【332007】类比归纳专题：利用转化思想求角度

类比归纳专题：利用转化思想求角度

——快速找到圆中求角度的解题渠道

类型一　利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角

1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是(　　)

A．50° B．40° C．30° D．25°

第1题图 第2题图 第3题图

2．(2016·株洲石峰区模拟)如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是(　　)

A．50° B．55° C．60° D．65°

3．(2016·泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于(　　)

A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°

类型二　构造圆内接四边形转化角

4．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　　)

A．68° B．88° C．90° D．112°

第4题图 第5题图

5．(2016·南京中考)如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝________°.

类型三　利用直径构造直角三角形转化角

6．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于(　　)

A．33° B．57° C．67° D．66°

第6题图 第7题图

7．(2016·达州中考)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(　　)

A. B．2 C. D.

8．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.

类型四　利用特殊数量关系构造特殊角转化角

9. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝2，⊙O的半径为，则∠C＝________．

10．如图，OA，OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，连接CB，AB.

求证：∠ABC＝2∠CBO.

参考答案与解析

1．D　2.D

3．B　解析：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB.又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形．∵OF⊥OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°.由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°.故选B.

4．B　解析：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上．∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC.∵∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°.

5．119　解析：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD.∵∠AOB＝122°，∴∠ADB＝∠AOB＝×122°＝61°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°－61°＝119°.

6．B

7．C　解析：若⊙A与x轴负半轴交于点D，连接CD.∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径．在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝.由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，∴tan∠OBC＝tan∠CDO＝.故选C.

8．证明：连接BD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＋∠D＝90°.∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝90°.∵∠D＝∠ACB，∴∠BAD＝∠EAC.

9．45°　解析：连接OA，OB.∵OA＝OB＝，AB＝2，∴OA²＋OB²＝AB²，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝∠AOB＝45°.

10．证明：连接OC，AC.∵CD垂直平分OA，∴OC＝AC.∴OA＝OC＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°.在△BOC中，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝150°.∵OB＝OC，∴∠CBO＝15°，∴∠ABC＝2∠CBO.