【332089】人教版九年级上册 期中试卷（1）

期中试卷（1）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）下面的图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）

A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2

3．（3分）将抛物线y=x²﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）

A．y=（x+1）²﹣13 B．y=（x﹣5）²﹣3 C．y=（x﹣5）²﹣13 D．y=（x+1）²﹣3

4．（3分）关于x的一元二次方程x²+ax﹣1=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

5．（3分）方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（　　）

A．x=1 B．x=﹣1 C．x=1或x=﹣2 D．x=﹣1或 x=﹣2

6．（3分）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x²） D．y=a（1﹣x）²

7．（3分）若A（﹣4，y₁），B（﹣3，y₂），C（1，y₃）为二次函数y=x²+4x﹣5的图象上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₁＜y₃ C．y₃＜y₁＜y₂ D．y₁＜y₃＜y₂

8．（3分）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b²；

②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．（3分）某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（　　）

A．y=﹣（x﹣ ）²+3 B．y=﹣3（x+ ）²+3 C．y=﹣12（x﹣ ）²+3 D．y=﹣12（x+ ）²+3

10．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　）

A． B．6 C． D．

　

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．

11．（3分）二次函数y=x²﹣4x﹣3的顶点坐标是（　　，　　）．

12．（3分）已知一元二次方程x²+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=　　．

13．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于　　度．

14．（3分）若将方程x²+6x=7化为（x+m）²=16，则m=　　．

15．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米²，求修建的路宽．设路宽为xm，可列方程　　．

16．（3分）已知m是关于x的方程x²﹣2x﹣3=0的一个根，则2m²﹣4m=　　．

17．（3分）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　　．

18．（3分）二次函数y=ax²+bx+c图象上部分点的对应值如下表：

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4
y	6	0	﹣4	﹣6	﹣6	﹣4	0	6

则使y＜0的x的取值范围为　　．

　

三、解答题（一）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（8分）按要求解一元二次方程：

（1）x²﹣10x+9=0（配方法）

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）

20．（8分）选择适当的方法解方程：

（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

（2）2x²﹣3x+1=0．

21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB₁C₁，再作出△AB₁C₁关于原点O成中心对称的△A₁B₂C₂．

（2）点B₁的坐标为　　，点C₂的坐标为　　．

22．（5分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求该二次函数图象与y轴的交点坐标．

23．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？

　

四、解答题（二）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

24．（6分）已知二次函数y=x²﹣2x﹣3．

（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）²+k的形式；

（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．

25．（6分）已知关于x的方程mx²+x+1=0，试按要求解答下列问题：

（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；

（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．

26．（7分）如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）点P为抛物线上一点，若S_△PAB=10，求出此时点P的坐标．

27．（6分）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax⁴+bx²+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x²=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay²+by+c=0，解出y之后代入x²=y，从而求出x的值．例如解：4x⁴﹣8y²+3=0

解：设x²=y，则原方程可化为：4y²﹣8y+3=0

∵a=4，b=﹣8，c=3

∴b²﹣4ac=﹣（﹣8）²﹣4×4×3=16＞0

∴y= =

∴y₁= ，

∴y₂=

∴当y₁= 时，x²=

∴x₁= ，x₂=﹣ ；当y₁= 时，x²=

∴x₃= ，x₄=﹣

小试牛刀：请你解双二次方程：x⁴﹣2x²﹣8=0

归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是　　（选出所有的正确答案）

①当b²﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b²﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b²﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b²﹣4ac＜0．

28．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．

（1）求过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+4的表达式；

（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；

（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

　

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）下面的图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

　

2．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）

A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2

【考点】一元二次方程的一般形式．

【专题】压轴题；推理填空题．

【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．

【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得

x²﹣3x+10=0，

∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

　

3．（3分）将抛物线y=x²﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）

A．y=（x+1）²﹣13 B．y=（x﹣5）²﹣3 C．y=（x﹣5）²﹣13 D．y=（x+1）²﹣3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】几何变换．

