【320007】【期末必刷】四年级数学上学期期末满分特训营常考易错卷（二） 人教版（含答案）
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
四年级数学上学期期末满分特训营常考易错卷（二）
一、选择题（满分16分）
1．下面说法错误的是（ ）。
A．一条直线长6厘米 B．钟面上2时整，分针和时针成锐角
C．角的两边张开得越大，角越大 D．经过两点，可以画1条线段
2．吸烟不仅有害身体健康而且花钱，如果一位吸烟者每天吸一包19元的香烟，那么他每月（30天）花在吸烟上的钱大约要（ ）元。
A．200 B．500 C．600 D．1000
3．唐山市位于河北省东部，东与秦皇岛市相望，西与天津市毗邻，南临渤海，北依燕山隔长城与承德市相望，总面积约为13472（ ）。
A．公顷 B．平方千米 C．平方米
4．数据：2人，5人，6人，14人．纵轴每格选择（ ）的单位长度比较合适．
A．一格代表2人 B．一格代表3人 C．一格代表5人
5．最大的七位数与最小的六位数相差（ ）．
A．1 B．900000 C．9899999 D．1000009
6．谁的面积最接近1平方厘米（ ）．
A．一张名片的正面
B．1元硬币的正面
C．电脑键盘上一个字母键的上表面
D．一段1厘米长的修正带
7．右图中，表示O到直线l的距离是（ ）。
A．OA B．OB C．OC D．OD
8．下面算式中，商正好是8的是（ ）。
A．4□0÷39 B．50□÷6□ C．36□÷45 D．42□÷55
二、填空题（满分16分）
9．从笔直的公路到学校有3条小路，它们的长度分别是196米、178米、208米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（________）米。
10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
4平方千米（____））401公顷 50000平方米（_____）5公顷
30000平方米（_____）3平方千米 8平方千米（_____）80公顷
11．改写成用“万”作单位的数
250000=（___） 3200000=（___） 2010000=（___）
12．根据商的变化规律，由48÷6＝8写出其他算式的得数。
480÷60＝（________） 144÷6＝（________） 192÷24＝（________）
13．一个平底锅每次能烙2张饼，每烙熟一面饼需要2分钟，两面都要烙。
(1)烙熟3张饼至少需要________分钟；
(2)烙熟4张饼至少需要________分钟；
(3)烙熟5张饼至少需要________分钟。
14．平角等于（________）度，它的一半是（________）角。线段有（________）个端点，射线有（________）个端点，直线（________）端点。
15．汽车每小时行驶65千米，可以说汽车的速度是（________）。
16．看统计图，填一填。
（1）从图中你知道了一格代表（________）人。
（2）喜欢（________）的人数最多。
（3）四（2）班一共有（________）人。
三、判断题（满分8分）
17．图中，两条平行线间的4条垂直线段的长度都相等。（________）
18．一辆汽车2小时走了100千米，则这辆汽车的速度是100千米/小时。（________）
19．49□914≈49万，□里最大应填5．（_____）
20．妈妈烙饼，每次烙2张，正反面各需1分钟，烙3张饼最少需要3分钟．（____）
四、计算题（满分24分）
21．(12分)列竖式计算。
537×42＝ 308×54＝ 420×80＝
76×134＝ 45×238＝ 179×70＝
22．(12分)用竖式计算．
96÷32= 416÷52= 492÷82=
549÷61= 644÷92= 88÷44=
五、作图题（满分12分）
23．(6分)画一条比6厘米短2厘米的线段，并标出线段的长度。
24．(6分)画出下列图形的高。
六、解答题（满分24分）
25．(6分)组数游戏．
26．(6分)一块长方形的玉米地，长500米，宽400米。如果平均每公顷收玉米10吨，这块玉米地能收玉米多少吨？
27．(6分)某种儿童裤子的价格如下：
28．(6分)下面是新源手机专卖店的营业员记录的本周销售情况。
品牌
甲品牌
乙品牌
丙品牌
丁品牌
数量
12部
18部
14部
9部
（1）丙品牌比丁品牌多卖出（ ）部。
（2）如果你是营业员，在下周的进货中，你有什么建议？
四年级数学上学期期末满分特训营常考易错卷（二）
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．A
5．C
6．C
7．B
8．C
9．178
10．＜ = ＜ ＞
11．25万 320万 201万
12．8 24 8
13．6 8 10
14．180 直 2 1 没有
15．65千米/时
16．2 足球 46
17．√
18．×
19．
20．√
21．
22．3；8；6；9；7；2
解：96÷32=3
416÷52=8
492÷82=6
549÷61=9
644÷92=7
88÷44=2
23．6厘米－2厘米＝4厘米
24．
25．所有的零都不读的：1234000,1243000,1324000,1342000
读一个零：1023400(答案不唯一)
读两个零：1023040(答案不唯一)
读三个零：1020403(答案不唯一)
26．200吨
500×400＝200000(平方米) 200000平方米＝20公顷 20×10＝200(吨)
27．12条
354÷59＝6 刚好除尽则带的钱无剩余，可以买6次59元/2条的。
6×2＝12（条）
答：最多可以买12条儿童裤子。
28．（1）5
（2）建议多进些乙品牌手机。（答案不唯一）
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...
