【332015】难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)

难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)

——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路

类型一　相似与特殊三角形

1．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为______________．

第1题图 第2题图

2．(2016·黄冈中考)如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝________．

3．(2016·福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.

(1)通过计算，判断AD²与AC·CD的大小关系；

(2)求∠ABD的度数．

类型二　相似与特殊四边形

4．(2016·东营中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正确的结论有(　　)

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

第4题图 第5题图 第6题图

5．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D₁B₁C₁，连接AC₁，BD₁.如果四边形ABD₁C₁是矩形，那么平移的距离为________cm.

6．(2016·滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝________．

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD.连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H.

(1)求EG∶BG的值；

(2)求证：AG＝OG；

(3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．

类型三　运用相似解决几何图形中的动点问题

8．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝4，设BM＝x，当x＝________时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

第8题图 第9题图

9．(2016·宜春模拟)如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝________．

10．(2016·梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.

(1)若BM＝BN，求t的值；

(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；

(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

11．(2016·赤峰中考)如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E.

(1)求证：△ABP∽△QEA；

(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA?

(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围)．[提示：解答(2)(3)时可不分先后]

类型四　相似中的探究型问题

12．(2016·宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；

(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

(3)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

参考答案与解析

1. (－3－，3)　解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴＝＝.∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2，∴BC＝＝，∴＝.∴BE＝3，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3，∴点B的坐标为(－3－，3)．

2.　解析：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴＝＝，＝，∴＝.又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴＝.∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴＝＝，∴QI＝AI＝.

3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝，∴AD＝，DC＝1－＝.∴AD²＝＝，AC·CD＝1×＝.∴AD²＝AC·CD；

(2)∵AD＝BC，AD²＝AC·CD，∴BC²＝AC·CD，即＝.又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC.∴＝＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.

4．A　解析：过D作DM∥BE交AC于N.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC.∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝.∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确．

5．7　解析：作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝∠AEC₁＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝BC＝1.∵四边形ABD₁C₁是矩形，∴∠BAC₁＝90°，∴∠ABC＋∠AC₁B＝90°，∴∠BAE＝∠AC₁B，∴△ABE∽△C₁BA，∴＝.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴＝，∴BC₁＝9cm，∴CC₁＝BC₁－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距离为7cm.

6.　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝，BC＝，∴BD＝＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝，则CF＝CD－DF＝，∴＝＝.

7．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝.∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；

(2)证明：∵GC＝3AG(已证)，∴AC＝4AG，∴AO＝AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；

(3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴＝＝＝，∴＝，即AH＝AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝AC，b＝AH－AG＝AC－AC＝AC，c＝AO－AH＝AC－AC＝AC，∴a∶b∶c＝∶∶＝5∶3∶2.

8．2或　解析：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－x.∵CN＝CD，∴CN＝1.当△ABM∽△MCN时，＝，即＝，解得x＝2；当△ABM∽△NCM时，＝，即＝，解得x＝.综上所述，当x＝2或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

9．1或　解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1或.

10．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5.由题意知：BM＝2t，CN＝t，∴BN＝5－t.∵BM＝BN，∴2t＝5－t，解得t＝＝10－15；

(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则＝，即＝，解得t＝；②当△NBM∽△ABC时，则＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝或t＝时，△MBN与△ABC相似；

(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝，即＝，解得MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝×5×5－(5－t)·t＝t²－t＋＝＋.∴根据二次函数的性质可知，当t＝时，y的值最小．此时，y_最小＝.

11．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAP＋∠QAE＝∠B＝90°.∵QE⊥AP，∴∠QAE＋∠EQA＝∠AEQ＝90°，∴∠BAP＝∠EQA，∠B＝∠AEQ，∴△ABP∽△QEA；

(2)解：∵△ABP≌△QEA，∴AP＝AQ.在Rt△ABP与Rt△QEA中，根据勾股定理得AP²＝3²＋t²，AQ²＝(2t)²，即3²＋t²＝(2t)²，解得t₁＝，t₂＝－(不符合题意，合去)．即当t＝时△ABP≌△QEA；

(3)解：由(1)知△ABP∽△QEA，∴＝，∴＝，整理得y＝.

12．解：(1)如图①中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；

(2)①当AD＝CD时，如图②，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；

②当AD＝AC时，如图③，∠ACD＝∠ADC＝＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；

③当AC＝CD时，如图④中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°；

(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∴()²＝x(x＋2)．∵x>0，∴x＝－1.∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.