【350120】第3章 知识点梳理

第三章 因式分解

1. 因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式 几个整式的积

例：

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

例： 的公因式是 ．

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分 都含有因式 ，故多项式的公因式是2 .

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把 分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

解：

例2：把多项式 分解因式

解析：由于 ，多项式 可以变形为 ,我们可以发现多项式各项都含有公因式（ ）,所以我们可以提取公因式（ ）后,再将多项式写成积的形式.

解：

=

=

例3：把多项式 分解因式

解： =

（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解

解： =

例2：因式分解

解： =

（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式 分解因式

解： = =

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

例：将多项式 因式分解

解：

=

（4）十字相乘法（形如 形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

方法：常数项拆成两个因数 ，这两数的和 为一次项系数

例：分解因式 分解因式

补充点详解 补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式， 我们可以将100分解成p×q的形式，

使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。

所以将多项式 可以分 所以将多项式 可以分

解为 解为

5 2

-6 50

3.因式分解的一般步骤：

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

1. 例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

1. 分解因式：

⑴ ( 为正整数)

⑵ ( 、 为大于1的自然数)

1. 分解因式： ， 为正整数.

2. 先化简再求值， ，其中 ， ．

• • • • 求代数式的值： ，其中 .

3. 已知： ，求 的值.

• • • • • 分解因式： .

公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

一些需要了解的公式：