【320005】【课本】四年级上第22讲_数表规律计算
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“数表规律计算”展开，主要考察学生对数表规律的理解和应用能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握数表规律的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对数表规律的理解，又培养学生的应用能力。...
【320003】【课本】四年级上第20讲_底高的选取与组合
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“底高的选取与组合”展开，主要考察学生对基本直线形面积公式的理解和应用，以及利用底高关系解决几何问题的能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握底高关系的解题方法，培养学生的几何直观和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对底高关系的理解，又培养学生的应用能力。...【320004】【课本】四年级上第21讲_等积变形
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第二十一讲 等积变形
三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：
除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形）
例题1
如 图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？
练 习1
如图，E是平行四边形ABCD中的任意一点，已知△AED与△EBC的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？
下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB，它们的底相同，都是AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON上任取若干个点，这些点分别与A、B两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．
我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．
如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等．
利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．
例 题2
如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？
「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？
练 习2
如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
例题3
如 图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？
练 习3
如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？
在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进
而寻找同底等高、面积相等的三角形．
例题4
如 图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点，已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的三角形一共有哪几个？
「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！
练习4
如 图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？
画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．
在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化．
例题5
如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．
「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！
如 右图，梯形ABCD中，对角线相交于O点，由于AD与BC平行，那么就有△ABC与△DBC同底等高、面积相等，△ABD与△ACD同底等高、面积相等．
那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC与△BCD都包含有△OBC，而△ABC与△BCD面积相等，那么就有△ABO与△CDO面积相等．
我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO与△CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”．
“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单．
例题6
如 图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积是多少？
「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？
课堂内外
蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一．
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开．
这 个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点．
从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得．
实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可．
这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”．
混沌论中的“蝴蝶定理”：
数学的一门分支是混沌论．混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．
混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．
西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国．
作业
如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE的面积是多少平方厘米？
如图，长方形ABCD的面积为6，平行四边形BECF的面积为多少？
如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？
如 图，长方形的长为16，宽为5．阴影三角形的面积和为多少？
如 图，直角梯形ABCD中， ， ，BD和CD垂直．那么三角形ABC的面积是多少？
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...
【320002】【课本】四年级上第19讲_火车行程进阶
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“火车行程进阶”展开，主要考察学生对火车行程问题的深入理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握火车行程问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对火车行程问题的理解，又培养学生的应用能力。...
