【332047】全易通初中数学九年级教案-沪科版-24.3 圆周角（第1课时）

24.3圆周角

第一课时

教学目标

【知识与能力】

1.理解圆周角的概念，学会识别圆周角；

2.了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明。

【过程与方法】

引导学生进行讨论探究，并给予学生充分思考的时间。

【情感态度价值观】

培养观察以及归纳总结的能力，培养合作意识。

教学重难点

【教学重点】

圆周角的概念及识别，圆周角定理及推论。

【教学难点】

利用圆周角定理及推论进行相关计算与证明。

课前准备

课件、教学模具等。

教学过程

一、情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．

比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？

二、合作探究

探究点一：圆周角定理

【类型一】 利用圆周角定理求角

例1 如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(　　)

A．25° B．30° C．35° D．50°

解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.

方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想

例2 已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．

解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．

解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°.

如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝∠BOD，∠ABD＝∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝(∠BOD＋∠AOD)＝∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.

综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.

方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．

探究点二：圆周角定理的推论

【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题

例3 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于(　　)

A. B. C．2 D.

解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E＝∠ABD，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝ ＝.故选D.

方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．

【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题

例4 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.

解析：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角．

证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵AB＝AB，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.

方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．　　

三、板书设计

1．圆周角的概念

2．圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

3．圆周角定理的推论

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

教学反思

教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.