【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x²﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．

【解答】解：因为y=x²﹣4x﹣4=（x﹣2）²﹣8，

所以抛物线y=x²﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）²﹣3．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

　

4．（3分）关于x的一元二次方程x²+ax﹣1=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵△=a²+4＞0，

∴，方程有两个不相等的两个实数根．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

　

5．（3分）方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（　　）

A．x=1 B．x=﹣1 C．x=1或x=﹣2 D．x=﹣1或 x=﹣2

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先移项，再提公因式即可．

【解答】解：（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=0，

（x﹣1）（x+1+1）=0，

（x+2）（x﹣1）=0

x+2=0或x﹣1=0，

x=﹣2或1，

故选C．

【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握提公因式的方法是解题的关键．

　

6．（3分）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x²） D．y=a（1﹣x）²

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）²．

【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）²．

则函数解析式是y=a（1﹣x）²．

故选D．

【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．

　

7．（3分）若A（﹣4，y₁），B（﹣3，y₂），C（1，y₃）为二次函数y=x²+4x﹣5的图象上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₁＜y₃ C．y₃＜y₁＜y₂ D．y₁＜y₃＜y₂

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】分别计算x=﹣4、﹣3、1时的函数值，然后比较大小即可．

【解答】解：当x=﹣4时，y₁=（﹣4）²+4×（﹣4）﹣5=﹣5；

当x=﹣3时，y₂=（﹣3）²+4×（﹣3）﹣5=﹣8；

当x=﹣1时，y₃=1²+4×1﹣5=0，

所以y₂＜y₁＜y₃．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

　

8．（3分）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b²；

②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】数形结合．

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．

【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b²﹣4ac＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=﹣1，x₂=3，所以②正确；

∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，

而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，

∴a+2a+c=0，所以③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

9．（3分）某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（　　）

A．y=﹣（x﹣ ）²+3 B．y=﹣3（x+ ）²+3 C．y=﹣12（x﹣ ）²+3 D．y=﹣12（x+ ）²+3

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】待定系数法求解可得．

【解答】解：根据题意设函数解析式为y=a（x﹣ ）²+3，

将点（0，0）代入，得： a+3=0，

解得：a=﹣12，

∴函数解析式为y=﹣12（x﹣ ）²+3，

故选：C．

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

　

10．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　）

A． B．6 C． D．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．

【解答】解：连接BC′，

∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，

∴B在对角线AC′上，

∵B′C′=AB′=3，

在Rt△AB′C′中，AC′= =3 ，

∴BC′=3 ﹣3，

在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3 ﹣3，

在直角三角形OBC′中，OC= （3 ﹣3）=6﹣3 ，

∴OD′=3﹣OC′=3 ﹣3，

∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3 ﹣3+3 ﹣3=6 ．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．

　

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．

11．（3分）二次函数y=x²﹣4x﹣3的顶点坐标是（　2　，　﹣7　）．

【考点】二次函数的性质．

【分析】先把y=x²﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x﹣2）²﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．

【解答】解：∵y=x²﹣4x﹣3

=x²﹣4x+4﹣7

=（x﹣2）²﹣7，

∴二次函数y=x²﹣4x+7的顶点坐标为（2，﹣7）．

故答案为（2，﹣7）．

【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．

　

12．（3分）已知一元二次方程x²+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=　2　．

【考点】根的判别式．

【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac=m²﹣4×1×（m﹣1）=m²﹣4m+4=（m﹣2）²=0，

∴m=2，

故答案为：2．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

　

13．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于　35　度．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．

【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，

∴∠BOD=80°，

∵∠AOB=45°，

则∠AOD=80°﹣45°=35°．

故填35．

【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．注意∠AOD=∠BOD﹣∠AOB．

　

14．（3分）若将方程x²+6x=7化为（x+m）²=16，则m=　3　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【解答】解：在方程x²+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得

x²+6x+3²=7+3²，

配方，得

（x+3）²=16．

所以，m=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如x²+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax²+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x²+px+q=0，然后配方．