【320000】【课本】四年级上第17讲_复杂竖式
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第十七讲 复杂竖式
数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．
本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．
竖式问题常见突破口有：
首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；
位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；
相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．
在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．
有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．
对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们转化成基本问题加以解决．
例
×
2
8
6
题1
请将右面的竖式补充完整．
「分析」比较一下“□□□”和“□8”，这两个数分别是怎么来的呢？能得出什么结论呢？
练
×
8
习1
请将右面的竖式补充完整．
找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
例题2
在
A
B
×
C
D
1
1
D
D
8
图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A、B、C、D各代表什么数字？（请写出所有可能）
「分析」多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加法竖式．从哪部分更容易找到突破口呢？
练
A
B
×
C
D
2
6
D
D
1
习2
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数 是多少？
对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个不同的一位数，所得结果的关系或差异．
例题3
×
3
0
8
5
0
4
7
2
3
2
4
8
如图所示是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立．
「分析」中间的三个乘积有什么大小关系呢？
×
2
1
9
8
1
练习3
请将右面的竖式补充完整．
与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．
例 题4
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
「 分析」除数是个三位数，它与商的百位和十位的乘积分别是234和351，你能求出除数是多少吗？
练习4
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
例
×
3
2
9
4
5
5
题5
请把图中的乘法竖式补充完整．
「分析」哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对比三个乘积，为什么有些是三位数，有些是四位数？你能填出第一个乘数的百位吗？
孤独的数字
下面是九个除法算式，它们在计算过程中分别只有l、2、3、…、7、8、9中的一个数字，要求根据除法运算规律确定出算式中的每一个未知数字．这是一些十分有趣的题目．
例 题6
请把图中的除法竖式补充完整．
「分析」这个竖式中几乎都是空格，我们只好观察位数信息．竖式中包含了五个减法，发现什么熟悉的突破口了吗？
课堂内外
细说谜语
谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“廋辞”或“隐语”．它起源于春秋战国，那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜语．汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的文字谜．南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟．隋唐时谜语由民间进入宫廷，许多皇帝都喜欢猜谜．
北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐趣．南宋时，每逢元宵节，人们将自己制作的谜语挂在花灯上，供人们边观灯边猜谜取乐．南宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”．明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并出现了研究谜语制作的专门著作．谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式，并一直流传至今．
谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎．在中国已经有2500年历史了，到清代其体系已经完备．谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱．
谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜等等．并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填词一样）．
谜语构成有四大要素：
谜面：是给猜谜者了解意图的谜题；
谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格 秋千格等）；
谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字 打一城市名等）；
谜底：是谜语的答案．
猜谜语之前，首先要看清楚谜面，再看看有没有谜格的要求，下来就看谜目是什么了．如果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了．
例如：“颜料门市部”（打国家名字一）——以色列
谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列．
顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样
的颜料啦．
作业
在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么第二个乘数是多少？
在左下图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．则乘积是多少？
在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？
在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么被除数是多少？
在 右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么被除数是多少？
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...
【320001】【课本】四年级上第18讲_火车行程初步
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“火车行程初步”展开，主要考察学生对火车行程问题的理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握火车行程问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对火车行程问题的理解，又培养学生的应用能力。...【319997】【课本】四年级上第14讲_年龄问题
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“年龄问题”展开，主要考察学生对年龄问题的理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握年龄问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对年龄问题的理解，又培养学生的应用能力。...
【319999】【课本】四年级上第16讲_多位数巧算
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“多位数巧算”展开，主要考察学生对多位数计算的理解和应用能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握多位数计算的技巧，如凑整法、叠数分拆等，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对多位数计算的理解，又培养学生的应用能力。...【319998】【课本】四年级上第15讲_逻辑推理一
