【332814】2.4 用尺规作图

2.4 用尺规作图

一、单选题

1.如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（　　）
 

A. 尺规作线段的垂直平分线
B. 尺规作一条线段等于已知线段
C. 尺规作一个角等于已知角
D. 尺规作角的平分线

2.下列尺规作图的语句正确的是（   ）

A. 延长射线AB到D
B. 以点D为圆心，任意长为半径画弧
C. 作直线AB=3cm
D. 延长线段AB至C，使AC=BC

3.已知三边作三角形，用到的基本作图是（   ）

A. 作一个角等于已知角                                            B. 平分一个已知角
C. 在射线上截取一线段等于已知线段                     D. 作一条直线的垂线

4.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB=10cm，BC=4cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为（　　）

A. 3cm                              B. 7cm                              C. 3cm或7cm                              D. 5cm或2cm

5.用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　）

A.          B.          C.          D. 

6.作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（　　）作的．

A. AAS                                     B. ASA                                     C. SAS                                     D. SSS

7.作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（　　）

A. SSS                                     B. SAS                                     C. ASA                                     D. AAS

8.如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹 的正确画法是（   ）

A. 以点E为圆心，线段AP为半径的弧
B. 以点E为圆心，线段QP为半径的弧
C. 以点G为圆心，线段AP为半径的弧
D. 以点G为圆心，线段QP为半径的弧

9.在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，
则∠BDC的度数为（　　）
 

A. 100°                                     B. 65°                                      C. 75°                                     D. 105°

10.如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法错误的是（　　）

A. ∠BAD=∠CAD                                               B. 点D到AB边的距离就等于线段CD的长
C. S_△ABD=S_△ACD                                                   D. AD垂直平分MN

二、填空题

11.如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________ ．

12.在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为________ ．

13.如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是________ ．

14.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法________ ．

15.数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________ 

三、解答题

16.综合题。

（1）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AD⊥l于点D，作BE⊥l于点E.求证：DE=AD+BE.

（2）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°.用尺规作图法作出△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（3）若AB=10，CD=3，求△ABD的面积.

17.如图，已知△ABC中，AB=2，BC=4
（1）画出△ABC的高AD和CE；
（2）若AD= ， 求CE的长．

四、作图题

18.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
已知：∠AOB，
求作：∠P，使得∠P=∠AOB．

19.用直尺和圆规作一个角等于∠MON．（不写步骤，保留作图痕迹）

20.已知∠AOC，请用尺规作图的方法作出该角的角平分线．

21.按要求作图．（保留作图痕迹，不必写作法）

（1）平面上有A，B，C三点，如图1所示．画直线AC，射线BC，线段AB，在射线BC上取点D，使BD=AB；

（2）如图2，用直尺和圆规作一个角，使它等于∠a．

五、综合题（共1题；共10分）

22.如下图，按要求作图：

（1）.过点 作直线 平行于 ;

（2）.过点 作 ,垂足为 .

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【解析】【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．
故选：A．
【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的； B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB=3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC=BC是错误的；
故答案为：B．
【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．

3.【答案】C

【解析】【分析】根据三边做三角形用到的基本作图方法即可判断。
【解答】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选C．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．

4.【答案】A

【解析】【解答】解：如图所示，AC=10+4=14cm，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO= AC=7cm，
∴OB=AB﹣AO=3cm．
故选A．
 
【分析】由已知条件可知，AC=10+4=14，又因为点O是线段AC的中点，可求得AO的值，最后根据题意结合图形，则OB=AB﹣AO可求．

5.【答案】C

【解析】【解答】解：(1)．以AB为圆心，大于 AB为半径作弧相交于E、F，
(2)．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．

【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．

6.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，作已知∠AOB的平分线．
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点D，E．
②分别以D，E为圆心，以大于 DE长为半径弧，两弧在∠AOB内交于点C．作射线OC．则OC就是∠AOB的平分线．
故用到三角形的全等判定的SSS法．
故选D．

【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．

7.【答案】A

【解析】【解答】解：作一个角等于已知角”用到了全等三角形的判定方法是：边边边，
故选：A．
【分析】根据作一个角等于已知角可直接得到答案．

8.【答案】D

【解析】【解答】解：先以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点Q，P； 再以点E为圆心，AQ的长为半径画弧，交AC于点G，
再以点G为圆心，PQ的长为半径画弧．
故答案为：D．
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．

