【332053】全易通初中数学九年级教案-沪科版-24.6 正多边形与圆（第1课时）

24.6正多边形与圆

第一课时

教学目标

【知识与能力】

1. 理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算；

2. 学会通过等分圆周的方法作正多边形。

【过程与方法】

1. 利用弧、弦、圆周角的关系以及圆的切线性质，让学生用自己的语言说一下正多边形与圆的关系。

2. 让学生动手操作，了解哪种情况的正多边形可以用尺规等分圆周得到。

【情感态度价值观】

通过合作探究与观察分析，培养学生合作交流的意识和探索问题的精神。

教学重难点

【教学重点】

正多边形与圆的关系及相关计算。

【教学难点】

利用等分圆周的方法作正多边形。

课前准备

课件、圆规、直尺等。

教学过程

一、情境导入

生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？

二、 合作探究

探究点：正多边形与圆

【类型一】 圆的内接多边形与外切多边形的有关计算

例1 如图，有一个⊙O和两个 正六边形T₁，T₂.T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和⊙O相切．

(1)设T₁，T₂的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；

(2)求正六边形T₁，T₂的面积比S₁∶S₂的值．

解：(1)连接圆心O和T₁的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T₂相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以 r∶b＝∶2；

(2)正六边形T₁与T₂相似，且T₁∶T₂的边长比是∶2，所以S₁∶S₂＝3∶4.

【类型二】 圆的内接正多边形的探究题

例2 如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图①中∠MON的度数；

(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)

解：(1)取B与M重合，N与C重合，利用O是正三角形的中心，可知∠MON的度数是120°；

(2)取B与M重合，N与C重合，此时三角形MON是直角三角形，∠MON＝ ＝90°；取B与M重合，N与C重合，此时∠MON的对应角度是整个圆周的，∠MON＝＝72°

(3).

方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B与M重合，N与C重合，可得出∠MON 为定值且与正多边形边数相关．

【类型三】 作正多边形

例3 如图，已知半径 为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六 等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA ，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取AC＝AB；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，OA长为半 径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的 多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

【类型四】 与正多边形相关的证明

例4 如图，直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上，且AB＝AC＝AO，OC、BC分别交 ⊙O于点E、F.求证：EF是圆内接正二十四边形的一边．

证明：∵AC切⊙O于点A，∴∠CAO ＝90°.∵AC＝OA，∴∠AOC＝45°.∵AB＝OA，OB＝OA，∴∠BAO＝60°，∠BAC＝60°＋90°＝150°.∵AC＝AB，∴∠ABC＝(180°－150°)＝15°.∵∠AOF是弧AF所对圆心角，∠ABF是弧AF所对圆周角，∴∠AOF＝30°，∴∠EOF＝15°，∵＝ 24，∴EF是圆内接正二十四边形的一边．

方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF的度数是解题关键．

三、板书设计

1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．

2．利用等分圆周作正多边形.

四、教学反思

教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.