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第十五讲 逻辑推理一
逻辑学是一门思维科学，它的研究对象是人们的思维形式及其规律．逻辑学主要包括形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑，我们学习的逻辑推理主要是形式逻辑中的推理部分．有一位家喻户晓的人物是演绎推理方面的大师，他就是江户川柯南！
你想成为小柯南吗？跟着我们一起学习吧！
首先，我们看一下简单的真假话问题．一句话不是真话，就是假话．这在逻辑学中被称为排中律．判断真假是逻辑推理中最基本的问题之一．
想一想
现在有三个王国的人，一个来自真话王国，只说真话；一个来自谎话王国，只说假话；还有一个来自现代王国，是正常人，有时说真话有时说假话．现在有一个人微笑着对小柯南说：“我是骗子．”你能猜出他是哪个国家的人吗？
例题1
甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我是牧师．”乙说：“我是骗子．”丙说：“我是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？
「分析」这三句话哪句是真话？哪句是假话？
练习1
甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我不是牧师．”乙说：“我不是骗子．”丙说：“我不是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是赌棍？
我们在进行逻辑推理时，往往还需要应用假设法分析问题，要考虑全面．既要考虑到所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况．
例题2
有甲、乙、丙三名学生一起到动物园看到一只动物．甲判断：“不是鸡，不是鸭．”乙判断：“不是鸡，而是鹅．”丙判断：“不是鹅，而是鸡．”经饲养员的证实，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错．那么这只动物是什么呢？
「分析」谁说的全对呢？不妨假设一下．
练习2
某地质学院的3名学生对一种矿石进行分析．甲判断：“不是铁，不是铜．”乙判断：“不是铁，而是锡．”丙判断：“不是锡，而是铁．”经化验证明，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错．那么谁说对了一半？
当甲说A这次考试考了第一名，乙说A这次考试不是第一名，这两个人中间肯定有一个人说了真话，一个人说了假话．有时候我们会利用一些相互矛盾的话找出说话的人有几个说真话的人和几个说假话的人，从而找到突破口．
例题3
某校数学竞赛，A、B、C、D、E、F、G、H这8位同学获得前八名.老师让他们猜一下谁是第一名. A说：“F或者H是第一名．”B说：“我不是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F：“我不是第一名，H也不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师指出：8人中有3人猜对了．问：第一名是谁？
「分析」这8位同学中一定有一人是第一名，对第一名逐个试验，似乎可以解决问题．有没有更简单的方法呢？这8个人说的话中有没有哪些人意见相同？有没有哪些人意见相反？
练习3
小刚、小李、小杨、小王4个人中有一位打破了玻璃．老师问：“这是谁干的？”小王说：“不是我干的．”小刚也说：“不是我干的．”小李说：“是小王干的．”小杨说：“是小李干的．”已知他们4个人中有且仅有一个人没有说真话，那么谁打碎了玻璃？
对于多对多的逻辑推理问题，通常状况下都可以通过列表法分析．虽然分析过程没有变化，但是借助表格我们可以把条件之间的联系变得更加清晰，这正是列表法的优势．
例题4
徐、王、陈、赵四位师傅分别是木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷．已知：
①木工只和车工下棋，而且总是输给车工；
②王、陈两位师傅和木工经常一起看球；
③陈师傅与电工下棋互有胜负；
④徐师傅比赵师傅棋艺高很多．
问：徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？
「分析」这是一个多对多的逻辑推理问题，我们可以用列表分析的方法来解决．比如根据条件②，王师傅和陈师傅都不是木工，我们可以在相应的格子中画上“×”．
练习4
甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，并决出了一、二、三、四名．已知：甲比乙的名次靠前；丙、丁喜欢一起踢足球；乙、丁每天一起骑自行车上班；第二名不会骑自行车，也不爱踢足球；第一、三名在这次比赛之前并不认识．请你按照名次给出他们的排名．
例题5
甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计．甲说：“A先生有500本书．”乙说：“A先生至少有1000本书．”丙说：“A先生的书不到2000本．”丁说：“A先生最少有1本书．”实际上这四个人的估计中只有一句是对的．问：A先生究竟有多少本书？
「分析」这四句话中只有一句是对的，是哪句呢？大家不妨用假设法试着分析．
例题6
有三户人家，父亲分别姓王、张、陈，母亲分别姓刘、李、胡，每家一个孩子，分别叫明明（女）、宁宁（女）、松松（男）．已知：
①王家和李家的孩子都参加了女子体操队；
②张家的女儿不叫宁宁；
③陈和胡不是一家．
请问：哪些人是一家？
「分析」本题的条件很杂，既有父母的姓氏，又有孩子的名字和性别，还能用列表法解决吗？大家不妨试一试．
课堂内外
哪 个下落得快？
古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前前384-322年）认为，物体从高处落下，重的物体下落得快，轻的物体下落得慢．
亚里士多德在当时被公认为最博学的人，他所说的结论，没有人不相信，更没有人敢反驳．两千年过去了，直到1590年的某一天，年仅26岁的伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）却推翻了亚里士多德的结论．
伽利略发现：
（1）假设亚里士多德的结论是对的，则一块10磅
重的物体会比一块1磅重的物体下落得快．
（2）把一块10磅重的物体和一块1磅重的物体绑在一起，和另一块
10磅重的物体同时往下丢．根据亚里士多德的观点，会发生两种现象：
A：合起来重11磅的物体，比10磅重的物体下落得快，因为11磅更重．
B：合起来重11磅的物体，比10磅重的物体下落得慢．因为其中较轻的
1磅重的物体会因为下落较慢而拉扯10磅重的物体，减缓它的下落速度，结果整体速度反而变慢．
由此可见，如果亚里士多德的说法是对的，将会得出A和B两个自相矛盾的结论．因此，亚里士多德的说法是错误的．
1590年，伽利略在比萨塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，得出了重量不同
的两个铁球同时下落的结论，从此推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说，纠正了这个持续了1900多年
之久的错误理论．
作业
一天，小黄遇到了疯子、傻子、骗子各一个，傻子只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一个人说：“我和第二个人是兄弟．”第二个人说：“我是骗子．”第三个人说：“傻子和疯子是兄弟．”究竟哪个人是骗子？
甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．请问：丙的号码是几号？
赛马比赛前四名观众给A、B、C、D四匹马排名次，甲说：“第一名不是A就是C”；乙说：“B跑的比D快”；丙说：“如果A得第一，C就得第二”；丁说：“B、D都不会得第三”；结果四个人谁也没猜错，那么四匹马的名次是什么？
甲、乙、丙三位老师教五年级三班的语文、数学和外语．已知甲老师上课全用汉语，外语老师是一个学生的哥哥，丙是一位女老师，她比数学老师活泼，那么乙老师教什么课？
甲、乙、丙三人分别是一班、二班和三班的学生，在校运动会上他们分别获得跳高、百米和铅球冠军．已知：（1）甲不是百米冠军；（2）一班的不是铅球冠军；（3）二班的是百米冠军；（4）乙既不是二班的也不是跳高冠军；问：他们三人分别是哪个班的？分别获得哪项冠军？
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...【319996】【课本】四年级上第13讲_变倍问题
