②③④
D．①③④⑤

11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．

12.函数 中自变量 的取值范围是______．

13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ，请你添加一个条件________，使 ．

14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．

15.若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，则a的取值范围是________．

16.如图，在 中，AB是 的弦， 的半径为3cm，C为 上一点， ，则AB的长为________cm．

17.若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm．

18.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ， ，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 的最小值是________．

19.在矩形ABCD中， ， ，点E在边CD上，且 ，点P是直线BC上的一个动点．若 是直角三角形，则BP的长为________．

20.如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ……在x轴上且 ， ， ， ……按此规律，过点 ， ， ， ……作x轴的垂线分别与直线 交于点 ， ， ， ……记 ， ， ， ……的面积分别为 ， ， ， ……，则 ______．

21.先化简，再求值： ，其中 ．

22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．

(1)将 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到 ，画出两次平移后的 ，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕点 顺时针旋转90°后得到 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中所经过的路径长（结果保留 ）．

23.如图，抛物线 经过点 ，点 ，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使 的面积是 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：        B组：        C组：        D组：        E组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了_______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

25.为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

26. 和 都是等边三角形．

(1)将 绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有 （或 ）成立；请证明．
(2)将 绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将 绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

27.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒， 的面积为S．

(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．

2.C

【解析】
根据中心对称图形的定义判断即可．
解：∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故选C．

3.D

【解析】
先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为 ，故D正确．
故选：D．

4.B

【解析】
这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有 个．
故选：B．

5.B

【解析】
设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x₁=10，x₂=-9（舍去），
故选B．

6.C

【解析】
先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到 且 ，即可求解．
方程两边同时乘以 ，得 ，
解得 ，
关于x的分式方程 的解是正数，
，且 ，
即 且 ，
且 ，
故选：C．

7.A

【解析】
设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18- x．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 或 ，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．

8.D

【解析】
连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得 ，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴ ，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选：D．

9.A

【解析】
连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S_△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分 与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S_△ABD= =12，
∵E是AB的中点，
∴S_△AED= =6，
∵G是AD的中点，
∴S_△EGD= =3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EG BC，EG= BD= CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF= CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S_△EGD= =3，即 ，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE= =2.5，
故选：A．

10.B

【解析】
分别对每个选项进行证明后进行判断：
①通过证明 得到EC=FD，再证明 得到∠EAC=∠FBD，从而证明∠BPQ=∠AOQ=90°，即 ；
②通过等弦对等角可证明 ；
③通过正切定义得 ，利用合比性质变形得到 ，再通过证明 得到 ，代入前式得 ，最后根据三角形面积公式得到 ，整体代入即可证得结论正确；
④作EG⊥AC于点G可得EG BO，根据 ，设正方形边长为5a，分别求出EG、AC、CG的长，可求出 ，结论错误；
⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用 ，可证明S_{四边形OECF}=S_△COE+S_△COF= S_△DOF+S_△COF =S_△COD即可证明结论正确．
①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中

∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正确；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正确；
④作EG⊥AC于点G，则EG BO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC= ，
若 ，则 ，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④错误；
⑤∵ ，S_{四边形OECF}=S_△COE+S_△COF
∴S_{四边形OECF}= S_△DOF+S_△COF= S_△COD
∵S_△COD=
∴S_{四边形OECF}=
所以⑤正确；
综上，①②③⑤正确，④错误，
故选 B

11.

【解析】
把亿写成 ，最后统一写成 的形式即可．
解：由题意得：1.89亿= ，
故答案为： ．

12.

【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．
解：根据题意，
，
∴ ；
故答案为： ．

13.OB=OD（答案不唯一）

【解析】
根据SAS添加OB=OD即可
解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴ （SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）

14.

【解析】
利用概率公式计算即可．
∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，
∴摸到红球的概率是 ，
故答案为： ．

15. ##

【解析】
先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
关于 的不等式组 的解集为 ，
．
故答案为： ．

16.

【解析】
连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得 ， ，再根据等腰三角形的性质可得 ，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，

， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．

17.

【解析】
由于圆锥的母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用弧长公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解．
解：设圆锥底面半径为rcm，
则圆锥底面周长为： cm，
∴侧面展开图的弧长为： cm，
∴ ，
解得：r= ，
故答案为： ．

18.

【解析】
作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，

∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB= ，
∴OA= ，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA= ，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA= ，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF= ,
∴PO+PE最小值= ．
故答案为： ．

19. 或 或6

【解析】
分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解．
解：在矩形ABCD中， ， ，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，

∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ ，即 ，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，

∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，

根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ；
综上所述，BP的长为 或 或6．
故答案为： 或 或6

20.

