【332012】模型构建专题：相似三角形中的基本模型

模型构建专题：相似三角形中的基本模型

——熟知需要用相似来解决的图形

模型一　“A”字型

1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为________．

第1题图 第2题图

2．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，M为BC上一点，AM交DE于N.

(1)若AE＝4，求EC的长；

(2)若M为BC的中点，S_△ABC＝36，求S_△ADN的值．

模型二　“X”字型

4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(　　)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第4题图 第5题图 第6题图

5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S_▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝∶6；④S_△OCF＝2S_△OEF，其中成立的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.

(1)若FD＝2，＝，求线段DC的长；

(2)求证：EF·GB＝BF·GE.

模型三　旋转型

8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C.＝ D.＝

第8题图 第9题图 第10题图

9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．

模型四　“子母”型(大三角形中包含小三角形)

10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝________．

11．(2016·云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(　　)

A．15 B．10 C. D．5

第11题图 第12题图

模型五　垂直型

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边上的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的长是(　　)

A. B．2 C. D．2

第13题图 第14题图

14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．

15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．

模型六　一线三等角型

16. (2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为________．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.

(1)求证：AC·CD＝CP·BP；

(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

参考答案与解析

1．1∶4

2．∠ADE＝∠C(答案不唯一)

3．解：(1)∵DE∥BC，∴＝＝.∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.

(2)∵M为BC的中点，∴S_△ABM＝S_△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴＝＝，∴S_△ADN＝8.

4．A

5．D　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S_▱ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝BC，∴OE∶AC＝BC∶BC＝∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝2，∴S_△OCF∶S_△OEF＝＝2，∴S_△OCF＝2S_△OEF，故④正确．故选D.

6．4.5　解析：∵AB∥EF，∴＝，则＝.又∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.

7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.

(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴＝，＝.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴＝，∴EF·GB＝BF·GE.

8．D

9．1或　解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋∠MEC＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1或.

10.

11．D　解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S_△ACD∶S_△ABC＝(AD∶AB)²＝1∶4，∴S_△ACD∶S_△ABD＝1∶3.∵S_△ABD＝15，∴S_△ACD＝5.故选D.

12．C　13.A

14. 　解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝＝＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴＝，即＝，解得PM＝.

15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.

(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3.

16．2

17．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.

(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.