　

15．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米²，求修建的路宽．设路宽为xm，可列方程　（30﹣x）（20﹣x）=551　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】应用题．

【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为xm，根据面积可列出方程．

【解答】解：设路宽为xm，那么余下耕地的长为（30﹣x），宽为（20﹣x），

根据面积可列出方程．

（30﹣x）（20﹣x）=551．

故答案为：（30﹣x）（20﹣x）=551．

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是余下耕地的长和宽表示出来，然后根据面积可列出方程．

　

16．（3分）已知m是关于x的方程x²﹣2x﹣3=0的一个根，则2m²﹣4m=　6　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】推理填空题．

【分析】根据m是关于x的方程x²﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m²﹣4m值，本题得以解决．

【解答】解：∵m是关于x的方程x²﹣2x﹣3=0的一个根，

∴m²﹣2m﹣3=0，

∴m²﹣2m=3，

∴2m²﹣4m=6，

故答案为：6．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

　

17．（3分）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　（﹣1，0）　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】根据抛物线的对称性和P（3，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．

【解答】解：由于函数对称轴为x=1，而P（3，0）位于x轴上，

则设与x轴另一交点坐标为（m，0），

根据题意得： =1，

解得m=﹣1，

则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），

故答案是：（﹣1，0）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，要知道，抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称．

　

18．（3分）二次函数y=ax²+bx+c图象上部分点的对应值如下表：

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4
y	6	0	﹣4	﹣6	﹣6	﹣4	0	6

则使y＜0的x的取值范围为　﹣2＜x＜3　．

【考点】二次函数的图象．

【专题】压轴题；图表型．

【分析】由表中数据可知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）、（3，0），然后画出草图即可确定y＜0的是x的取值范围．

【解答】解：由表中数据可知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）、（3，0），

画出草图，可知使y＜0的x的取值范围为﹣2＜x＜3．

【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，利用对称性解答．

　

三、解答题（一）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（8分）按要求解一元二次方程：

（1）x²﹣10x+9=0（配方法）

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【解答】解：（1）x²﹣10x+9=0（配方法）

（x﹣5）²=16，

∴x﹣5=4 或x﹣5=﹣4，

∴x₁=9 或x₂=1．

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）

（x﹣2）（x+1）=0，

∴x﹣2=0或x+1=0，

∴x₁=2或x₂=﹣1．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键．

　

20．（8分）选择适当的方法解方程：

（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

（2）2x²﹣3x+1=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】（1）方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【解答】解：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

（x﹣3）（3x﹣2）=0，

∴x﹣3=0或3x﹣2=0，

∴x₁=3或x₂= ．

（2）2x²﹣3x+1=0．

（x﹣1）（2x﹣1）=0，

∴x﹣1=0或2x﹣1=0，

∴x₁=1或x₂= ．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．

　

21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB₁C₁，再作出△AB₁C₁关于原点O成中心对称的△A₁B₂C₂．

（2）点B₁的坐标为　（﹣2，﹣3）　，点C₂的坐标为　（3，1）　．

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用（1）中所画图形，进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示△AB₁C₁，△A₁B₂C₂，即为所求；

（2）如图所示：B₁（﹣2，﹣3），C₂（3，1）；

故答案为：（﹣2，﹣3），（3，1）．

【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．

　

22．（5分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求该二次函数图象与y轴的交点坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）根据顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a（x+1）²+4（a≠0），然后代入B的坐标求得a的值，从而求得函数的解析式；

（2）在二次函数的解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标，从而求得与y轴的交点坐标．

【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a（x+1）²+4（a≠0）．

∵二次函数的图象过点B（2，﹣5），

∴点B（2，﹣5）满足二次函数关系式，

∴﹣5=a（2+1）²+4，

解得a=﹣1．

∴二次函数的关系式是y=﹣（x+1）²+4；

（2）令x=0，则y=﹣（0+1）²+4=3，

∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）．

【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，抛物线与y轴的交点，以及坐标与图形性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键．