【解析】
先求出 ，可得 ，再根据题意可得 ，从而得到 ∽ ∽ ∽ ∽……∽ ，再利用相似三角形的性质，可得 ∶ ∶ ∶ ∶……∶ = ，即可求解．
解：当x=1时， ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∵根据题意得： ，
∴ ∽ ∽ ∽ ∽……∽ ，
∴ ∶ ∶ ∶ ：……∶ = OA₁²∶OA₂²∶OA₃²∶……∶OA_n²，
∵ ， ， ， ，……，
∴ ， ， ，……， ，
∴ ∶ ∶ ∶ ∶……∶ = ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．

21. ，

【解析】
先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可．
解：原式

，
当 时，
原式

22.(1)见解析；
(2)见解析；
(3)点 旋转到点 所经过的路径长为

【解析】
（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转可得点 旋转到点 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
(1)
解：如图所示△A₁B₁C₁即为所求，

；
(2)
如图所示△A₂B₂C₂即为所求， ；
(3)
∵
∴点 旋转到点 所经过的路径长为 ．

23.(1)
(2)存在， ，

【解析】
（1）将点 ，点 ，代入抛物线得 ，求出 的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得 ，可得 点坐标，将 代入得， ，可得 点坐标，求出 的值，根据 可得 ，设 ，则 ，求出 的值，进而可得 点坐标．
（1）解：∵抛物线 过点 ，点 ，∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：存在．∵ ，∴ ，将 代入得， ，∴ ，∴ 到线段 的距离为1， ，∴ ，∴ ，设 ，则 ，整理得， ，解得 ，或 ，∴ ， ，∴存在点P，使 的面积是 面积的4倍，点P的坐标为 ， ．

24.(1)100
(2)补全统计图见解析
(3)D组所对应的扇形圆心角度数为
(4)估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人

【解析】
（1）根据统计图中 组的人数与占比，计算求解即可；
（2）根据 组人数占比为 ，求出 组人数为 人，然后作差求出 组人数，最后补全统计图即可；
（3）根据 组人数的占比乘以 计算求解即可；
（4）根据 两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
(1)
解：由统计图可知，本次共调查了 （人），
故答案为：100．
(2)
解：由统计图可知， 组人数占比为 ，
∴ 组人数为 （人），
∴ 组人数为 （人），
∴补全统计图如图所示

(3)
解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为 ，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为 ．
(4)
解：由题意知， （人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．

25.(1)100   60
(2)
(3)3，6.3，9.1

【解析】
（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
(1)
解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
(2)
设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得 ，
解得
∴y与x的函数解析式为 ；
(3)
解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0＜t＜5时，
100t-60t=120，
解得：t=3；
当5＜t＜5.5时，根据图象可得不满足条件；
当5.5＜t＜8时，
500-100（t-5.5）-300=120，
解得：t=6.3；
当8＜t＜9时，
100（t-8）=120，
解得：t=9.2，不符合题意，舍去；
当9＜t＜12时，
100×（9-8）+100（t-9）+100（t-9）=120，
解得：t=9.1；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.1h时，两车之间的距离为120km．

26.(1)证明见解析
(2)图②结论： ，证明见解析
(3)图③结论：

【解析】
（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取 ，连接AF，证明 （SAS），得 ，再证明 （SAS），得 ， ，然后证明 是等边三角形，得 ，即可得出结论；
（3）在CP上截取 ，连接AF，证明 （SAS），得 ，再证明 （SAS），得出 ， ，然后证明 是等边三角形，得 ，即可得出结论： ．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴ 或 ；
(2)
解：图②结论：
证明：在BP上截取 ，连接AF，

∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∵AC=AB，CP=BF，   
∴ （SAS），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：图③结论： ，
理由：在CP上截取 ，连接AF，

∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∵AB=AC，BP=CF，
∴ （SAS），   
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．

27.(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元

【解析】
（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组 ，
解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组 ，解得： ，由此即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得 ，结合函数图像的性质，可知w随m的增大而减小，即当 时 ．
(1)
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
(2)
根据题意，得 ，
解得 ，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
(3)
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时，w有最小值，即w （元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．

28.(1)点C坐标为
(2)
(3)存在点P 或 或 ，使 是等腰三角形

【解析】
（1）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7， ，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点A作 交CB的延长线于点F，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当 时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解．
(1)
解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴点C坐标为 ；
(2)
解：当 时， ，
当 时，过点A作 交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；

(3)
解：存在点P，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时， 可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，

∴ ，
设PC=PM=a，则PD=7-a， ，
∵PF²+FM²=PM²，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴此时点P ；
当 时，

∴ ，
∴此时点P ；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则 ，

∴ ，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P ；
综上所述，存在点P 或 或 ，使 是等腰三角形