【332001】考点综合专题：圆与其他知识的综合

考点综合专题：圆与其他知识的综合

——几几综合、代几结合，掌握中考风向标

类型一　圆与平面直角坐标系的综合

1．(2016·安庆期末)如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为(　　)

A. B. C. D.

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为________．

3．(2016·泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a>0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是________．

类型二　圆与三角函数的综合

4．(2016·贵阳中考)如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA的值是________．

第4题图 第5题图

5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD中，正确的结论为________．

6．(2016·鄂州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值；

(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

类型三　圆与特殊四边形的综合

7．(2016·兰州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　)

A．45° B．50° C．60° D．75°

第7题图 第8题图

8．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切于点E，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为(　　)

A．1 B. C. D.

9．(2016·山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE的长为(　　)

A. B. C．π D．2π

第9题图 第10题图

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以BC为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线交CD于点E，切点为F，则AE的长为________．

11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为BC的中点．

(1)求证：AB＝BC；

(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．

类型四　圆与相似的综合

12．(2016·丽水中考)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　　)

A．3 B．2 C．1 D．1.2

13．(2016·砀山五中升学)如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(　　)

A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE

C．AD²＝BD·CD D．CD·AB＝AC·BD

第13题图 　第14题图

14．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，已知PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝________cm.

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N.连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：

(1)∠BCP＝∠BAN；

(2)＝.

类型五　圆与一次函数的综合

16．(2016·蚌埠固镇县月考)如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且点C坐标为(1，0)，直线l过点A(－1，0)，与⊙C相切于点D，求直线l的解析式．

参考答案与解析

1．B　解析：连接CD.∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，即CD过圆心A.又∵∠OBC与∠CDO为CO所对的圆周角，∴∠OBC＝∠CDO.又∵C(0，5)，∴OC＝5.在Rt△CDO中，CD＝10，CO＝5，根据勾股定理得OD＝＝5，∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝＝＝.故选B.

2．5

3．6　解析：∵A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，∴AB＝1－(1－a)＝a，CA＝a＋1－1＝a，∴AB＝AC.∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a.如图，连接AD并延长，交⊙O于点P′，此时AP′最大．∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD＝5，∴AP′＝5＋1＝6，∴a的最大值为6.故答案为6.

4.　解析：作OM⊥AB于M，则AM＝BM＝AB＝4cm.在Rt△OMA中，∵OA＝6cm，AM＝4cm，∴OM＝＝＝2(cm)．∵PM＝PB＋BM＝2＋4＝6(cm)，∴tan∠OPA＝＝＝.

5．①③　解析：设BD交⊙O于点E，连接AE，∵∠C＝∠AEB，∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，∴sinC＞sinD，cosC＜cosD，tanC＞tanD，∴正确的结论有①③.

6．(1)证明：过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；

(2)解：连接CE.∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC.∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴＝.∵tanD＝，∴＝，∴＝；

(3)解：由(2)可知＝，∴设AE＝x，则AC＝2x.∵△ACE∽△ADC，∴＝，∴AC²＝AE·AD，∴(2x)²＝x(x＋6)，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，∴AE＝2，AC＝4.由(1)可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴＝，设BF＝a，∴BC＝，∴BO＝BC－OC＝－3.在Rt△BOF中，BO²＝OF²＋BF²，∴＝3²＋a²，∴解得a＝或a＝0(不合题意，舍去)，∴AB＝AF＋BF＝.

7．C

8．D　解析：连接OE，OB，延长EO交AB于F.∵E是切点，∴OE⊥CD，∴OF⊥AB，OE＝OB.设OB＝R，则OF＝2－R，在Rt△OBF中，BF＝AB＝×2＝1，OB＝R，OF＝2－R，OB²＝OF²＋BF²，即R²＝(2－R)²＋1²，解得R＝.故选D.

9. C　解析：如图，连接OE，OF.∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，lFE＝＝π.故选C.

10.　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴AB，CD是⊙O的切线．∵AE是⊙O的切线，∴AF＝AB＝3，EF＝EC.设AE＝x，则EF＝AE－AF＝x－3，∴DE＝CD－EC＝3－(x－3)＝6－x.在Rt△ADE中，AD²＋DE²＝AE²，∴4²＋(6－x)²＝x²，解得x＝，∴AE＝.

11．(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∠OCB＝30°＝∠A，∴AB＝BC；

(2)解：四边形BOCD为菱形．理由如下：连接OD交BC于点M，∵D是BC的中点，∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD，∴OM＝MD，∴四边形BOCD为菱形．

12．C　解析：∵在等腰Rt△ABC中，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4，∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，∴BD＝＝＝.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴AD∶BC＝∶4＝1∶5，∴相似比为1∶5，设AE＝x，∴BE＝5x，∴DE＝BD－BE＝－5x，∴CE＝5DE＝28－25x.∵AC＝4，∴AE＋CE＝4，即x＋28－25x＝4，解得x＝1，∴AE＝1.故选C.

13．D

14．6　解析：连接AC，DB.∵∠PAC＝∠PDB，∠B＝∠C，∴△APC∽△DPB，∴＝，∴PD＝＝＝6(cm)．

15．证明：(1)∵AC是⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.又∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN.∵PC切⊙O于C点，∴∠ACP＝90°，∴∠CAN＋∠ACN＝∠BCP＋∠ACN＝90°，∴∠CAN＝∠BCP，∴∠BCP＝∠BAN；

(2)∵四边形AMNC内接于⊙O，∴∠ACN＋∠AMN＝180°.又∵∠ABN＋∠PBC＝180°，∠ABN＝∠ACN，∴∠AMN＝∠PBC.由(1)得∠BCP＝∠BAN，∴△AMN∽△CBP，∴＝.

16．解：当直线l在⊙C的上方时，连接CD.∵直线l为⊙C的切线，∴CD⊥AD.∵C点坐标为(1，0)，∴OC＝1，即⊙C的半径为1，∴CD＝OC＝1.又∵点A的坐标为(－1，0)，∴AC＝2，∴∠CAD＝30°.在Rt△AOB中，OB＝OA·tan30°＝，即B，设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝，b＝，∴直线l的函数解析式为y＝x＋.同理可得，当直线l在⊙C的下方时，直线l的函数解析式为y＝－x－.故直线l的函数解析式为y＝x＋或y＝－x－.