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“变倍问题”展开，主要考察学生对变倍问题的理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握变倍问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对变倍问题公式的记忆，又培养学生的应用能力。...【319994】【课本】四年级上第11讲_整数数列计算
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“整数数列计算”展开，主要考察学生对等差数列、平方数列等整数数列的计算方法和技巧，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握整数数列的计算方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对数列计算公式的记忆，又培养学生的应用能力。...【319995】【课本】四年级上第12讲_乘法原理进阶
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“乘法原理进阶”展开，主要考察学生对乘法原理的深入理解和应用能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握乘法原理的使用条件和方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对乘法原理的理解，又培养学生的应用能力。...【319993】【课本】四年级上第10讲_游戏策略
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第十讲 游戏策略
对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．
我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）．那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键．
需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．
例题1
有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．
练习1
有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．
利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以 的余数枚棋子，让对方面对 的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．
例题2
现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？
「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？
练习2
现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？
在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．
在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．
例题3
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．
「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？
练习3
甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．
例
B
A
题4
如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？
「
B
A
分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格B就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？
练习4
如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？
例题5
如
B
A
下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：
（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？
（2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？
「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么B为必胜格，则由B可以直接找出多少个必败格呢？
例题6
桌 上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：
①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；
②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；
③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．
如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？
「分析」直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？两行或两列呢？你能发现什么规律呢？
在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态．“知己知彼，百战不殆．”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．
课堂内外
田忌赛马
田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．
将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败
了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．
这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”
孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”
孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”
田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”
孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换．”
田忌没有信心地说：“那还不是照样输！”
孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧．”
齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”
田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”
齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”
一声锣响，赛马又开始了．
孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．
接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．
第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，
齐威王目瞪口呆了．
比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．
还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．
作业
10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？
现有200个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．
（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；
（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．
甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？
如下图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...
