【332010】类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积

类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积

——全面掌握核心方法，以不变应万变

类型一　割补法

一、直接转化为规则图形的加减

　1．(2016·常德三模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．

第1题图 第2题图

2．如图，已知A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为________．

二、含重叠部分的割补

3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )

A.π B.π C.π D.π

第3题图 第4题图

4．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为________．

三、添加辅助线进行割补

5．(2016·深圳中考)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为(　　)

A．2π－4 B．4π－8

C．2π－8 D．4π－4

第5题图 第6题图

6．(2016·毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________．

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，分别以B，C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积．

类型二　等积法

一、旋转、对称等积转化

8．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是________．

第8题图 第9题图

9．(2016·泰州中考)如图，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝，则图中阴影部分的面积为________．

二、同底等高的三角形等积转化

10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．

第10题图 第11题图

类型三　折叠问题中求面积

11．(2016·德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．

参考答案与解析

1．8－2π

2. π　解析：∵A点坐标为(2，2)，B点坐标为(2，1)，∴OA＝4，OB＝.如图，∵由A(2，2)旋转到点A′(－2，2)，∴∠A′OA＝∠B′OB＝90°.根据旋转的性质可得S_扇形OBC＝S_{扇形OB′C′}，∴S_阴影＝S_扇形OAA′－S_扇形OCC′＝π×4²－π×()²＝π.

3．A　解析：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S_△AED＝S_△ABC，由图形可知S_阴影＝S_△AED＋S_扇形ADB－S_△ABC，∴S_阴影＝S_扇形ADB＝＝π.故选A.

4.　解析：在Rt△AOB中，AB＝＝，S_半圆＝π×＝π，S_△AOB＝OB×OA＝，S_扇形OBA＝＝，故S_阴影＝S_半圆＋S_△AOB－S_扇形OBA＝.

5．A　解析：连接OC.∵∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝4，∴S_阴影＝S_扇形OBC－S_△ODC＝×π×4²－×(2)²＝2π－4.故选A.

6.－1　解析：如图，O为AB的中点，连接PA，PB，OP，则S_半圆O＝＝，S_△ABP＝AB·OP＝×1×＝.故S_阴影＝4(S_半圆O－S_△ABP)＝4＝－1.

7. 解：观察图形，会发现这是两个扇形(扇形BAE与扇形CAD)重叠的一个组合图形．如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则S_阴影＝S_扇形BAE＋S_扇形CAD－S_△ABC.即S_阴影＝2S_扇形BAE－S_△ABC＝2×－×2×2＝π－2.

8．24π　解析：∵AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60°，∴S_阴影＝S_扇形B′AB＋S_半圆O′－S_半圆O＝S_扇形B′AB＝＝24π.

9.π　解析：在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝，sin∠AOB＝＝，∠AOB＝30°.同理，可得OD＝1，∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＋(180°－∠COD)＝30°＋180°－60°＝150°.在△AOB和△OCD中，∵

∴△AOB≌△OCD(SSS)，∴S_阴影＝S_扇形OAC＝π×2²＝π.

10.　解析：连接OC，OB.∵OB＝OC＝BC＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠COB＝60°.而BC∥OA，∴S_△OCB＝S_△PCB，∴S_阴影＝S_扇形OBC＝＝.

11.－　解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA，OB.由题意知OM⊥AB，且OC＝MC＝.在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，∴cos∠AOC＝＝，AC＝＝，∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，则S_弓形AMB＝S_扇形OAB－S_△AOB＝－××＝－，S_阴影＝S_半圆－2S_弓形AMB＝π×1²－2(－)＝－.