　

23．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得

x（25﹣2x+1）=80，

化简，得x²﹣13x+40=0，

解得：x₁=5，x₂=8，

当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

　

四、解答题（二）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

24．（6分）已知二次函数y=x²﹣2x﹣3．

（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）²+k的形式；

（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可；

（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）y=（x²﹣2x+1）﹣4

=（x﹣1）²﹣4；

（2）令y=0，得x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．

　

25．（6分）已知关于x的方程mx²+x+1=0，试按要求解答下列问题：

（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；

（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】（1）将x=1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；

（2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

【解答】解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，

解得：m=﹣2；

（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b²﹣4ac=1﹣4m＞0，且m≠0，

解得：m＜ 且m≠0．

【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

　

26．（7分）如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）点P为抛物线上一点，若S_△PAB=10，求出此时点P的坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；

（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；

（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S_△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x²+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3．

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）．

（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．

（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AB=4．

设P（x，y），则S_△PAB= AB•|y|=2|y|=10，

∴|y|=5，

∴y=±5．

①当y=5时，x²﹣2x﹣3=5，解得：x₁=﹣2，x₂=4，

此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；

②当y=﹣5时，x²﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；

综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

　

27．（6分）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax⁴+bx²+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x²=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay²+by+c=0，解出y之后代入x²=y，从而求出x的值．例如解：4x⁴﹣8y²+3=0

解：设x²=y，则原方程可化为：4y²﹣8y+3=0

∵a=4，b=﹣8，c=3

∴b²﹣4ac=﹣（﹣8）²﹣4×4×3=16＞0

∴y= =

∴y₁= ，

∴y₂=

∴当y₁= 时，x²=

∴x₁= ，x₂=﹣ ；当y₁= 时，x²=

∴x₃= ，x₄=﹣

小试牛刀：请你解双二次方程：x⁴﹣2x²﹣8=0

归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是　①②③④　（选出所有的正确答案）

①当b²﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b²﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b²﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b²﹣4ac＜0．

【考点】换元法解一元二次方程．

【专题】阅读型．

【分析】先设y=x²，则原方程变形为y²﹣2y﹣8=0，运用因式分解法解得y₁=﹣2，y₂=4，再把y=﹣2和4分别代入y=x²得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．

【解答】解：x⁴﹣2x²﹣8=0

设y=x²，则原方程变为：y²﹣2y﹣8=0．

分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0，

解得，y₁=﹣2，y₂=4，

当y=﹣2时，x²=﹣2，x²+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；

当y=4时，x²=4，解得x₁=﹣2，x₂=2，

所以原方程的解为x₁=﹣2，x₂=2．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④；

故答案为①②③④．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．

　

28．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．

（1）求过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+4的表达式；

（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；

（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）用待定系数法就可求出过B，C三点的抛物线的表达式．

（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．

（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN= MN•OC可以得到S_△AMC=﹣（m﹣4）²+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题

【解答】解：（1）如图1，

∵过B（6，4），C（8，0）两点的抛物线y=ax²+bx+4．

∴ ，

解得 ．

∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=﹣ x²+ x+4

（2）如图2，

由题可得：BQ=6﹣t，CP=t．

当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．

∴6﹣t=t．

解得：t=3．

（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，

设直线AC的解析式为y=kx+4，

则有8k+4=0．

解得：k=﹣ ．

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+4．

设点M的横坐标为m，

则有y_M=﹣ m²+ m+4，y_N=﹣ m+4．

∴MN=y_M﹣y_N

=（﹣ m²+ m+4）﹣（﹣ m+4）

=﹣ m²+2m．

∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN

= MN•OC

= ×（﹣ m²+2m）×8

=﹣m²+8m

=﹣（m﹣4）²+16．（0＜m＜8）

∵﹣1＜0，

∴当m=4时，S_△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，三角形的面积，有一定的综合性，解本题的关键是掌握坐标系中，求三角形的面积的方法．