【319992】【课本】四年级上第09讲_统筹规划
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第九讲 统筹规划
统筹方法，是一种研究如何安排工作进程的方法．为什么要合理安排工作进程呢？我们举一个例子．
比如，想泡壶茶喝．茶叶有，但还没有烧水，而且水壶、茶壶、茶杯都没有洗过．怎么办？
办法一：洗水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水烧开了，泡茶．
办法二：洗水壶、茶壶、茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；等水烧开了，泡茶．
办法三：洗水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，洗茶壶、茶杯，拿茶叶，再泡茶．
我们很容易看出第一种办法最好，后两种办法多多少少都浪费了时间．
在这个简单的例子中，有些工作可以同时做，比如烧水时可以洗茶壶、拿茶叶．有些工作有先后顺序的要求，比如洗水壶要安排在烧开水之前，而不能水烧开了再去洗水壶．如何根据实际情况，合理地安排工作顺序，使得总时间或总花费最少，正是统筹法研究的问题．
例题1
萱萱中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．请问萱萱烧好这道菜最短需要多少分钟？
「分析」有哪些工序能同时做？哪些工序必须考虑先后顺序？
练习1
妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？
有很多工作需要做时，我们把能同时做的工作同时做，可以节约时间．如果都不能同时做，就要合理安排工作的顺序．
例题2
小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候所用时间的总和最少？最少是多少？（只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间）
「分析」如果只有A、B两个顾客，为了让等候时间最少，应该安排谁先买？如果只有A、B、C三个顾客呢？五个顾客呢？
练习2
理发店里只有一位理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发．由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、12、16、20、25分钟．怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人排队等候所用时间的总和最少？最少是多少？
在统筹规划问题中，我们往往需要找到最短时间、最短距离、最少花费等最优方案．在这类问题中，比较和调整是常用技巧．当我们不能直接得到最优方案时，可以从一个可行的方案出发，通过适当的调整让方案更优．如果任何调整都不能使方案更优，此时的方案就是最优方案．
例题3
下 图是一张道路图，每段路旁标注的数字表示小山羊走完这段路所需的分钟数．请问：小山羊从A出发走到B最快需要多少分钟？
「分析」走完右下角的两条路各需要3分钟和4分钟，这两条路的途中没有其他岔路可以走，能否把这两条路看成一条用时7分钟的路呢？小山羊走不走这条路呢？
练 习3
下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）．邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？
例题4
如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米．现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？这时距离之和是多少？
「分析」A、B、C、D、E五所学校，把车站建在位于中间的C学校门口时总距离是最小的吗？用不用把车站向左调整到B？或者向右调整到D呢？
练习4
有八个村庄 ， ， ， ， ， ， ， 分布在公路两侧，由一些小路与公路相连．现要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小，车站应设在哪里？
例题5
北
终点
起点
武汉
西安
北京
5
9
上海
7
10
京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台．这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元？
「分析」无论是北京还是上海，把设备运到武汉都比运西安更便宜，但又不能不给西安运．从北京或上海运往西安的运费分别是每台900元和1000元，是不是西安的5台都由北京提供呢？这样会使总运费最少吗？
例题6
西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱？
「分析」买东西要想花钱少，必然是东西越便宜越好．5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，这两种哪一种更便宜呢？能否全买便宜的这种呢？
课堂内外
丁谓施工
宋代沈括的《梦溪笔谈》记载有这样一个故事：祥符中，禁火．时丁晋公主营复宫室，患取土远，公乃令凿通衢取土，不日皆成巨堑．乃决汴水入堑中，引诸道竹木排筏及船运杂材，尽自堑中入至宫门．事毕，却以斥弃瓦砾灰尘壤实於堑中，复为街衢．一举而三役济，计省费以亿万计．
描述的是中国古代有一个丁谓施工的故事，蕴含着运筹学的思想．
传说宋真宗在位时，皇宫曾起火．一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟．为了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程．当时，要完成这项重大的建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批木材和石料；第三，要运来大量新土．不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及到大量的运输问题．如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响．
丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题．第二步，从城外把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料的运输问题．最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟重新变为平地．
简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟（取土）→引水入沟（水道运输）→填沟（处理垃圾）．
按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使
城内的交通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案．
实可谓“丁渭施工，一举三得”，成为中国古代项目管理实践中非常典型的进行
统筹规划的案例．
作业
早晨，妈妈起来准备早饭．她烧开水需要8分钟，灌开水需要1分钟，擦桌子需要5分钟，下楼拿牛奶需要6分钟，煮牛奶需要6分钟．如果灶台上只有一个灶头，请问妈妈准备早饭最少需要多少分钟？
四个人各拿一个大小不同的水壶在饮水机前打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和5分钟．由于饮水机只有一个出水口，请你适当安排他们打水的顺序，使所有人排队和打水所用时间的总和最少．这个总时间最少是多少？
下图是萱萱家附近的道路图，其中A地是萱萱家，B地是学校．各段路的路况不同，萱萱走每段路所用的时间都已经标在图中（单位：分钟）．请问萱萱从家走到学校最少需要多少分钟？
一条直街上有五栋楼，相邻两栋楼的距离都是50米．这五栋楼从左到右编号为l、2、3、4、5，楼里分别有1名、2名、3名、4名、5名职工在A工厂上班．A厂计划在直街上建一个班车站接送这五栋楼的职工上下班，为使这些职工到班车站所走的路程之和最小，车站应建在距l号楼多少米处？
中国和美国分别制成了同一型号的大型电子计算机若干台．除本国外，中国可以支援外国100台，美国可以支援外国40台．现在决定给日本80台，印度60台．若每台大型计算机的运费如下表所示（单位：万元），应该如何调运才能使总运费最省？请算出最少的运费．
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...