9.【答案】D

【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=50°，
由题意可得：BD平分∠ABC，
则∠ABD=∠CBD=25°，
∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD=105°．
故选：D．
【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠ABC=∠C=50°，再利用角平分线的性质与作法得出即可．

10.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意可得AD平分∠CAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD，故A说法正确；
∵AD平分∠CAB，
∴点D到AB边的距离就等于线段CD的长，故B说法正确；
∵点D到AB边的距离就等于线段CD的长，AB＞AC，
∴S_△ABD＞S_△ACD ， 故C说法错误；
在△AMO和△ANO中，
，
∴△AMO≌△ANO（SAS），
∴MO=NO，∠MOA=∠NOA，
∵∠MOA+∠NOA=180°，
∴∠MOA=90°，
∴AO⊥MN，
∴AD垂直平分MN，故D说法正确．
故选：C．

【分析】根据作图方法可得AD平分∠CAB，由角平分线的定义和性质可得A、B说法正确，根据三角形的面积公式可得C错误，根据题目所给条件可证明△AMO≌△ANO，进而可得MO=NO，∠MOA=∠NOA，从而证得D选项说法正确．

二、填空题

11.【答案】10

【解析】【解答】解：由作图可知CD是线段AB的中垂线，
∵AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∵AB=4，CD=5，
∴S_菱形ACBD= ×AB×CD= ×4×5=10，
故答案为：10．
【分析】由作图可知CD是线段AB的中垂线，四边形ACBD是菱形，利用S_菱形ACBD= ×AB×CD求解即可．

12.【答案】105°

【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，
故答案为：105°．
【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

13.【答案】全等三角形，对应角相等

【解析】【解答】解：连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
  ，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．

【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE=∠BOE．

14.【答案】SSS

【解析】【解答】解：如图所示：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，
射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故答案为：SSS．

【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．

15.【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线

【解析】【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．

三、解答题

16.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90º
∴∠ACD+∠BCE=90º
∵ AD⊥l
∴∠ACD+∠CAD=90º
∴∠CAD=∠BCE
∵BE⊥l，AD⊥l
∴∠ADC=∠BEC=90º
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴AD=CE，CD=BE
∵DE= CD+ CE
∴DE=AD+BE．
（2）
（3）解：过点D作DE⊥AB于E

∵DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=3
∴

【解析】【分析】（1）根据“同角的余角相等”可证得∠CAD=∠BCE，再由AC=BC，∠ADC=∠BEC=90º，可证明△ACD≌△CBE，则DE=AD+BE=CD+ CE．（2）角平分线的尺规作图方法，过A画弧交角两边的两点，再分别这两点为圆心画两条弧交于一点，连接A与这一点，交BC于点D，即AD为该角的角平分线；（3）由角平分线的性质，可作DE⊥AB于E，DE=DC=3，则可求三角形ABD的面积.

17.【答案】解：（1）如图：
（2）∵S_△ABC= ×AD×BC= AB×CE，
∴ × ×4= ×2×CE，
∴CE=3．

【解析】【分析】（1）利用钝角三角形边上的高线作法，延长各边作出即可；
（2）利用三角形的面积公式可得 ×AD×BC= AB×CE，代入数据可得答案．

四、作图题

18.【答案】解：如图，∠P为所作．

【解析】【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠P=∠AOB．

19.【答案】解：如图所示：∠ABC即为所求．

【解析】【分析】本题考查了尺规作图的基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解题的关键.

20.【答案】解：射线OP就是所求．

【解析】【分析】本题考查了尺规作图的基本作图—平分已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图.

21.【答案】（1）解：如图1所示：

（2）解：如图2所示：

【解析】【分析】本题考查了尺规作图的基本作图，熟练掌握直线、射线、线段的画法，及作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角的方法是解题的关键.

五、综合题

22.【答案】（1）解：过点 作直线 平行于

（2）解：过点 作 ,垂足为 .

【解析】【分析】（1）根据平行线的作法作图即可；
（2）根据作垂线的步骤，并且标注直角的符号.