【319991】【课本】四年级上第08讲_数列规律计算
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“数列规律计算”展开，主要考察学生对数列规律的识别、分析和计算能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握数列规律的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对数列规律的理解，又培养学生的应用能力。...【319989】【课本】四年级上第06讲_相遇问题
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“相遇问题”展开，主要考察学生对相遇问题的理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握相遇问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对相遇问题公式的记忆，又培养学生的应用能力。...
【319990】【课本】四年级上第07讲_追及问题
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“追及问题”展开，主要考察学生对追及问题的理解和解决能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握追及问题的解题方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对追及问题公式的记忆，又培养学生的应用能力。...
【319988】【课本】四年级上第05讲_加法原理与乘法原理
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“加法原理与乘法原理”展开，主要考察学生对加法原理、乘法原理以及它们在计数问题中的应用能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握加法原理和乘法原理的使用条件和方法，培养学生的逻辑思维和分析能力。题目设计巧妙，既考察学生对原理的理解，又培养学生的应用能力。...【319986】【课本】四年级上第03讲_基本直线形面积公式
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“基本直线形面积公式”展开，主要考察学生对正方形、长方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式的理解和应用能力，涵盖基础练习、例题解析和作业题，难度适中。
试卷亮点在于通过丰富的图形和实际问题，引导学生掌握直线形面积的计算方法，培养学生的几何直观和空间观念。题目设计巧妙，既考察学生对面积公式的记忆，又培养学生的分析和应用能力。...【319984】【课本】四年级上第01讲_整数计算综合
2025-01-08试题简介
w
本套试卷围绕“字母竖式”展开，主要考察学生对字母竖式问题的理解和解决能力，涵盖加法、减法、乘法竖式以及文字题等多种题型，难度较高。
试卷亮点在于通过丰富的例题和练习，引导学生掌握字母竖式的解题技巧，如进位、借位、奇偶性分析等。题目设计巧妙，既考察学生的逻辑推理能力，又培养学生的数学思维和分析能力。...【319987】【课本】四年级上第04讲_字母竖式
2025-01-08www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
w
第四讲 字母竖式
一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字．
在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口．尤其是相同数位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用．
例题1
在
兵
炮
马
卒
+
兵
炮
车
卒
车
卒
马
兵
卒
下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？
「分析」观察首位，“车”是加出来的呢？末位三个数字都是“卒”，那“卒”又是多少呢？
练习1
在
A
A
B
+
C
D
E
F
G
D
H
I
下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．其中“G”代表5，“D”代表0，“H”代表6．请问：“I”代表的数字是多少？
例题2
在
炮
兵
兵
炮
-
兵
马
兵
马
兵
马
下图的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？
「分析」观察百位，相同的数字差为0，那么“马”可以是0吗？究竟是怎么回事呢？
练习2
下
t
t
v
t
t
-
v
t
s
t
s
t
v
a
面竖式中，每个字母代表一个数字．a______，s______，t______，v______．
例题3
A
D
B
A
D
C
A
+
E
B
A
C
E
C
E
在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D、E分别代表什么数字？
「分析」题目给的条件“进位为2、E是奇数”是解决本题的关键哦！
练
喜
欢
欢
喜
+
喜
欢
人
人
喜
习3
在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？
一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些．乘法竖式中不仅有第一个乘数与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法．
例题4
在
A
B
C
D
C
D
E
A
C
7
E
D
F
D
B
C
右下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么 所代表的六位数是多少？
「
A
B
A
B
C
A
B
B
D
E
A
B
分析」观察个位， 、 ，你能判断出C是多少吗？
练习4
在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么 所代表的五位数是多少？
在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题．在这类题目中并没有明确给出竖式，而是要大家根据题目条件写出正确的竖式来．这就好比是“翻译”，我们要把“文字”翻译成“数学语言”，然后再推理计算．
例题5
（1）一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？
（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少？
「 分析」在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考虑．
在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是 ，再列出竖式分析．
例题6
下
江
峡
美
×
峡
江
美
美
江
峡
图中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来．
「分析」本题已知条件大都集中在个位，观察“ ”、“ ”、“ ”，你能判断出“美”是多少吗？“江”和“峡”又有什么特点呢？
课堂内外
结绳记数
结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳．看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”
回头我们再来看一件有趣的事情．在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者，图结绳而记之也．所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了．
作业
在下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问： 表示的四位数是多少？
在左下图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．如果C是一个偶数，请问三位数 是多少？
在下面的减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：六位数 是多少？
下图的竖式中，每一个英文字母代表0，1，2，…，9中的一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问字母F代表数字几？
一个六位数的个位数字是7，将这个7移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的5倍，请问：原六位数是多少？
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷...【319985】【课本】四年级上第02讲_和差倍中的分组比较
2025-01-08试题简介
w
本套试卷为四年级数学上册期末测评题型透析+高分突破卷（一），综合考察学生对大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、条形统计图以及优化等知识点的掌握情况，涵盖选择、填空、判断、计算、作图和应用题型，难度适中。
试卷亮点在于综合性强，覆盖了多个单元的重点内容，能够全面检测学生的学习情况。同时，题目设计贴近生活实际，如购物、行程计算、数据统计等，使学生在解决实际问题中巩固知识，培养应用能力。...【319983】【精英突破—百分冲刺】四年级数学上册期末测评题型透析+高分突破卷（一） 人教版（含
2025-01-08试题简介
w
本套试卷为四年级数学上册期末测评题型透析+高分突破卷（一），综合考察学生对大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、条形统计图以及优化等知识点的掌握情况，涵盖选择、填空、判断、计算、作图和应用题型，难度适中。
试卷亮点在于综合性强，覆盖了多个单元的重点内容，能够全面检测学生的学习情况。同时，题目设计贴近生活实际，如购物、行程计算、数据统计等，使学生在解决实际问题中巩固知识，培养应用能力。...
【319982】【精英突破—百分冲刺】四年级数学上册期末测评题型透析+高分突破卷（三） 人教版（含
2025-01-08试题简介
w
本套试卷为四年级数学上册期末测评题型透析+高分突破卷（三），综合考察学生对大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、条形统计图以及优化等知识点的掌握情况，涵盖选择、填空、判断、计算、作图和应用题型，难度适中。
试卷亮点在于综合性强，覆盖了多个单元的重点内容，能够全面检测学生的学习情况。同时，题目设计贴近生活实际，如借阅图书统计、行程计算、数据统计等，使学生在解决实际问题中巩固知识，培养应用能力。...
- 1【335519】四年级语文上学期期中测试卷3_新人教版
- 2【322203】【期末专项】四年级上册英语专项卷四： 阅读与写作 人教PEP版（含参考答案）
- 3【325644】四年级上册语文第一单元基础突破测试卷部编版（含答案）
- 4【322151】期末测试卷2
- 5【320260】【课本】四年级上第07讲_追及问题
- 6【320162】四年级数学上册典型例题系列之第四单元三位数乘两位数应用题部分（解析版）
- 7【322081】课时测评Unit1《My classroom》PartA练习及答案 (1)
- 8【320053】2 认识公顷、平方千米
- 9【320458】四年级数学上册典型例题系列之专项练习五（解析版）
- 10【326143】课内阅读专项
- 11第二单元 达标测试卷(2)
- 12【335569】浙江省2024四年级语文下册_第二单元_综合素质达标_新人教版